Vecteurs dans l'espace



  • Bonjour à tous,
    Voilà je coinces à une question de l'exercice dont voici l'énoncé :

    Soit ABCD un tétraèdre. on considère les points E, F, G, H, I et J milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD][DA] [BD] [CA].
    a) Démontrer que les quadrilatères EFGH et EJGI sont des parallélogrammes.
    b) Démontrer que les segments EG, FH, et IJ se coupent en leur milieu O.
    c) Démontrer que OA + OB+ OC + OD = O (1) (ici tout est en vecteur)
    d) On considère le repère (A, AB, AC, AD). Déduire de (1) les coordonnées du point O.
    e) Déterminer les coordonnées des points J, G et H.
    f) Démontrer que OG OH et OJ ne sont pas coplanaires

    Où j'en suis :

    a) D'après le théorème des milieux dans un triangle...

    b)Comme EFGH et EJGI sont des parallélogrammes, alors leurs diagonales se coupent en leur milieu.
    Donc dans le parallélogramme EFGH, EG et FH se coupent en leur milieu
    De plus EG et IJ du parallélogramme EJGI se coupent en leur milieu
    Or EG appartient également au parallélogramme EFGH donc IJ et FH se cuopent en leur milieu
    Ainsi IJ FH et EG se coupent en leur milieu.

    c)OA = OI + IA
    OC = OI + IC
    OB = OJ+JB
    OD= OJ+JD
    D'après relation de chasles
    J milieu de AC et I milieu de BD donc
    OB + OD = OB + BO = O et OA + OC = OA+AO= O
    D'où OA+OC+OB+OD = O

    d) ???

    e) ???

    f) ???

    Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait sympa, merci d'avance 😉


  • Modérateurs

    Salut.

    Un petit rappel sur les coordonnées devrait de faire comprendre comment répondre aux questions:

    Soit M un point de l'espace.

    $\text{dire que m a pour coordonn\acute{e}es (a;b;c) dans le rep\grave{e}re (a, \vec{ab}, \vec{ac}, \vec{ad}) \\acute{e}quivaut \grave{a} dire que \vec{am}=a\vec{ab}+b\vec{ac}+c\vec{ad}.}$

    Donc de la relation 1), tu dois te ramener à une égalité de la forme

    $\text{\vec{ao}=a\vec{ab}+b\vec{ac}+c\vec{ad}}$
    pour la question 4) par exemple.

    @+



  • merci donc d'après (1)
    oa+oc+ob+od\vec {oa}+\vec {oc}+\vec {ob}+\vec {od} = 0\vec {0}

    oa+(oa+ab)+(oa+ac)+(oa+ad)\vec {oa} + (\vec {oa}+\vec {ab}) + (\vec {oa}+\vec {ac}) + (\vec {oa}+\vec {ad}) = 0\vec {0}

    4oa+ab+ac+ad4 \vec {oa} + \vec {ab} + \vec {ac} + \vec {ad} = 0\vec {0}

    ao\vec {ao} = (ab+ac+ad)/4(\vec {ab} +\vec {ac} + \vec {ad})/4

    oui ou non? merci beaucoup


  • Modérateurs

    Salut.

    Oui c'est bien ça. 😄
    Il ne te reste plus qu'à écrire les coordonnées de O sous forme classique: O(x;y;z).

    @+

    PS: Pour redimensionner ton message, il suffit d'écrire 1$ ou 2$ juste après la balise tex si jamais tu cherchais comment faire.



  • Salut.

    Oui merci désolé c'était mon 1er post sur ce forum, mais je ne vois pas comment trouver les coordonnées de O avec ceci 😕

    Merci beaucoup;)


  • Modérateurs

    Salut.

    Tu n'as pas besoin d'être désolé. 😄

    Peut-être qu'en récrivant cela d'une autre manière tu verras mieux:

    $\text{\vec{ao}=\frac{1}{4}\vec{ab}+\frac{1}{4}\vec{ac}+\frac{1}{4}\vec{ad}}$

    De la forme:

    $\text{\vec{ao}=a\vec{ab}+b\vec{ac}+c\vec{ad}}$

    Donc les coordonnées de O dans le repère en question sont ?

    Classiquement, on utilise un repère du type (a;x;y;z)(a;\vec{x};\vec{y};\vec{z}), et les coordonnées d'un point M(a;b;c) sont telles que:
    $\text{\vec{am}=a\vec{x}+b\vec{y}+c\vec{z}}$

    @+



  • ah merci beaucoup de votre aide 😉

    bonne soirée



  • donc le point O a pour coordonnées (1/4;1/4;1/4)

    donc voilà pour d)

    pour le e) comment m'y prendre s'il vous plait???

    merci beaucoup Jeet-chris 😉


  • Modérateurs

    Salut.

    En exprimant sous forme vectorielle le fait que J, G et H sont les milieux de leurs segments respectifs tu devrais pouvoir te débrouiller pour répondre à la question.

    Par exemple J est le milieu de [AC], donc:

    $\text{\vec{aj}=\frac{1}{2}\vec{ac}}$
    Conclusion ?

    @+



  • Conclusion

    J a pour coordonnées (0;1/2;0)

    non?


  • Modérateurs

    Salut.

    Oui c'est bien ça. Reste à trouver les coordonnées des autres points.

    @+



  • ah merci beaucoup donc

    J (0;1/2;0)
    H (0;0;1/2)
    mais G ???


  • Modérateurs

    Salut.

    Commence par écrire la relation vectorielle. Ensuite c'est le même principe qu'à la question d).

    @+


 

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