Résoudre à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires

Bonjour , je bloque sur un exercice qui fait apparement appel au théroème de valeurs intermediaires, le voilà :

f est une fonction continue définie sur I = [0;1] telle que pour tout x de I, f(x) appartient à I
On note ∂ la fonction définie sur I par ∂(x) = f(x) - x.
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction ∂ démontrez qu'il existe un réel a dans I tel que f(a) = a

Je comprend comment démontrer que la fonction ∂ est continue sur I mais après comment à partir de du théorème démontrer qu'il existe a tel que f(a) = a je vois pas du tout , je bloque .

Pourriez vous m'aideeer ?

bah il s'agirait d'expliquer pourquoi f(x) - x = 0 possède sous ces conditions une solution.

avec les valeurs intermédiaires, il s'agirait de justifier qu'il existe un u dans [0 ; 1] tel que f(u) - u < 0 et un v dans [0 ; 1] tel que f(v) - v > 0.

Il faut donc prouver que ∂(x) admet 1 racine mais je vois pas comment trouver un interval qui comprend 0 puisque on sait le domaine de definition de f sur l'axe des x mais pas sur l'axe des y.

l'énoncé dit que l'image de I = [0 ; 1] est contenue dans I lui-même.

Donc pour tout 0 ≤ x ≤ 1, on a 0 ≤ f(x) ≤ 1.

ahh okje l'avais pas vu comme ça et si je fais

0 ≤ f(x) ≤ 1
-x ≤ f(x) - x ≤ 1 - x
pour x = 0
0 ≤ f(0) - 0 ≤ 1

aussi
pour x = 1
-1 ≤ f(1) - 1 ≤ 0

d'après le theoreme des valeurs intermediaires on prouve bien que ∂(x) passe par y = 0 de 0 à 1 non?

oui, la fonction x→f(x)-x est continue, prend une valeur positive (ou nulle) et une valeur négative (ou nulle) : le théorème en question s'applique.

oui mais je ne peux pas prendre de valeur negative puisque je dois avoir mon interval compris dans I . Enfin merci bien en tout cas

sémantique

ne confonds pas les valeurs de x et celles de f(x)-x.

oui oui ok mais je parlais de a qui doit appartenir à [0;1] lui

ben il est forcément dans [0 ; 1] !