Lieu du milieu

Pas trop dur et assez connu...

Les extrémités A et B d'un segment [AB] de longueur 10 sont situés respectivement sur l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées d'un repère orthonormé.

On déplace le point A, qui décrit dont un segment sur l'axe des x.

Quel est le
lieu géométriquedécrit par le milieu M de [AB] pendant ce temps ?

Le
lieu géométriqued'un point... c'est l'ensemble de toutes les positions prises par celui-ci au cours de son "déplacement".

Salut,
Si l'on construit le point D pour que OADB soit un rectangle, M sera l'image de D par rapport par l'homothétie de centre O et de rapport 1/2.
Comme la longueur AB est imposée, elle est égale à à OD. Donc D décrit un cercle de centre O, et M un cercle de rayon 5.

J'en profite pour te poser une question : attend-on systématiquement une réciproque pour ce type de problème ? (Dans ce cas elle me parait évidente mais faut-il la mentionner ?)

Salut,

Pourquoi se limiter au cas où A ∈ [Ox) et B ∈ [Oy) ?

Dans le cas où ils se déplacent sur les axes entiers on obtient le cercle complet.

Moi j'avais pensé à une solution algébrique avec

les coordonnées du mileu de [AB] en fonction des coordonnées de A et B A(x,0) B(0,y)
Pythagore pour écrire que x² + y² = 100

et après calculs on arrive à l'équation du cercle de centre O et de rayon 5

Oui j'avais oublié de corriger un "quart de cercle" en "cercle". C'est chose faite à présent.

ça te paraît évident, cette réciproque, parce que tu sais que l'homothétique d'un cercle est un cercle ; mais "en toute rigueur" lol, faut passer par analyse-synthèse, non ?

restriction du problème : comment répondre à la question initiale avec des armes de collégien.

Avec des armes de collégien, cela consiste à remarquer que la médiane [OM] issue de l'angle droit garde une longueur (la moitié de l'hypoténuse AB).

Bon maintenant, passons aux choses sérieuses : qu'est-ce que ça devient
si les axes ne sont plus perpendiculaires?