équations différentielles (condensateur, polynomes, courant dans conducteur)



  • Bonjour tout le monde !!! 😄 Voila je vien vous embéter un petit peu !!! J'ai quelques problèmes pour faire mes exercices !! :frowning2: Bon je suis quand même arrivée à faire quelques questions !! Donc voila est-ce que vous pourriez me dire si ce que j'ai fais est juste 😕 Et pour ce que je ne suis pas arrivée à faire pourriez vous m'aider à commencer ou me donner des pistes 😕
    Merci d'avance

    Exercice 1

    On s'intéresse à l'évolution de la tension aux bornes du condensateur durant sa période de charge. A l'instant t0=0, le condensateur n'étant pas chargé, on a donc u(0)=0
    On sait que la tension aux bornes du condensateur est une fonction de temps qui vérifie :
    u(t) +RC.u(t)' = E

    τ= RC E=6V R=1kΩ C=1μF

    1)déterminer la fonction u(t) et la représenter graphiquement
    2)Montrer qu'au bout de 5τ le condensateur est chargé à plus de 99%

    Exercice 2

    On considère les deux équations différentielles :

    y' + 2y = 2x² -1 (E) y' + 2y = 0 (F)

    1)Déterminer une fonction polynome P0 de degré inférieur ou égal à 2 solution de l'équation (E)
    2)Résoudre (F)
    3)Montrer qu'une fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction f-P0 est solution de (F)
    4)En déduire l'ensemble des fonctions solutions de l'équation (E)

    Exercice 3

    On fait passer du courant d'intensité constante dans un conducteur. Par effet joule ce conducteur s'échauffe et on note θ(t) sa température en degré celsius à l'instant t. A t=0 la température est de 0°C. Le bilan énergétique se traduit par l'équation
    θ'+20k θ =2
    k est une constante qui dépend du conducteur.

    1)Cas où k=0
    a) déterminer θ(t) en fonction de t
    b) A quel instant la température du conducteur atteint 20°C ?

    2)Cas où k=5103k=5*10^{-3}
    a) expliquer pourquoi θ(t)=20(1-℮0,1t^{-0,1t})
    b) donner l'équation de la tangente T à l'origine
    c) déterminer à l'aide de la calculatrice la valeur approchée du temps nécessaire pour que la température atteigne 19°C.

    Voila ce que j'ai fais :(j'ai fais l'exercice 1 en entier le 2 je ne sais pas comment calculer une équation différentielle égale à une fonction :frowning2: et le 3 je n'est pas fais le cas numéro 1) car si k=0 &952;#'=2 :frowning2: alors je comprend pas )

    Exercice 1

    1. u(t)+10u(t)+10^3106*10^6*u'(t)=6
      u(t)+103u(t)+10^{-3}*u'(t)=6
      10310^{-3}*u'(t)=-u(t)+6
      u'(t)=(u(t)+6)/103(t)=(-u(t)+6)/10^{-3}

    u(t)=Keu(t)=Ke^{-t/10-3}+(6/10+(6/10^{-3})/(1/103)/(1/10^{-3})

    0=Ke00=Ke^0+6
    -6=K

    u(t)=6(1et/103u(t)=6(1-e^{-t/10-3})

    Je vous envoi le reste de ce que j'ai fais un peu plus tard parce que j'ai du mal à le taper :frowning2:

    [un peu de sobriété dans le choix des couleurs, svp, N.d.Z.]



  • j'adore tes exos Zoè je m'occupe de toi tout de suite 🙂
    merci Z pour l'info 😉



  • ok
    alors pour le 2 tu as fais quoi?



  • pour l'exercice 2 j'ai fait:

    1. y'+2y=0
      y= k e2xe^{-2x} k∈R

    après je ne sais pas comment faire pour les autres questions 😕

    pour l'exercice 1 j'ai fait :

    1. T=103T=10^{-3}secondes
      5T=5<em>1035T=5<em>10^{-3}secondes
      u(5T)=u(5</em>10u(5T)=u(5</em>10^{-3})=6(1e(5103)/103)=6*(1-e^{(-5*10-3)/10-3}
      c'est égal à environ 5.9595

    (5.9595*100)/6≈99.33%

    pour l'exercice 3

    1. k=0
      θ'+200θ=2
      θ'=2

    et là je bloque...

