suite et cosinus

bonjour , j'ai beaucoup de mal à faire cet exercice auquel je n'ai fait aucune question.

u est la suite définie par U0=0 et
Un+1=(√2*√(1+Un))/2

1a démontrer par récurrence que :
pour tout entier n≥1, (√2)/2≤Un≤1
la suite U est croissante
1b en déduire que la suite U converge et déterminer sa limite
2a démontrer que pour tout réel x de [0,∏]
√(1+cos x)/2=cos (x/2)
2b démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ,
Un=cos(∏/2n+1)
2c retrouver la limite a de la suite U

Salut

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[doublons supprimés, N.d.Z.]

1a : commence vérifier pour les premiers termes, puis écris un peu ce que serait l'hérédité.

1b découle de 1a par simple lecture de la leçon : lorsqu'une suite est croissante et majorée, alors...

2a: sur l'intervalle mentionné, cos (x/2) est de signe...
de plus on connaît bien ses formules de trigo, notamment une qui dit que

cos (2u) = 2cos² u - 1, pour tout u.

2b : cf 1a.

2c : fais tendre n vers l'infini dans ce qui t'est donné (rappel : cos est continue).

travaille un peu maintenant.

1)a j'ai réussi à démontrer que Un≤1

1)b la suite est convergente donc elle tend vers un réel l

Zauctore

lorsqu'une suite est croissante et majorée, alors...

tu feras attention en citant *toutes *les conditions.

pour la croissance, il suffit de montrer que pour tout n, on a $un≤un+1u_n \leq u_{n+1}$

1b) la suite tend vers 1 d'après la question 1a)

2)a je vois pas trop comment utliser la formule de trigo
cos(2x)=2cos²x-1=2(√cosx+1)*(√cosx-1)

cos(2x) = 2cos²x-1 donne 2cos²x = 1 + cos(2x) donc cos²x = [1+cos(2x)]/2
maintenant, il faudrait pouvoir prendre la racine carrée... est-ce possible ?