équations différentielles (condensateur, polynomes, courant dans conducteur)

[zoé16]

Bonjour tout le monde !!! Voila je vien vous embéter un petit peu !!! J'ai quelques problèmes pour faire mes exercices !! :frowning2: Bon je suis quand même arrivée à faire quelques questions !! Donc voila est-ce que vous pourriez me dire si ce que j'ai fais est juste Et pour ce que je ne suis pas arrivée à faire pourriez vous m'aider à commencer ou me donner des pistes
Merci d'avance

Exercice 1

On s'intéresse à l'évolution de la tension aux bornes du condensateur durant sa période de charge. A l'instant t0=0, le condensateur n'étant pas chargé, on a donc u(0)=0
On sait que la tension aux bornes du condensateur est une fonction de temps qui vérifie :
u(t) +RC.u(t)' = E

τ= RC E=6V R=1kΩ C=1μF

1)déterminer la fonction u(t) et la représenter graphiquement
2)Montrer qu'au bout de 5τ le condensateur est chargé à plus de 99%

Exercice 2

On considère les deux équations différentielles :

y' + 2y = 2x² -1 (E) y' + 2y = 0 (F)

1)Déterminer une fonction polynome P0 de degré inférieur ou égal à 2 solution de l'équation (E)
2)Résoudre (F)
3)Montrer qu'une fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction f-P0 est solution de (F)
4)En déduire l'ensemble des fonctions solutions de l'équation (E)

Exercice 3

On fait passer du courant d'intensité constante dans un conducteur. Par effet joule ce conducteur s'échauffe et on note θ(t) sa température en degré celsius à l'instant t. A t=0 la température est de 0°C. Le bilan énergétique se traduit par l'équation
θ'+20k θ =2
k est une constante qui dépend du conducteur.

1)Cas où k=0
a) déterminer θ(t) en fonction de t
b) A quel instant la température du conducteur atteint 20°C ?

2)Cas où $k=5\ast 10^{-3}$
a) expliquer pourquoi θ(t)=20(1-℮${}^{-0,1t}$)
b) donner l'équation de la tangente T à l'origine
c) déterminer à l'aide de la calculatrice la valeur approchée du temps nécessaire pour que la température atteigne 19°C.

Voila ce que j'ai fais :(j'ai fais l'exercice 1 en entier le 2 je ne sais pas comment calculer une équation différentielle égale à une fonction :frowning2: et le 3 je n'est pas fais le cas numéro 1) car si k=0 &952;#'=2 :frowning2: alors je comprend pas )

Exercice 1

1. $u(t)+10$^3$\ast 10^6$*u'(t)=6
   $u(t)+10^{-3}$*u'(t)=6
   $10^{-3}$*u'(t)=-u(t)+6
   u'$(t)=(-u(t)+6)/10^{-3}$

$u(t)=Ke$^{-t/10-3}$+(6/10$^{-3}$)/(1/10^{-3}$)

$0=K{e}^0$+6
-6=K

$u(t)=6(1-e^{-t/10-3}$)

Je vous envoi le reste de ce que j'ai fais un peu plus tard parce que j'ai du mal à le taper :frowning2:

[un peu de sobriété dans le choix des couleurs, svp, N.d.Z.]

[miumiu]

j'adore tes exos Zoè je m'occupe de toi tout de suite
merci Z pour l'info

[miumiu]

ok
alors pour le 2 tu as fais quoi?

[zoé16]

pour l'exercice 2 j'ai fait:

2. y'+2y=0
   y= k $e^{-2x}$ k∈R

après je ne sais pas comment faire pour les autres questions

pour l'exercice 1 j'ai fait :

2. $T=10^{-3}$secondes
   $5T=5<em>10^{-3}$secondes
   $u(5T)=u(5</em>10$^{-3}$)=6\ast (1-e^{(-5\ast 10-3)/10-3}$
   c'est égal à environ 5.9595

(5.9595*100)/6≈99.33%

pour l'exercice 3

1. k=0
   θ'+200θ=2
   θ'=2

et là je bloque...

2. $k=5\ast 10^{-3}$

θ'$+20<em>5</em>10^{-3}$θ=2
θ'+ 1/10 θ=2

θ$=H{e}^{-1/10t}$+2/(1/10) H∈R
θ$=H{e}^{-1/10t}$+20

comme θ(0)=0

$0=H{e}^0$+20
H=-20

θ$=-20e^{-1/10t}$+20
θ$=20(1-e^{-1/10t}$)

T=θ'(0)(x-0)+θ(0)
=2(x-0)
=2x

u(p)=19°C
p≈29.95

[zoé16]

voila si ya quelque chose qui n'est pas clair dites moi le merci beaucoup pour votre aide !!!