    1. k=5103k=5*10^{-3}

    θ'+20<em>5</em>103+20<em>5</em>10^{-3}θ=2
    θ'+ 1/10 θ=2

    θ=He1/10t=He^{-1/10t}+2/(1/10) H∈R
    θ=He1/10t=He^{-1/10t}+20

    comme θ(0)=0

    0=He00=He^0+20
    H=-20

    θ=20e1/10t=-20e^{-1/10t}+20
    θ=20(1e1/10t=20(1-e^{-1/10t})

    T=θ'(0)(x-0)+θ(0)
    =2(x-0)
    =2x

    u(p)=19°C
    p≈29.95



  • voila si ya quelque chose qui n'est pas clair dites moi le 😄 merci beaucoup pour votre aide !!!



  • Dans l'exercice 2, il y a cette question que tu sembles ne pas avoir faite :

    Citation
    1)Déterminer une fonction polynome P0P_0 de degré inférieur ou égal à 2 solution de l'équation (E) : y' + 2y = 2x² -1.

    Donc P = ax² + bx + c qui serait solution de (E)... P' = 2ax + b ; remplaçons :

    2ax + b + 2ax² + 2bx + 2c = 2x² - 1, valable pour tout x.

    donc a = 1 ; donc b = -1 et c = -1/2.



  • coucou!!
    je suis désolée de te répondre si tardivement j'étais occupée sur une autre convers qui n'a pas abouti d'ailleurs
    ta présentation et nickel bravo j'aime beaucoup 🙂

    Citation
    Exercice 2
    On considère les deux équations différentielles :

    y' + 2y = 2x² -1 (E) y' + 2y = 0 (F)

    1)Déterminer une fonction polynome P0 de degré inférieur ou égal à 2 solution de l'équation (E)
    2)Résoudre (F)
    3)Montrer qu'une fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction f-P0 est solution de (F)
    4)En déduire l'ensemble des fonctions solutions de l'équation (E)

    1. j'ai trouvé $x²-x$ça marche 🙂 moi c'est du feeling (long) mais Z c'est la classe lol

    par contre mon cher petit Z je crois que tu t'es trompé c=0 mais bon il ne faut pas lui en vouloir je le fatigue mdr

    1. ok

    2. ff est solution de (E)
      donc

    f+2f=2x21f'+2f=2x^2-1

    f+2f=po+2pof'+2f=p_o'+2p_o

    f+2fpo2po=0f'+2f-p_o-2p_o=0

    ... je te laisse continuer c'est presque fini 🙂

    4)pour tout $x \in \r$

    f(x)po(x)=k×e2xf(x)-p_o(x)= k \times e^{-2x} pour tout $k \in \r$

    f(x)=...f(x)=...
    tu continues ce n'est plus très long 🙂



  • Pour l'exo 3)
    Citation

    1. k=0
      θ'+200θ=2
      θ'=2

    et là je bloque...
    mais nan tu ne bloques pas tu réfléchis trop mdr
    θ'=2
    donc θ(t)=2t+α\theta(t)=2t+\alpha alpha pour tout $\alpha\in \r$
    mais a t=0 on a θ(t)=0\theta(t)=0 donc
    θ(t)=...\theta(t)=...
    alors pour une température de 20°C on a ...

    1. a/ nickel
      b/nickel
      c/je ne sais pas comment tu as fait mais je trouve comme toi 🙂
      c'est très bien
      j'espère que je n'ai pas répondu trop tard


  • Attends : avec c = -1/2

    (x² - x - 1/2)' + 2(x² - x - 1/2) = 2x - 1 + 2x² - 2x - 1 = 2x² + 1 ≠ 2x² - 1

    ah oui tu as raison

    alors que si c = 0, on a

    (x² - x)' + 2(x² - x) = 2x - 1 + 2x² - 2x = 2x² - 1

    là oui (j'aurais dû vérifier).

    Ah oui, c'est en identifiant : j'ai oublié la valeur de b pour finir avec le calcul de c...



  • Zauctore

    là oui (j'aurais dû vérifier).

