Exercices nombres complexes



  • Salut tout le monde, j'ai deux exercies notés pour mercredi a faire et je bloque sur certaines questions alors je viens vous demander un peu d'aide !

    Alors le premier:

    Soit A,B et C les points d'affixes: Za=3+i, Zb=2 et Zc=3-i.
    A chaque point M du plan d'affixe Z on associe le point M' d'affixe Z'= (1+i)Z-2-i.

    1)Déterminer les points A', B' et C' associés aux points A B et C.
    Placer les points A,B,C,A',B' et C'.

    Alors je trouve: Za'=3i ; Zb'=i ; Zc'=2+i

    Les coordonnées: A(3,1) B(2,0) C(3,-1) A'(0,3) B'(0,1) C'(2,1)

    2)a)Calculer les longueurs des cotés des triangles ABC et A'B'C'.

    AB=-1-i ; BC=1-i ; AC=-2i
    A'B'=-2i ; B'C'=2 ; A'C'=2-2i

    b) Que peut on dire des ces triangles ?

    Ils sont rectangles:

    J'applique la propriétés qu'on a vu en cours:
    Z(AB/BC)=.....=-i

    C'est un imaginaire pur donc (AB,BC)=pipi/2 ou -pipi/2 [2pipi]

    Idem pour l'autre triangle.

    **Et voila ou je bloque:

    1. Montrer qu'il existe un unique point M tel que M'=M. On notera ce point Ω
      et ω son affixe.
      a) Pour M≠Ω, calculer (Z'-ω; )/(Z-ω; ) [ la j'ai un petit probleme de syntaxe, ca me met des smiley alors j'ai mis un point virgule n'y faites pas attention !]
      b) En déduire l'expression de ΩM' en fonction de ΩM et une mesure de l'angle (ΩM,ΩM').
    2. De la question 3, déduire une construction géométrique de M' a partir de M (on rélisera cette construction et on l'expliquera).**

    Voila pour le premier exercice, maintenant le second

    1. Pour tout nombre complexe Z on pose:
      $
      P(Z)=Z^4$-1

    a) factoriser P(Z).

    P(Z)= Z4Z^4-1
    =(Z²-1)(Z²+1)

    b) En deduire les solutions dans mathbbCmathbb{C} de l'équation P(Z)=0

    P(Z)=0 ssi Z²-1=0 ou Z²+1=0

    D'ou Z=1 ou Z=sqrtsqrti

    **c)Déduire de la question précédente les solutions dans mathbbCmathbb{C} de l'équation d'inconnue Z: ((2Z+1)/(Z1))4((2Z+1)/(Z-1))^4=1

    2)a) Le plan complexe est rapporté a un repere orthonormé direct (O;u;v) (unité: 5cm). placer les points A,B et C d'affixes:
    a=-2; b=(-1/5)+(3/5i); c=(-1/5)+(3/5i)

    Bon la je vois pas de difficultés ni de piege.

    Et enfin:
    b)Démontrer que les points O, A, B et C sont sur un cercle que l'on définira.**

    Voila c'est terminé, j'espere que vous pourriez m'aider notamment pour les questions sur lesquelles je bloque.

    Merci beaucoup @+ !



  • coucou
    😲
    quel exercice lol !!
    je regarde petit a petit

    moo
    Salut tout le monde, j'ai deux exercies notés pour mercredi a faire et je bloque sur certaines questions alors je viens vous demander un peu d'aide !

    Alors le premier:

    Soit A,B et C les points d'affixes: Za=3+i, Zb=2 et Zc=3-i.
    A chaque point M du plan d'affixe Z on associe le point M' d'affixe Z'= (1+i)Z-2-i.

    1)Déterminer les points A', B' et C' associés aux points A B et C.
    Placer les points A,B,C,A',B' et C'.

    Alors je trouve: Za'=3i ; Zb'=i ; Zc'=2+i

    Les coordonnées: A(3,1) B(2,0) C(3,-1) A'(0,3) B'(0,1) C'(2,1)

    ok
    Citation

    2)a)Calculer les longueurs des cotés des triangles ABC et A'B'C'.

    AB=-1-i ; BC=1-i ; AC=-2i
    A'B'=-2i ; B'C'=2 ; A'C'=2-2i
    C'est bizarre que tu trouves des imaginaires dans l'expression des longueurs tu as fait comment??
    Citation

    b) Que peut on dire des ces triangles ?

