Récurrences Suites Somme des carrés des entiers de 1 à n et calcul d'aire

voila en fait j'ai un autre dm à rendre mardi mais le problème c'est que je ne peux pas vous le montrer
Il y a des diagramme mais je ne peux pas les scanner pour vous les montrer
donc ben je vais essayer de vous expliquer sans
lol

Somme des carrés...

On considère la suite x définie par récurrence de la facon suivante:
So=0 et pour tout entier naturel n, $s_{n+1}= s_n+(n+1)^2$

**1.**Montrer que $sn=n(n+1)(2n+1)6s_n= \frac{n(n+1)(2n+1)}6$

**2.**Vérifier que $s_n= 1^2+2^2+3^2+...+n^2$ puis conclure

Voila pour la première partie

Calcul d'une aire

On considère la fonction $f(x)=x^2$

on se propose de déterminer l'aire A sous la courbe Cf entre 0 et 1, c'est à dire l'aire du domaine plan limité par les droites d'équation y=0, x=0 et x=1 et la courbe Cf.

c'est la qu'intervienne les 3 diagrammes que je ne peux pas vous montrer
si je toruve comment vous les faire apparaitre, je le ferais

[voir plus bas, ils y sont maintenant, N.d.Z.]

1. On subdivise l'intervalle [0.1] en 5 intervalles de même amplitude: H5=1/5
on appelle U5 l'aire apparaissant en gris sur la figure 1 et V5 celle apparaissant sur la figure 3
On a donc l'encadrement A: U5<A<V5

Calculer U5 et V5 puis lambda 5= V5-U5

puis ben pour le reste je le ferais plus tard
parce que sans schéma c chaud
voila
merci bcp

coucou!!!

Exercice 1

Tu as bien réussi a faire quelque chose nan?!

il faut le montrer pas récurrence
donc $s_n$ est la somme des ...

tu peux faire un scan pour une figure mais pas pour l'exercice

Salut
Je pense que ton aire est égale a 1/3 mais selon la methode ton exo il ns faudrait les scans pour faire le probleme...
(L aire A = l integrale (X^2 dx de 0 a 1))

ben il faut ke j'essaie de vous els scanner
des que je le peux j'essaie de vous faire part des diagrammes
merci bcp en attendant
je pense demin car je n'aurais pas le temps ce soir
merci

ok et le premier exercice c'est bon?

euh ben je viens juste de m'y remettre
je finis mon dm de fisik et je reviens ici pour celui de math
que je vais esayer de scanner
lol
a toute

bon pour l'exo 1
donc j'ai fait mon truc par récurrence mais y'a juste un truc j'obtiens donc Sn+1= n(n+1)(2n+1) sur 6 + (n+1)²

et la j'ai fait mle calcul 3 fois et j'arrive pas à réduire en fait
je toruve trois résultats différent
et donc ben je peux pas dire que c'est bon vu que j'obtiens pas le meme résultat
si tu pouvais juste me dire cque tu trouve quand tu fais le calcul??? stp
merci

ca y est j'ai les diagrammes
lol

ok on sait
que
$sn+1=sn+(n+1)2=sn+6(n+1)26s_{n+1}= s_n+(n+1)^2= s_n+ \frac{6(n+1)^2}{6}$

Montrer que $sn=n(n+1)(2n+1)6s_n= \frac{n(n+1)(2n+1)}{ 6}$

le truc c'est de prouver a la fin que

$sn+1=(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)6s_{n+1}= \frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{ 6}$
soit

$sn+1=(n+1)(n+2)(2n+3)6s_{n+1}= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{ 6}$

donc avec ce qu'il y a au début il faut prouver que

$sn+6(n+1)26=(n+1)(n+2)(2n+3)6s_n+ \frac{6(n+1)^2}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{ 6}$

soit

$n(n+1)(2n+1)6+6(n+1)26=(n+1)(n+2)(2n+3)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{ 6}+ \frac{6(n+1)^2}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{ 6}$
donc tu développes réduits... le numérateur

ah ok
oui
merci bcp
j'essaie ca et je te dis

ok c'est cool

mais le premier calcul c'est lequel?? Faut que je rpouve quoi en prmier,?

