Etude de la dérivabilité



  • Tout d'abord bonjour!

    Je dois étudier la dérivabilité de f(x)=x(1x)f(x)= \sqrt{x(1-x)} en x=0.

    Avec f definie sur [0;1].

    Je ne sais pas s'il suffit d'appliquer la propriété
    [définition]

    • f est dérivable en x=a si le rapport f(x)f(a)xa\frac{f(x)-f(a)}{x-a} admet une limite réelle L , quand x tend vers a. *

    Ou s'il faut passer par plusieurs étapes .

    En fait je n'arrive même pas à calculer la limite du rapport.

    Voilà ce que j'ai fait :

    limx0x(1x)x=limx0xx2x=limx0x2(1x1)x=limx0x1x1x\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x(1-x)}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x-x^2}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2\left(\frac1x-1\right)}}x = \lim_{x \to 0} \mid x\mid \frac{\sqrt{\frac1x-1}}x

    x strictement supérieur à 0 donc c'est aussi limx0x1x1x=limx01x1\lim_{x \to 0} x\frac{\sqrt{\frac1x-1}}x = \lim_{x \to 0} \sqrt{\frac1x-1}

    C'est à nouveau une forme indéterminée.

    Faut-il calculer la limite de 1x1\sqrt{\frac1x-1} en 0- et 0+? mais en 0- elle n'est pas definie, donc suffit-il de chercher la limite en 0+?

    Dans ce cas là je trouve que la limite tend vers + l'infini .

    Ce qui prouve qu'elle n'est pas dérivable.

    Pourtant, d'après la calculatrice cette fonction est dérivable.

    Je crois que je me suis plantée quelque part 😕 :rolling_eyes:

    Pourriez-vous m'aider svp?

    Voilà un sujet pour miumiu, non ? N.d.Z.



  • pour commencer , j'aimerais avoir confirmation, mais 00_- n'existe pas reelement, car ca veut dire quand x tend vers 0 mais que x est inferieur a 0. ensuite il t'arive bien de calculer la limite de x quand x tend vers 1 par exemple et que ta fonction est defini sur ]1;+∞[
    et quand tu as une forme indeterminer il faut soit factoriser, soit etudier la limite des 2 coté du reel, ici 0.



  • 0+0^+ n'est qu'une notation commode qui s'emploie dans un contexte très particulier :

    limx0+;f(x)=limx0,,x0,,x0;f(x)\lim_{x \to 0^+}; f(x) =\quad \lim_{x \to 0,, x \geq 0, ,x \ne 0}; f(x)
    ce que c'est que de tendre vers 0, en restant positif et différent de 0...

    00^- aura une signification analogue.



  • ca ne serais pas plutot $\lim _{x \rightarrow 0,x >0} f(x)$
    car si x≥0 , x≠0 alors autant ecrire x>0 non?

    C'est pareil ; je me méfie du symbole inf strict ou sup strict qui posent parfois des pb gênants sur le forum... N.d.Z.



  • J'ai un peu de mal à comprendre . Ce que j'ai fait pour l'instant c'est juste ?



  • coucou
    lol Zauctore pourquoi tu pensais que c'était pour moi cet exo?
    monopoly je pense que c'est bon mais bon je n'en suis pas sûre a 100% et la remarque de Z. me fait peur mdr

    *je confirme que les inégalités posent beaucoup de problèmes lol *



  • oui, monopoly : tes calculs sont bons.

    le graphe de 1x1\sqrt{\frac1x - 1}

    http://img174.imageshack.us/img174/2292/capture01af6.jpg
    laisse penser que la limite étudiée est infinie.

    t'inquiète pas miumiu, j'ai mis ça pour éviter les ambiguités.

    monopoly : saurais-tu résoudre cette inéquation, sachant que x est entre 0 et 1

    1x1a\sqrt{\frac1x - 1} \geq a

    A étant un nombre quelconque positif ?



  • Réponse :
    x1a2+1x \leq \frac1{a^2 + 1}

    Et qu'est-ce que ça prouve ?



  • mais donc ça suffit de calculer la limite de √((1/x)-1) quand x tend vers 0+? Et je ne comprends pas parce que dans ce cas là je trouve une fonction non dérivable en O+ alors que si on regarde la courbe de la fonction de depart (celle où l'on doit etudier la derivabilité) f(x)=√(x(1-x)) elle est dérivable en 0

    Pour repondre à votre question , il me semble que A est dans l'intervalle ]0;+infini[



  • attention monopoly : lorsque tu regardes la courbe de x(1x)\sqrt{x(1-x)}

    http://img151.imageshack.us/img151/3043/capture01mm5.jpg
    tu vois qu'elle est continue en 0 certes, mais que dire de sa tangente en 0 ?

    Ta réponse à ma question n'est pas satisfaisante ; vois plus haut.



  • ah ui d'accord sa tangente est verticale donc la fonction n'est pas définie...c'est ça?il faut que je le precise ça ?

    A peut être égal à 0



  • Mais si, la fonction est définie : f(0) = 0.

    Le fait que sa tangente en 0 soit verticale indique simplement que f n'est pas dérivable en 0.

    Ce n'est qu'une indication visuelle ; il s'agit de prouver cela.

    Enfin, A est un paramètre grand, fixé (par exemple A ≈ 100 000 000).

    Il s'agit de trouver quelles sont les valeurs de x telles que √(1/x - 1) soit plus grand que cet A, c'est tout.



  • Oui je me suis mal exprimée mais c'est ce que je pensée : la fonction n'est pas dérivable en O
    Maintenant il faut que je calcul la tangente de la fonction au point O pour avoir une preuve par le calcul ?



  • pour la tangente, le coefficient directeur sera égal au nombre dérivé (s'il existe).

    avec la résolution de l'inégalité que j'ai posée plus haut, on va prouver que le taux de variation de la fonction tend vers +∞ lorsque x tend vers 0, donc que le coefficient directeur de la tangente est infini, donc que la fonction n'est pas dérivable en 0.



  • d'accord mais je n'ai jamais entendu parler de taux de varitation pour une tangente. Si la prof ne nous l'a jamais expliqué ne vaudrait-il pas mieux que je calcul l'équation de la tangente avec Ta=f'(a)(x-a)+f(a)?



  • C'est f(b)f(a)ba\frac{f(b) - f(a)}{b - a} qui est le taux de variation ; c'est connu depuis des lustres quand on est en Term.

    Impossible de s'en passer ici, car justement f '(a) n'existe pas !

    Edit de J-C: je récris la formule qui ne risquait pas de s'afficher: "[tex}\frac{f(b) - f(a)}{b - a}"



  • oui ok c'est le coeff directeur



  • Et pour prouver qu'il y a une tangente verticale en O je ne peux pas dire que lorsqu'une fonction n'est pas dérivable en un point c'est qu'il y a soit la tangente à ce point qui est verticale , soit un point de rebroussement? Etant donnée que la fonction est définie dans ]0;+infini[ il ne peut pas y avoir de points de rebroussements . Donc il y a une tangente verticale à la courbe au point 0



  • tangente verticale si et seulement si le taux de variation devient infini

    il suffit de montrer que limx01x1=+\lim_{x \to 0} \sqrt{\frac1x - 1} = +\infty

    c'est ce pour quoi je te demandais de résoudre l'inéquation de 18:07 (dont j'ai donné la solution à 18:18... à poursuivre.


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