    Ah oui, c'est en identifiant : j'ai oublié la valeur de b pour finir avec le calcul de c...
    j'aimerais dire quelque chose mais nan en fait je vais me taire c'est mieux pour moi
    😆 😆 😁



  • lol ok merci !! dsl de ne pas avoir répondu plus tôt mais j'étais en cours !!! :razz: merci pour vos aides !! Je vais appliquer tout ça maintenant et je reviendrai vous montrer ce que j'ai fais !!! 😄

    Encore merci beaucoup c'est super sympa 😉 😄



  • pour l'exo 3 1)
    je comprend pas pourquoi on met que :
    θ(x)=2t+α a∈ℜ
    c'est une formule ça ? 😕



  • Ah non j'ai rien dit je vien de comprendre lol !!!! 😁
    f(x)=2x
    f'(x)=2

    lol désolée... 😄



  • mdr
    et bien si ta dérivée c'est
    θ=2\theta '=2
    ça veut dire que la fonction θ\theta c'est par exemple

    θ(t)=2t+4\theta (t) = 2t + 4
    ou
    θ(t)=2t+4000000\theta (t) = 2t + 4000000 lol

    donc c'est pour ça que j'ai mis θ(t)=2t+α\theta (t) = 2t + \alpha

    pour $\alpha\in\r$

    tu peux mettre ce que tu veux au lieu de α\alpha



  • bon alor voilà ce que j'ai fais 😁 :

    Exercice 2

    1. f solution de (E) donc :

    f'+2f = 2x²-1
    f'+2f = Po'+2Po
    f'+2f-Po'-2Po = 0
    (f-Po)' + (2f-2Po) = 0
    (f-Po)' + 2(f-Po) = 0

    donc on prend (f-Po)'=y' et 2(f-Po)=2y
    donc
    (f-Po)= k e-2x k∈R

    1. pour tout x ∈ℜ

    f-Po= k e-2x k∈R

    donc f = -Po + k e-2x k∈R
    = x²-x+k e-2x

    l'ensemble des solutions de (E) on la forme de
    f(x) = = x²-x+k e-2x

    Exercice 3

    1. k=0

    θ(t)=2t+ a a∈ℜ

    donc comme θ(0)=0

    0=2*0+a
    a=0

    θ(t)=2t

    par conséquent θ(?)=20°C

    20=2t
    t=10

    θ(10)=2*10=20°

    la température atteint 20°C à t=10 😄

    voilà !! Mais c'est pas tout en fait j'ai un autre exo à vous montrer lol 😄 que j'ai pas trés bien compri !! Je vous embète encore un petit peu lol je vous l'envoi ...



  • Voilà l'exercice :

    Dans une culture de microbes, le nombre de microbes à un instant t, exprimé en heures, peut être considéré comme une fonction y à valeurs réelles de la variable t. La vitesse de prolifération à l'instant t du nombre des microbes est la dérivée y' de cette fonction. On a constaté que :

    y'(t)= k y(t) k∈ℜ k>0

    On désigne N le nombre de microbes à l'instant t=0

    1. Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle y'=ky telle que y(0)=N

    2. Sachant qu'au bout de 2heures le nombre de microbes a quadruplé, calculer en fonction de N le nombre de microbes au bout de 3 heures.

    3. quelle est la valeur de N sachant que la culture contient 64000 microbes au bout de 5 heures ?

    😲

    Voila ce que j'ai fais :

    y'(t)= ky(t)
    donc y= A ekte^{kt} A∈ℜ
    comme y(0)=N
    N=Ae0N=Ae^0
    A=N

    donc y(t)=Nekty(t)=Ne^{kt}

    1. au bout de 2heures on a 4N

    y(2)=4Ne2kty(2)=4Ne^{2kt}

    et là c'est le drame.... mdr... je bloque... 😁 pour changer

    1. Encore le drame je vois pas comment faire ... :frowning2:


  • Citation

    1. f solution de (E) donc :

    f'+2f = 2x²-1
    f'+2f = Po'+2Po
    f'+2f-Po'-2Po = 0
    (f-Po)' + (2f-2Po) = 0
    (f-Po)' + 2(f-Po) = 0

    donc on prend (f-Po)'=y' et 2(f-Po)=2y
    donc
    (f-Po)= k e-2x k∈R

    tu sais tu n'es pas obligée de faire tant de chichi lol tu peux juste mettre

    f'+2f = 2x²-1
    ⇔f'+2f = Po'+2Po
    ⇔f'+2f-Po'-2Po = 0
    ⇔(f-Po)' + (2f-2Po) = 0
    ⇔(f-Po)' + 2(f-Po) = 0
    ⇔f-Po est solution de (F)

    1. nickel

    Citation
    Exercice 3

    1. k=0

    θ(t)=2t+ a a∈ℜ

    donc comme θ(0)=0

    0=2*0+a
    a=0

    θ(t)=2t

    par conséquent θ(?)=20°C

    20=2t
    t=10

    θ(10)=2*10=20°

    la température atteint 20°C à t=10
    oui pour le raisonnenment mais pour la rédacation un peu moyen lol

    Exercice 3

    1. k=0

    θ(t)=2t+ a pour a∈R

    or pour t=0 on a θ(0)=0°C

    0=2*0+a
    donc a=0

    alors θ(t)=2t pour tout t ∈ R

    par conséquent pour θ(t)=20°C
    on a :
    20=2t
    alors t=10

    la température atteint 20°C à t=10

    ok si tu as un autre exercice 🙂



  • merci pour la correction !!! je sais la rédaction c'est pas mon fort !!! 😆 le prof me le reproche souvent...