[Zauctore]

Dans l'exercice 2, il y a cette question que tu sembles ne pas avoir faite :

Citation
1)Déterminer une fonction polynome $P_0$ de degré inférieur ou égal à 2 solution de l'équation (E) : y' + 2y = 2x² -1.

Donc P = ax² + bx + c qui serait solution de (E)... P' = 2ax + b ; remplaçons :

2ax + b + 2ax² + 2bx + 2c = 2x² - 1, valable pour tout x.

donc a = 1 ; donc b = -1 et c = -1/2.

[miumiu]

coucou!!
je suis désolée de te répondre si tardivement j'étais occupée sur une autre convers qui n'a pas abouti d'ailleurs
ta présentation et nickel bravo j'aime beaucoup

Citation
Exercice 2
On considère les deux équations différentielles :

y' + 2y = 2x² -1 (E) y' + 2y = 0 (F)

1)Déterminer une fonction polynome P0 de degré inférieur ou égal à 2 solution de l'équation (E)
2)Résoudre (F)
3)Montrer qu'une fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction f-P0 est solution de (F)
4)En déduire l'ensemble des fonctions solutions de l'équation (E)

1. j'ai trouvé $x²-x$ça marche moi c'est du feeling (long) mais Z c'est la classe lol

par contre mon cher petit Z je crois que tu t'es trompé c=0 mais bon il ne faut pas lui en vouloir je le fatigue mdr

2. ok

3. $f$ est solution de (E)
   donc

$f^{\prime }+2f=2x^2-1$

$f^{\prime }+2f=p_o^{\prime }+2p_o$

$f^{\prime }+2f-p_o-2p_o=0$

... je te laisse continuer c'est presque fini

4)pour tout $x \in \r$

$f(x)-p_o(x)=k\times e^{-2x}$ pour tout $k \in \r$

$f(x)=...$
tu continues ce n'est plus très long

[miumiu]

Pour l'exo 3)
Citation

1. k=0
   θ'+200θ=2
   θ'=2

et là je bloque...
mais nan tu ne bloques pas tu réfléchis trop mdr
θ'=2
donc $\theta (t)=2t+\alpha$ alpha pour tout $\alpha\in \r$
mais a t=0 on a $\theta (t)=0$ donc
$\theta (t)=...$
alors pour une température de 20°C on a ...

2. a/ nickel
   b/nickel
   c/je ne sais pas comment tu as fait mais je trouve comme toi
   c'est très bien
   j'espère que je n'ai pas répondu trop tard

[Zauctore]

Attends : avec c = -1/2

(x² - x - 1/2)' + 2(x² - x - 1/2) = 2x - 1 + 2x² - 2x - 1 = 2x² + 1 ≠ 2x² - 1

ah oui tu as raison

alors que si c = 0, on a

(x² - x)' + 2(x² - x) = 2x - 1 + 2x² - 2x = 2x² - 1

là oui (j'aurais dû vérifier).

Ah oui, c'est en identifiant : j'ai oublié la valeur de b pour finir avec le calcul de c...

[miumiu]

Zauctore

là oui (j'aurais dû vérifier).

Ah oui, c'est en identifiant : j'ai oublié la valeur de b pour finir avec le calcul de c...
j'aimerais dire quelque chose mais nan en fait je vais me taire c'est mieux pour moi

[zoé16]

lol ok merci !! dsl de ne pas avoir répondu plus tôt mais j'étais en cours !!! :razz: merci pour vos aides !! Je vais appliquer tout ça maintenant et je reviendrai vous montrer ce que j'ai fais !!!

Encore merci beaucoup c'est super sympa

[zoé16]

pour l'exo 3 1)
je comprend pas pourquoi on met que :
θ(x)=2t+α a∈ℜ
c'est une formule ça ?

[zoé16]

Ah non j'ai rien dit je vien de comprendre lol !!!!
f(x)=2x
f'(x)=2

lol désolée...

