suite et cosinus


  • C

    bonjour , j'ai beaucoup de mal à faire cet exercice auquel je n'ai fait aucune question.

    u est la suite définie par U0=0 et
    Un+1=(√2*√(1+Un))/2

    1a démontrer par récurrence que :
    pour tout entier n≥1, (√2)/2≤Un≤1
    la suite U est croissante
    1b en déduire que la suite U converge et déterminer sa limite
    2a démontrer que pour tout réel x de [0,∏]
    √(1+cos x)/2=cos (x/2)
    2b démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ,
    Un=cos(∏/2n+1)
    2c retrouver la limite a de la suite U


  • Zauctore

    Salut

    évite de poster le même message plusieurs fois.

    utilise l'aperçu avant d'envoyer.

    [doublons supprimés, N.d.Z.]


  • Zauctore

    1a : commence vérifier pour les premiers termes, puis écris un peu ce que serait l'hérédité.

    1b découle de 1a par simple lecture de la leçon : lorsqu'une suite est croissante et majorée, alors...

    2a: sur l'intervalle mentionné, cos (x/2) est de signe...
    de plus on connaît bien ses formules de trigo, notamment une qui dit que

    cos (2u) = 2cos² u - 1, pour tout u.

    2b : cf 1a.

    2c : fais tendre n vers l'infini dans ce qui t'est donné (rappel : cos est continue).

    travaille un peu maintenant.


  • C

    1)a j'ai réussi à démontrer que Un≤1

    1)b la suite est convergente donc elle tend vers un réel l


  • Zauctore

    Zauctore

    lorsqu'une suite est croissante et majorée, alors...

    tu feras attention en citant *toutes *les conditions.

    pour la croissance, il suffit de montrer que pour tout n, on a un≤un+1u_n \leq u_{n+1}unun+1


  • C

    1b) la suite tend vers 1 d'après la question 1a)

    2)a je vois pas trop comment utliser la formule de trigo
    cos(2x)=2cos²x-1=2(√cosx+1)*(√cosx-1)


  • Zauctore

    cos(2x) = 2cos²x-1 donne 2cos²x = 1 + cos(2x) donc cos²x = [1+cos(2x)]/2
    maintenant, il faudrait pouvoir prendre la racine carrée... est-ce possible ?


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