  • zoé16
    Voilà l'exercice :

    Dans une culture de microbes, le nombre de microbes à un instant t, exprimé en heures, peut être considéré comme une fonction y à valeurs réelles de la variable t. La vitesse de prolifération à l'instant t du nombre des microbes est la dérivée y' de cette fonction. On a constaté que :

    y'(t)= k y(t) k∈ℜ k>0

    On désigne N le nombre de microbes à l'instant t=0

    1. Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle y'=ky telle que y(0)=N

    2. Sachant qu'au bout de 2heures le nombre de microbes a quadruplé, calculer en fonction de N le nombre de microbes au bout de 3 heures.

    3. quelle est la valeur de N sachant que la culture contient 64000 microbes au bout de 5 heures ?

    😲

    Voila ce que j'ai fais :

    y'(t)= ky(t)
    donc y= A ekte^{kt} A∈ℜ
    comme y(0)=N
    N=Ae0N=Ae^0
    A=N

    donc y(t)=Nekty(t)=Ne^{kt}

    1. au bout de 2heures on a 4N

    y(2)=4Ne2kty(2)=4Ne^{2kt}

    et là c'est le drame.... mdr... je bloque... 😁 pour changer

    1. Encore le drame je vois pas comment faire ... :frowning2:
      ok
      pourquoi tu as mis un t dans y(2)=4Ne2kty(2)=4Ne^{2kt} pour commencer,
      je regarde pour la suite


  • je me suis trompée lol :frowning2: c juste 2k



  • Pour les microbes :

    1. Ok
    2. Erreur : y(2) = 4N et tu remplace bien y(2) tu en déduit k et donc y(3) en fonction de N et de meme pour la question 4)
      voilou;)


  • ensuite
    c'est de la lecture de l'énoncé qu'il s'agit c'est pour ça qu'il faut être très en forme lol
    donc à t=0 on a N microbes à t=2 on nous dit que le nombre a été multiplié par 4 donc a t=2 on a ... (a) microbes
    ensuite en utilisant la formule
    à t= 2
    on a
    y(2)=...(b)
    donc (a)=(b)
    tu peux trouver k et par conséquent la suite
    ok ?!
    si ce n'est pas clair il n'y a pas de soucis tu peux me le dire 😉

    *sorry begbi je n'avais pas vu ta réponse *



  • ok merci pour vos réponses 😄
    donc j'ai fais :

    1. y(2)=4N

    donc 4N= Ne2kNe^{2k}
    4 = e2ke^{2k}
    ln(4) = ln( e2ke^{2k})
    ln(4) = 2k
    k = ln(4)/2

    donc k = ln(2)

    par conséquent y(t)=N eln2te^{ln2t}
    =N*2t

    C'est ça ?



  • Pas de souci il vaut mieux expliquer deux fois qu'une!!:)
    Tu n as plus d'excuse maintenant Zoé on attends ton resultat;)



  • Attention :evil:
    (ln4)/2 c est pas ln2!!!!!!!!



  • Arrfff si ta raison ca fait ln (4^0.5) lol
    😆



  • Bon y(t) = Neln2tNe^{ln2t} ok
    Mais attention eabe^{ab}ee^aebe^b



  • zoé16
    ok merci pour vos réponses 😄
    donc j'ai fais :

    1. y(2)=4N

    donc 4N= Ne2kNe^{2k}
    4 = e2ke^{2k}
    ln(4) = ln( e2ke^{2k})
    ln(4) = 2k
    k = ln(4)/2

    donc k = ln(2)

    par conséquent y(t)=N eln2te^{ln2t}
    =N*2t

    C'est ça ?

    attention ce n'est pas ln(2t) mais (ln2) x t donc....



  • donc ça fait y(t)=N2lnt non ?



  • nan tjrs pas prends ton temps
    rapel : KlnR = lnRKlnR^K
    puis elnKe^{lnK} = K
    voila la tu devrais quand meme y arriver au resultat!!


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