Résoudre à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires


  • Z

    Bonjour , je bloque sur un exercice qui fait apparement appel au théroème de valeurs intermediaires, le voilà :

    f est une fonction continue définie sur I = [0;1] telle que pour tout x de I, f(x) appartient à I
    On note ∂ la fonction définie sur I par ∂(x) = f(x) - x.
    En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction ∂ démontrez qu'il existe un réel a dans I tel que f(a) = a

    Je comprend comment démontrer que la fonction ∂ est continue sur I mais après comment à partir de du théorème démontrer qu'il existe a tel que f(a) = a je vois pas du tout , je bloque .

    Pourriez vous m'aideeer ?


  • Zauctore

    bah il s'agirait d'expliquer pourquoi f(x) - x = 0 possède sous ces conditions une solution.

    avec les valeurs intermédiaires, il s'agirait de justifier qu'il existe un u dans [0 ; 1] tel que f(u) - u < 0 et un v dans [0 ; 1] tel que f(v) - v > 0.


  • Z

    Il faut donc prouver que ∂(x) admet 1 racine mais je vois pas comment trouver un interval qui comprend 0 puisque on sait le domaine de definition de f sur l'axe des x mais pas sur l'axe des y.


  • Zauctore

    l'énoncé dit que l'image de I = [0 ; 1] est contenue dans I lui-même.

    Donc pour tout 0 ≤ x ≤ 1, on a 0 ≤ f(x) ≤ 1.


  • Z

    ahh okje l'avais pas vu comme ça et si je fais

    0 ≤ f(x) ≤ 1
    -x ≤ f(x) - x ≤ 1 - x
    pour x = 0
    0 ≤ f(0) - 0 ≤ 1

    aussi
    pour x = 1
    -1 ≤ f(1) - 1 ≤ 0

    d'après le theoreme des valeurs intermediaires on prouve bien que ∂(x) passe par y = 0 de 0 à 1 non?


  • Zauctore

    oui, la fonction x→f(x)-x est continue, prend une valeur positive (ou nulle) et une valeur négative (ou nulle) : le théorème en question s'applique.


  • Z

    oui mais je ne peux pas prendre de valeur negative puisque je dois avoir mon interval compris dans I . Enfin merci bien en tout cas


  • Zauctore

    sémantique

    ne confonds pas les valeurs de x et celles de f(x)-x.


  • Z

    oui oui ok mais je parlais de a qui doit appartenir à [0;1] lui


  • Zauctore

    ben il est forcément dans [0 ; 1] !


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