Déterminer le barycentre de 3 points

[oror]

slt! je bloque sur trois petites questions, aidez-moi s'il vous plaît, un petit coup de pouce serait le bienvenu :

Soit ABC un triangle dont les angles sont aigus.
On note Ha, Hb et Hc les pieds des hauteurs issues respectivement de A, B et C.

1. Prouvez que tanB/tanC=Ha C/Ha B
   2)En déduire que Ha est le barycentre de ( B, tanB ) et ( C, tanC )
2. En exprimant de même Hb et Hc comme barycentres de A, B et C, en déduire que les droites ( Aha ), ( Bhb ) et ( Chc ) sont concourantes.

Merci d'avance

[Thierry]

1. Il suffit d'exprimer tan B dans le triangle rectangle ABHa et tan C dans le triangle rectangle ACHa puis de faire le rapport des 2 tangentes.

2. Faire le produit en croix de l'égalité précédente, ensuite une jolie phrase expliquant que B, Ha, et C sont alignés dans cet ordre donc on peut transformer les longueurs en vecteurs. On obtient ainsi l'égalité vectorielle du barycentre.

3. Je pense que le plus simple est de passer en analytique par exemple dans le repère (C, vecteur CA, vecteur CB). Grâce au barycentre tu peux obtenir facilement les coordonnées de Ha, Hb, Hc. Puis tu peux trouver les coordonnées du point d'intersection de 2 hauteurs et de prouver que la troisième passe par ce même point (soit avec la colinéarité des vecteurs AH et AHa soit avec les équations de droite)

Bon courage

[oror]

merci bocou!!!