[miumiu]

mdr
et bien si ta dérivée c'est
${\theta }^{\prime }=2$
ça veut dire que la fonction $\theta$ c'est par exemple

$\theta (t)=2t+4$
ou
$\theta (t)=2t+4000000$ lol

donc c'est pour ça que j'ai mis $\theta (t)=2t+\alpha$

pour $\alpha\in\r$

tu peux mettre ce que tu veux au lieu de $\alpha$

[zoé16]

bon alor voilà ce que j'ai fais :

Exercice 2

3. f solution de (E) donc :

f'+2f = 2x²-1
f'+2f = Po'+2Po
f'+2f-Po'-2Po = 0
(f-Po)' + (2f-2Po) = 0
(f-Po)' + 2(f-Po) = 0

donc on prend (f-Po)'=y' et 2(f-Po)=2y
donc
(f-Po)= k e-2x k∈R

4. pour tout x ∈ℜ

f-Po= k e-2x k∈R

donc f = -Po + k e-2x k∈R
= x²-x+k e-2x

l'ensemble des solutions de (E) on la forme de
f(x) = = x²-x+k e-2x

Exercice 3

1. k=0

θ(t)=2t+ a a∈ℜ

donc comme θ(0)=0

0=2*0+a
a=0

θ(t)=2t

par conséquent θ(?)=20°C

20=2t
t=10

θ(10)=2*10=20°

la température atteint 20°C à t=10

voilà !! Mais c'est pas tout en fait j'ai un autre exo à vous montrer lol que j'ai pas trés bien compri !! Je vous embète encore un petit peu lol je vous l'envoi ...

[zoé16]

Voilà l'exercice :

Dans une culture de microbes, le nombre de microbes à un instant t, exprimé en heures, peut être considéré comme une fonction y à valeurs réelles de la variable t. La vitesse de prolifération à l'instant t du nombre des microbes est la dérivée y' de cette fonction. On a constaté que :

y'(t)= k y(t) k∈ℜ k>0

On désigne N le nombre de microbes à l'instant t=0

1. Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle y'=ky telle que y(0)=N

2. Sachant qu'au bout de 2heures le nombre de microbes a quadruplé, calculer en fonction de N le nombre de microbes au bout de 3 heures.

3. quelle est la valeur de N sachant que la culture contient 64000 microbes au bout de 5 heures ?

Voila ce que j'ai fais :

y'(t)= ky(t)
donc y= A $e^{kt}$ A∈ℜ
comme y(0)=N
$N=A{e}^0$
A=N

donc $y(t)=N{e}^{kt}$

2. au bout de 2heures on a 4N

$y(2)=4N{e}^{2kt}$

et là c'est le drame.... mdr... je bloque... pour changer

3. Encore le drame je vois pas comment faire ... :frowning2:

[miumiu]

Citation
3) f solution de (E) donc :

f'+2f = 2x²-1
f'+2f = Po'+2Po
f'+2f-Po'-2Po = 0
(f-Po)' + (2f-2Po) = 0
(f-Po)' + 2(f-Po) = 0

donc on prend (f-Po)'=y' et 2(f-Po)=2y
donc
(f-Po)= k e-2x k∈R

tu sais tu n'es pas obligée de faire tant de chichi lol tu peux juste mettre

f'+2f = 2x²-1
⇔f'+2f = Po'+2Po
⇔f'+2f-Po'-2Po = 0
⇔(f-Po)' + (2f-2Po) = 0
⇔(f-Po)' + 2(f-Po) = 0
⇔f-Po est solution de (F)

4. nickel

Citation
Exercice 3

1. k=0

θ(t)=2t+ a a∈ℜ

donc comme θ(0)=0

0=2*0+a
a=0

θ(t)=2t

par conséquent θ(?)=20°C

20=2t
t=10

θ(10)=2*10=20°

la température atteint 20°C à t=10
oui pour le raisonnenment mais pour la rédacation un peu moyen lol

Exercice 3

1. k=0

θ(t)=2t+ a pour a∈R

or pour t=0 on a θ(0)=0°C

0=2*0+a
donc a=0

alors θ(t)=2t pour tout t ∈ R

par conséquent pour θ(t)=20°C
on a :
20=2t
alors t=10

la température atteint 20°C à t=10

ok si tu as un autre exercice

[zoé16]

merci pour la correction !!! je sais la rédaction c'est pas mon fort !!! le prof me le reproche souvent...

[miumiu]

zoé16
Voilà l'exercice :

Dans une culture de microbes, le nombre de microbes à un instant t, exprimé en heures, peut être considéré comme une fonction y à valeurs réelles de la variable t. La vitesse de prolifération à l'instant t du nombre des microbes est la dérivée y' de cette fonction. On a constaté que :

y'(t)= k y(t) k∈ℜ k>0

On désigne N le nombre de microbes à l'instant t=0

1. Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle y'=ky telle que y(0)=N

2. Sachant qu'au bout de 2heures le nombre de microbes a quadruplé, calculer en fonction de N le nombre de microbes au bout de 3 heures.

