4. etude des transformations dans l'ensemble des nombres complexes

etude des transformations dans l'ensemble des nombres complexes

  • V

    bonjour,j'éprouve des difficultés a retrouver les élements composants une similitude directe tel que :
    F:P→P f:mathbbCmathbb{C}mathbbC→mathbbCmathbb{C}mathbbC
    M→$M^'$ on a: z→$z^'$/ $z^'$=az+b
    on demande de determiner a et b à travers les élements de symetries qui sont :
    le centre de symetrie Ω(2;1),le rapport k=√2 et l'argument α=pipipi/4
    la précision du fait que nous soyons dans une similitude directe.
    merçi de bien vouloir m'éclairer dans cet exercice .

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  • M

    coucou !!
    C'est un truc de spé maths ça ??!! J'ai fait spé glandouille moi en term (PC) lol 😆
    Je vais peut être dire n'importe quoi mais il n'y aurait pas une histoire de formule du genre :
    pour déterminer l'expression complexe d'une similitude directe sΩ,k,θs_{Ω,k,θ}sΩ,k,θ​ on utilise

    z′−w=k×eiθ(z−w)z' - w = k \times e^{i\theta}(z-w)z′−w=k×eiθ(z−w)

    avec www l'affixe de Ω soit w=2+iw=2+iw=2+i

    k=2k=\sqrt{2}k=2​

    θ=π4\theta =\frac{\pi}{4}θ=4π​

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  • V

    d'accord avec toi mais on demande les composantes a et b de l'écriture complexe z'=az+b sachant que z' est la transformation de z par une similitude directe par la relation que tu me propose je peux également écerire si z'-ω=keiθ=ke^{iθ}=keiθ(z-ω) sachant que ω=2+i (affixe deΩ) et k=sqrtsqrtsqrt2) et θ=α ⇔ θ=pipipi/4 mais quel serai l'écriture de z' même si on sait que son expression est z'=keiθ=ke^{iθ}=keiθ(z-ω)-ω

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  • M

    il faudrait refaire ton post lol

    miumiu

    z′−w=k×eiθ(z−w)z' - w = k \times e^{i\theta}(z-w)z′−w=k×eiθ(z−w)

    avec www l'affixe de Ω soit w=2+iw=2+iw=2+i

    k=2k=\sqrt{2}k=2​

    θ=π4\theta =\frac{\pi}{4}θ=4π​

    donc
    z′−(2+i)=2×eiπ4(z−(2+i))z' - (2+i) = \sqrt{2} \times e^{i\frac{\pi}{4} }(z-(2+i))z′−(2+i)=2​×ei4π​(z−(2+i))
    soit

    z′−(2+i)=2(cos⁡π4+isin⁡π4)(z−(2+i))z' - (2+i) = \sqrt{2} (\cos{\frac{\pi}{4}} + i \sin\frac{\pi}{4} )(z-(2+i))z′−(2+i)=2​(cos4π​+isin4π​)(z−(2+i))

    z′=2(22+i22)(z−(2+i))+2+iz'=\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2} }{2} + i \frac{\sqrt{2} }{2})(z-(2+i))+2+iz′=2​(22​​+i22​​)(z−(2+i))+2+i

    doncz′=...z'=...z′=...

    M 1 réponse
  • M

    z′=2(22+i22)(z−(2+i))+2+iz'=\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2} }{2} + i \frac{\sqrt{2} }{2}) (z-(2+i))+2+iz′=2​(22​​+i22​​)(z−(2+i))+2+i

    doncz′=(1+i)(z−(2+i))+2+iz'=(1+i)(z-(2+i))+2+iz′=(1+i)(z−(2+i))+2+i

    z′=z−(2+i)+iz−2i+1+2+iz'=z-(2+i)+iz-2i+1+2+iz′=z−(2+i)+iz−2i+1+2+i

    z′=(1+i)z−2i+1z'=(1+i)z-2i+1z′=(1+i)z−2i+1

    a=1+ia=1+ia=1+i et b=−2i+1b= -2i+1b=−2i+1

    voilà je te donne toute ma solution pour que tu me dises si ça peut ressembler a un truc comme ça lol
    c'est que du calcul en fait

    V 1 réponse
  • V

    exactement je pense que c'est cela car j'ai trouvé la même reponse finalement, mais peux tu dire de quelle genre de transformation s'agit il et qu' elles sont les éléments qui te permettent d'assoir ton choix:
    rotation,homothetie,translatrion ou leur composé

    M 1 réponse
  • M

    ce n'est ni une homothétie car θ≠0[2π]\theta\ne 0 [2\pi]θ​=0[2π]ni une rotation car k≠1k\ne 1k​=1
    c'est la première fois que je fais ça je te dis lol en tronc commun l'année dernière on a pas vu ça !! mdr
    regarde ton cours ça doit être marqué je pense

    P 1 réponse
  • P

    Z'=(1+i)Z+(2+i)(-1-i+1)
    Z'=(1+i)Z+1-2i
    a=1+i et b=1-2i 😁

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  • V

    salut
    nous avons z'=az+b qui est l'écriture d'une similitude directe avec comme nombre complexe a et b l'affixe d'une translation de forme zbz_bzb​=x+iy
    on peut donc avoir une rotation alors au niveau de a on aura à determiner l'argument et le module de a.dans notre cas on peut avoir une rotation et une translation.

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