somme des entiers de 1 à n, polynome (ex-dm très urgent help me !!)



  • coucouc tt lmonde!!!jai un probleme sur un dm: 😕

    "il s'agit de t(rouver une formule donnant la somme des nombres des n entiers naturels non nuls de 1 a n.
    on note S(n)=1+2+3.+.+.............+n-2+n-1+n
    on écrit cette somme ∑ k=n (au dessu de ∑ ) k=1 (en dessou de ∑ ) k (a coté du tout!)

    1- soit P(x) un polynome de degré 2. Démontrer qu'il existe un polynome unique vérifiant: pour tout x, P(x+1)-P(x)=x et P(1)=0.

    2-Justifier que S(n)= P(n+1)-P(1)
    en déduire la formule ∑ k=n (au dessu de ∑ ) k=1 (en dessou de ∑ ) k (a coté ∑ ) = ( n(n+1) )/2 "

    jai essayé mais je n'y arrive pas c'est trop dur le prof ne nous a rien expliqué on a pas du tout vu avec ∑ donc ça seré sympa de m'aider svp merci :rolling_eyes:



  • bonjour et bienvenue sur le forum
    je vais modifier ton post pour qu'il soit plus lisible

    luluce41
    coucouc tout le monde!!!j'ai un problème sur un dm: 😕

    "il s'agit de trouver une formule donnant la somme des nombres des n entiers naturels non nuls de 1 a n.

    on note sn=1+2+3+4+.............+n2+n1+ns_n=1+2+3+4+.............+n-2+n-1+n

    on écrit cette somme p=1nk\sum_{p=1}^{n} {k}

    1- soit P(x) un polynome de degré 2. Démontrer qu'il existe un polynome unique vérifiant:

    pour tout xx , p(x+1)p(x)=xp(x+1)-p(x)= x et p(1)=0.p(1)=0.

    2-Justifier que sn=p(n+1)p(1)s_n= p(n+1)-p(1)

    en déduire la formule p=1nk\sum_{p=1}^{n} {k}= n(n+1)2\frac {n(n+1) }{2}

    j'ai essayé mais je n'y arrive pas c'est trop dur le prof ne nous a rien expliqué on n'a pas du tout vu avec ∑ donc ça serai sympa de m'aider s'il vous plait merci :rolling_eyes:

    alors maintenant pour l'aide
    tu poses p(x)=ax2+bx+cp(x)=ax^2 + bx + c

    et tu calcules p(x+1)p(x)p(x+1)-p(x)
    tu poses p(x+1)p(x)=xp(x+1)-p(x) = x et tu trouves a,ba , b et cc en t'aidant de l'indication p(1)=0.p(1)=0.



  • merci c genti de mavoir aidé si vite et de mavoir refai mon sujet parce que le mien étai pa tres compréhensible!mai je compren pas il faut que je fasse (x-1)-(ax²+bx+c) parce que ça me donne ax³+ (b+a)x² + (c+b)x + c et maintenan je fait comment pour trouver a,b et c?parce que j'ai pas de polinome pour les comparer et trouver ces nombres. jsuis désolé de pas tout comprendre!merci d'avance biz 😄



  • Tu dois faire une erreur normalement tu reste au second degrés ( pas de terme en x3x^3)
    P(x+1)=a(x+1)2P(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c



  • je compren pa comen tu trouve ce résultat. comen on calcule p(x+1) au débu??



  • tu poses
    p(x)=ax2+bx+cp(x) = ax^2 + bx + c

    tu remplaces le xxpar x+1x+1
    tu fais la différence ensuite



  • merci jsuis vraiment désolée c'était bête en plus j'avais pas fait attention désolé vraiment merc 😄 i encore biz



  • de rien maintenant tu peux nous dire ce que tu trouves?



  • ba je trouve un truqu'est pas logique quand je dévellope pour P(x+1) je trouve ax²-2ax+a+bx+b+c

    et quand je soustrait p(x) ça me donne -2ax+a+b
    alors quil faut que je trouve x
    pourquoi je trouve ça? 😕



  • Attention aux signes
    (x+1)2(x+1)^2= x2x^2+2x+1
    Tu devrais arriver a : 2ax+a+b



  • Ensuite tu obtient x = polynome
    Tu identifi les coefficients de x2x^2 de x et les constantes
    Tu trouve ainsi a, b et c (avec P(1) = 0)



  • re on récapitule

    on pose p(x)=ax2+bx+cp(x) = ax^2+bx+c

    donc p(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+cp(x+1) = a(x+1)^2+b(x+1)+c

    alors p(x+1)p(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c(ax2+bx+c)p(x+1)-p(x)= a(x+1)^2+b(x+1)+c- (ax^2+bx+c)

    p(x+1)p(x)=ax2+2ax+a+bx+b+cax2bxcp(x+1)-p(x)=ax^2+2ax+a +bx+b+c-ax^2-bx-c

    p(x+1)p(x)=2ax+a+bp(x+1)-p(x)=2ax+a+b

    on pose p(x+1)p(x)=xp(x+1)-p(x)=x

    donc 2ax+a+b=x2ax+a+b=x
    on identifie
    2a=...2a=...

    et a+b=...a+b=...

    donc a=...a=...

    et b=...b=...

    alors p(x)=...p(x)=...


 

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