    Ils sont rectangles:

    J'applique la propriétés qu'on a vu en cours:
    Z(AB/BC)=.....=-i

    C'est un imaginaire pur donc (AB,BC)=pipi/2 ou -pipi/2 [2pipi]

    Idem pour l'autre triangle.

    ta rédaction n'est vraiment pas top c'est parce que tu as fait vite je suppose...

    Citation
    [b]Et voila ou je bloque:

    1. Montrer qu'il existe un unique point M tel que M'=M. On notera ce point Ω
      et ω son affixe.

    tu résouds Z=Z'
    soit Z=(1+i)Z-2-i.

    on verra la suite après...



  • Citation

    Citation
    2)a)Calculer les longueurs des cotés des triangles ABC et A'B'C'.

    AB=-1-i ; BC=1-i ; AC=-2i
    A'B'=-2i ; B'C'=2 ; A'C'=2-2i

    C'est bizarre que tu trouves des imaginaires dans l'expression des longueurs tu as fait comment??

    Bah j'applique ce qu'on a vu en cours comme quoi AB=|Zab|=|Zb-Za|=2-(3+i)=-1-i

    Oui pour montrer qu'ils sont rectangles j'ai fait vite mais on a deja fait des exos similaires donc la rédaction ne pose pas de probleme.

    Bon alors resolvons ca:
    Z=(1+i)Z-2-i
    Z=Z+iZ-2-i
    Donc iZ-2-i=0
    iZ=2+i
    Z=(2+i)/i ??



  • ba oui t'as fait le module quoi dans le module il y a des carrés, des racines... sinon tu peux faire avec
    ab=(xbxa)2+(ybya)2ab= \sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}

    la bonne vieille méthode ça revient au même que le module

    oui pour le Z=...
    tu peux multiplier le numérateur et le dénominateur par i pour faire mieux



  • miumiu
    ba oui t'as fait le module quoi dans le module il y a des carrés, des racines... sinon tu peux faire avec
    ab=(xbxa)2+(ybya)2ab= \sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}

    la bonne vieille méthode ça revient au même que le module

    oui pour le Z=...
    tu peux multiplier le numérateur et le dénominateur par i pour faire mieux

    Oui c'est vrai j'ai oublié d'appliquer le module !

    Z=(2+i)/i * i/i
    Z=2i+i²/i²
    Z=(2i-1)/-1
    Oui comme ca on peut enlever le i du denominateur.

    Donc ω (ie l'affixe de Ω ) =(2i-1)/-1 ???

    Sinon pour les longueurs ca nous ferait:

    ab=(xbxa)2+(ybya)2ab= \sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}
    ab=(23)2+(0i)2ab=\sqrt{(-2-3)^2+(0-i)^2}
    ab=25+1ab=\sqrt{25+1}
    ab=26ab= \sqrt{26}

    Meme formule pour les autres.



  • moo
    Oui c'est vrai j'ai oublié d'appliquer le module !

    Z=(2+i)/i * i/i
    Z=2i+i²/i²
    Z=(2i-1)/-1
    Oui comme ca on peut enlever le i du denominateur.

    Donc ω (ie l'affixe de Ω ) =(2i-1)/-1 ???

    ba oui mais tu peux faire mieux mdr
    2i11=2i+1\frac{2i-1}{-1}= -2i+1

    Sinon pour les longueurs ca nous ferait:

    ab=(xbxa)2+(ybya)2ab= \sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}
    ab=(23)2+(0i)2ab=\sqrt{(-2-3)^2+(0-i)^2}
    ab=25+1ab=\sqrt{25+1}
    ab=26ab= \sqrt{26}

    tu ne peux pas faire des mixes avec l' écriture imagniaire et les formules pour les calculs "normaux"
    soit tu calcules bien le module en utilisant l'écriture imaginaire
    soit tu utilises la bonne vieille méthode avec les coordonnées dse points que tu as trouvé au 1:
    de plus
    xb=2x_b = 2 il me semble ...

    Meme formule pour les autres.



  • miumiu
    moo
    Oui c'est vrai j'ai oublié d'appliquer le module !

    Z=(2+i)/i * i/i
    Z=2i+i²/i²
    Z=(2i-1)/-1
    Oui comme ca on peut enlever le i du denominateur.

    Donc ω (ie l'affixe de Ω ) =(2i-1)/-1 ???

    ba oui mais tu peux faire mieux mdr
    2i11=2i+1\frac{2i-1}{-1}= -2i+1

    Oui tu as raison pour les longueurs je fait faire directement avec les coordonnées des points. ab=2ab=\sqrt{2}...