3. quelle est la valeur de N sachant que la culture contient 64000 microbes au bout de 5 heures ?

Voila ce que j'ai fais :

y'(t)= ky(t)
donc y= A $e^{kt}$ A∈ℜ
comme y(0)=N
$N=A{e}^0$
A=N

donc $y(t)=N{e}^{kt}$

2. au bout de 2heures on a 4N

$y(2)=4N{e}^{2kt}$

et là c'est le drame.... mdr... je bloque... pour changer

3. Encore le drame je vois pas comment faire ... :frowning2:
   ok
   pourquoi tu as mis un t dans $y(2)=4N{e}^{2kt}$ pour commencer,
   je regarde pour la suite

[zoé16]

je me suis trompée lol :frowning2: c juste 2k

[begbi]

Pour les microbes :

1. Ok
2. Erreur : y(2) = 4N et tu remplace bien y(2) tu en déduit k et donc y(3) en fonction de N et de meme pour la question 4)
   voilou;)

[miumiu]

ensuite
c'est de la lecture de l'énoncé qu'il s'agit c'est pour ça qu'il faut être très en forme lol
donc à t=0 on a N microbes à t=2 on nous dit que le nombre a été multiplié par 4 donc a t=2 on a ... (a) microbes
ensuite en utilisant la formule
à t= 2
on a
y(2)=...(b)
donc (a)=(b)
tu peux trouver k et par conséquent la suite
ok ?!
si ce n'est pas clair il n'y a pas de soucis tu peux me le dire

*sorry begbi je n'avais pas vu ta réponse *

[zoé16]

ok merci pour vos réponses
donc j'ai fais :

2. y(2)=4N

donc 4N= $N{e}^{2k}$
4 = $e^{2k}$
ln(4) = ln( $e^{2k}$)
ln(4) = 2k
k = ln(4)/2

donc k = ln(2)

par conséquent y(t)=N $e^{ln2t}$
=N*2t

C'est ça ?

[begbi]

Pas de souci il vaut mieux expliquer deux fois qu'une!!:)
Tu n as plus d'excuse maintenant Zoé on attends ton resultat;)

[begbi]

Attention :evil:
(ln4)/2 c est pas ln2!!!!!!!!

[begbi]

Arrfff si ta raison ca fait ln (4^0.5) lol

[begbi]

Bon y(t) = $N{e}^{ln2t}$ ok
Mais attention $e^{ab}$≠$e$^a$e^b$

[miumiu]

zoé16
ok merci pour vos réponses
donc j'ai fais :

2. y(2)=4N

donc 4N= $N{e}^{2k}$
4 = $e^{2k}$
ln(4) = ln( $e^{2k}$)
ln(4) = 2k
k = ln(4)/2

donc k = ln(2)

par conséquent y(t)=N $e^{ln2t}$
=N*2t

C'est ça ?

attention ce n'est pas ln(2t) mais (ln2) x t donc....

[zoé16]

donc ça fait y(t)=N2lnt non ?

[begbi]

nan tjrs pas prends ton temps
rapel : KlnR = $ln{R}^K$
puis $e^{lnK}$ = K
voila la tu devrais quand meme y arriver au resultat!!

[miumiu]

nan quand
tu as $x^3$ = ...

[zoé16]

ça fait $y(t)=N<em>2</em>e^t$ ????

[zoé16]

ou $y(t)=N\ast 2^t$ ??? je me mélange tout lol

[begbi]

C est a toi de me dire laquelle est la bonne reponse j attends

[zoé16]

jpense que c'est y(t)=N*2t

[begbi]

Tu es sure ca fait pas parti des reponses que tu m as proposer précedement

[miumiu]

$x^3$= $e^{3lnx}$
pour x∈]0,+∞[
donc $e^{tln2}$ =

[zoé16]

mince j'ai pas mis l'exposant mdr escusez moi lol

$y(t)=N\ast 2^t$ je vais y arriver lol

[begbi]

ok maintenant ta fini oufffff

[zoé16]

lol enfin !!!

donc pour finir l'exo j'ai fais :

$y(3)=N\ast 2^3$
=8N

2. $y(5)=N\ast 2^5$
   =32N

comme y(5)=6400
on a

6400=32 N

Donc N = 200

Voila merci beaucoup à tout le monde c'est vraiment sympa !!! j'y serai jamais arrivée sans vous !! Je sais pas comment vous faites pour voir les choses comme ça !! Moi je vois jamais ce qu'il faut faire ou par quoi il faut commencer !!

Encore merci bonne soirée à vous