croissance et convergente



  • bonjour , j'ai beaucoup de mal à faire cet exercice auquel je n'ai fait aucune question.

    on considère une suite Un positive et une suite Vn=Un/(1+Un)
    les proposition s sont elles vraie ou fausses? justifier

    1. pout tout n , 0≤Vn≤1
    2. si la suite Un est convergente , alors la suite Vn est convergente
    3. si la suite Un est croissante alors la suite Vn est croissante
    4. si la suite Vn est convergente , alors la suite Un est convergente


  • indications

    pour 1)

    les inégalités 0un0 \leq u_n et unun+1u_n \leq u_n +1 sont claires.

    donc, le rapport un1+un\frac{u_n}{1+u_n} ...

    pour 2)

    la fonction f:xx1+xf : x \mapsto \frac x{1+x} est continue sur $$mathbb{R}$^+$
    donc limn+f(un)=f()\lim_{n\to+\infty} f(u_n) = f(\ell), où \ell est la limite des unu_n.



    1. j'ai considéré une fonction telle que f(x)x/(1+x) ou f(Un)=Un/(1+Un)
      j'ai vu que la fonction ne pouvait pas avoit la valeur 1 pour f. j'ai étudié les limites en 0 et en 1. lim x→0 :f(x)=0 et lim x→+∞ :f(x)=1. donc les signes ≤ et ≤ rendent la proposition fausse puisque f n'atteint ni 1 ni 0.

    2. si Un converge donc lim Un=l donc lim 1Un=1+l donc lim Vn =l/(1+l) donc Vn converge également vers cette limite. La proposition semble vraie.

    3. si la suite Un est croissante , Un croit mais 1+Un croit plus vite car Un+1>Un donc Vn est croissante. la propositon est vraie.

    4)si la suite Vn est convergente alors Vn est majorée et croissante doonc lim Vn=l
    donc f(Un)=l
    donc Un/(1+Un)=l
    ce qui donne Un=l/(1-l) pour l différent de 1
    donc Un est majorée par ce nombre.
    Or pour différentes valeurs de l qui augmente : Un décroit. Dans ce cas Un ne peut pas converger , donc la proposition est fausse.


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