    Donc ω=-2i+1
    C'est donc ca l'affixe de Ω ?
    Enfin j'ai pas vraiment compris la suite de l'exercice 😕



  • oui voilou
    c'est bien maintenant tu peux faire la 3) a/ dis moi ce que tu trouves
    a ok
    je regarde



  • zωzω\frac{z'-\omega }{z-\omega}

    z+2i1z+2i1\frac{z'+2i-1}{z+2i-1}

    ((1+i)z2i)+2i1z+2i1\frac{((1+i)z-2-i)+2i-1}{z+2i-1}
    il faut faire un truc dans ce goût là tu me dis ce que tu trouves?!



  • un indice il faut avoir un peu de feeling... mais tu vas trouver je le sais 🆒



  • si tu ne trouves vraiment pas ce n'est pas grave je te fournirai plus de détails mais bon ...



  • miumiu
    zωzω\frac{z'-\omega }{z-\omega}

    z+2i1z+2i1\frac{z'+2i-1}{z+2i-1}

    ((1+i)z2i)+2i1z+2i1\frac{((1+i)z-2-i)+2i-1}{z+2i-1}
    il faut faire un truc dans ce goût là tu me dis ce que tu trouves?!
    Bonjour, j'ai le meme exercice et je suis aussi bloqué à cet endroit.
    Donc 'ai essayer de déveloper ce que tu a proposer de faire, j'ai essayer de miltiplier par i² pour obtenir des -1 mais il y a des iz qui me bloquent. J'ai trouver -1-z+iz-3i ÷ -2+zi-i
    Merci



  • miumiu
    zωzω\frac{z'-\omega }{z-\omega}

    z+2i1z+2i1\frac{z'+2i-1}{z+2i-1}

    ((1+i)z2i)+2i1z+2i1\frac{((1+i)z-2-i)+2i-1}{z+2i-1}

    il faut faire un truc dans ce goût là tu me dis ce que tu trouves?!
    oui je vois que c'est pas facil
    ((1+i)z2i)+2i1z+2i1\frac{((1+i)z-2-i)+2i-1}{z+2i-1}
    z+iz2i+2i1z+2i1\frac{z+iz-2-i+2i-1}{z+2i-1}
    (z+2i1)+i(z+2i1)z+2i1\frac{(z+2i-1)+ i(z+2i-1)}{z+2i-1}
    voilou c'est fait c'était du feeling... maintenant tu peux simplifier



  • Salut Salut !
    Bon j'ai bien fait l'exo jusque la, et je venais juste pour donner mon résultat à ce calcul, j'espere que c'est bon ^^ :

    Tout cela me donne au bout 1+i



  • yes 🙂 bravo !!



  • Phoenixian
    Salut Salut !
    Bon j'ai bien fait l'exo jusque la, et je venais juste pour donner mon résultat à ce calcul, j'espere que c'est bon ^^ :

    Tout cela me donne au bout 1+i

    JE ne voit pas comment on peut trouver 1+i, si on simplifie par Z+2i-1, on trouve i.
    Merci



  • Oui c'est bon j'ai compris excusez moi.
    Encore merci



  • Bon, nouvelle question . . .

    Citation
    En déduire l'expression de ΩM' en fonction de ΩM et une mesure de l'angle
    (ΩM ; ΩM').

    Bon pour l'angle, je pense pas avoir de probleme, il suffi de trouvé un arguement de
    ( z'-ω ) / ( z-ω ), c'est a dire un arguement de 1+i.
    Mais je ne comprend pas trop comment on peut expression de ΩM' en fonction de ΩM . . .
    J'en suis à : ΩM' = | z +zi -3 +i |
    Alors voila 😕
    Faut il que je remplacer z par sa valeur ? Cela répondrai a la question ?



  • coucou tu pourrais me dire si ce sont des vecteurs dont tu parles ou des longueures merci



  • pour ΩM' et ΩM je parle de longueur 🙂



  • Un être divin m'a conseillé lol (t'es content Z j'espère lol)

    [hum, faut le dire vite ! N.d.Z.]

    module de [(z'-w) / (z-w)] = module de (1+i)

    donc ΩM' /ΩM =√2

    donc...

    [avec un peu de LaTeX, stp miumiu, sans vouloir te commander N.d.Z.]



  • Oki c'est bon au moment ou j'ai vu ta réponse on a trouvé avec des potes ^^
    Donc maintenant on peut finir l'exo sans soucis merci encore !!!



  • de rien de rien 🙂


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