en fait, je vois pas trop du coup la...
lol

lol tu fais ta récurrence
ton initialisation
ton hérédité tu poses que

$sn=n(n+1)(2n+1)6s_n= \frac{n(n+1)(2n+1)}{ 6}$
est vraie pour un rang n
ton but : prouver que

$sn+1=(n+1)(n+2)(2n+3)6s_{n+1}= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{ 6}$

donc tu dis on remarque que (en t'aidant des données de l'énoncé)

$sn+1=n(n+1)(2n+1)6+6(n+1)26=...=(n+1)(n+2)(2n+3)6s_{n+1}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{ 6}+ \frac{6(n+1)^2}{6} =...= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{ 6}$
donc ...
ok?!

ok
donc j'obtiens que Sn+1 est vraie et donc que Sn=n(n+1)(2n+1) sur 6
c'est bien cela??

la propriété est vraie au rang n+1.
Elle est vraie pour tout n de $mathbb{N}$

ouais ouais ok pour cela
ah si juste une chose
quand je développe, j'obtiens 9n²+14n+6 sur 6 = (n+1)(n+2)(2n+3) sur 6

$(n+1)(n+2)(2n+3)6s_{n+1}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{ 6}+ \frac{6(n+1)^2}{6} \text{ et } \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{ 6}$

il y a forcément du
$n^3$ des deux cotés c'est bizarre que tu n'en trouves pas

attend jvais revoir
jme disais bien aussi que ca allait pas
lol

ben non jtrouve pas de n³
jtrouve que du carré
mais qu'est ce qui va pas chez moi??
lol

c'est pas la peine
je toruve pas de cube
j arrive aps sa me soule

hum tu vas m'écrire tous tes calculs je ne sais pas je ne l'ai pas fait et je regarde si tu as bon ou pas ok?!

oué si tu veux
j'ai donc pour n(n+1)(2n+1) sur 6 + 6(n+1)² sur 6
n²+n+2n²+n+6(n²+2n+1) sur 6
docn ca me donne 3n²+2n+6n²+12n+1 sur 6

et pour (n+1)(n+2)(2n+3) alors la c'est la vraie cata
j'arrive plus a dévellopper
mais j'obteins
n²+2n+2n²+3n+n+2+3 do,nc 3n²+6n+5 sur 6

mandinette
oué si tu veux
j'ai donc pour n(n+1)(2n+1) sur 6 + 6(n+1)² sur 6

alors

donc $n(n+1)(2n+1) =(n^2+n)(2n+1)=n^3+....$

ok?!
n²+n+2n²+n+6(n²+2n+1) sur 6
docn ca me donne 3n²+2n+6n²+12n+1 sur 6

jte suis pas la, tveux me faire dire koi?

Il faut procéder par étapes ne cherche pas a tout faire d'un seul coup !!!

ah ok, jfais le calclu et je te lenvoie

donc cette fois j'ai 2n³+3n²+n
c'est bon ou pas?

et pour dévellopper 6(n+1)², je ne sais plus ou est la priorité!!
lol

et bien tu fais d'abord le carré
6(n+1)²= 6(n²+2n+1)

2n³+3n²+n oui

ok
et j'ai btenu 6n²+12n+6 sur 6

et apres j'ajoute les 2 expressions et c'est bon, c'est cela???

oui voila et tu compares au développement de (n+1)(n+2)(2n+3)

quand j'ajoute, j'obtiens 2n³+9n²+13n+6 sur6
est ce que c'est bon??

j'obtiens le meme développement pour (n+1)(n+2)(2n+3)
donc ca veut dire que c'ets bon??

oui c'est bon

ok
bon on va pouvoir enfin passrer à la suite
c'est a dire montrer que Sn=1²+2²+...+n²
????
et la.......
lol

je dois partir mais ne t'inquiètes pas je te laisse avec notre cher Z aimé de tous qui va bien prendre soin de toi