Coordonnées cartésiennes et polaires.



  • Bonsoir, j'aurais besoin de votre aide sur un exercice où je bloque dès la première question, pourriez vous m'aider svp??!
    Voici l'énoncé:
    Soit les points M, N et P de coordonnées polaires M(1,-5π/6) ; N(1,π/6) ; P(3,π/6)

    1. Montrer que les points M, N et P sont alignés.
    2. Calculer la distance MP.
    3. Montrer en utilisant les coordonées polaires, que N est le milieu de [MP].
    4. Quel est le milieu du segment [MN]? justifier.

    Enfaite même en regardant les autres questions je ne vois pas comment je pourrais démontrer, pourriez vous au moin me mettre sur la voie??? Merci

    bubulle54



  • Salut à toi Bubulle 54 ,

    J'ai trouvé la solution à ton problème et elle s'appelle "le déterminant".
    J'espère que tu en as entendu parler. Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est égal à 0.
    Pour pouvoir calculer ce déterminant, il faut d'abord connaitre les coordonnées cartésiennes de ces vecteurs .

    Or tu possèdes les coordonnées polaires de M, N et P.

    Il faut donc que tu traduises les coordonnées polaires de chaque point en ses coordonnées cartésiennes grâce aux formules x=rcos(alpha) (où r est la distance de l'origine O au point considéré ;et alpha est l'angle en radian.) et y=rsin(alpha).

    Une fois que tu as calculé ces coordonnées cartésiennes, tu calcules celles des vecteurs MN(x1MN(x_1;y1y_1) et MP(x2MP(x_2;y2y_2).
    dét(mn\vec{mn},$$\vec{mp}$)=x1_1y2_2-x2_2y_1$
    Si dét(mn\vec{mn},mp\vec{mp})=0, alors mn\vec{mn} et mp\vec{mp} sont colinéaires et donc M, N et P sont alignés.

    Voilà bon courage



  • AH oui c vrai merci, enfaite j'avais fais exactement ca sauf que je bloqué quand je devais prouver par les vecteurs Mn et MP. Je vous remercie infiniment Bbygirl..



  • Une autre solution pour montrer que les points sont alignés :
    Puisque tu as les coordonnées polaires des points M N et P, tu connais une mesure des angles
    (i,om),=,5π6(\vec {i},\vec {om}) ,=, \frac{-5\pi}{6}
    (i,on),=,π6(\vec {i},\vec {on}) ,=, \frac{\pi}{6}
    (i,op),=,π6(\vec {i},\vec {op}) ,=, \frac{\pi}{6}
    i\vec {i} étant le vecteur unitaire de l'axe des abscisses

    Il faut maintenant utiliser la relation de Chasles et les formules entre les angles pour calculer une mesure de l'angle
    (om,on),=,(om,i)+(i,on),=,(i,om)+(i,on),=,5π6,+,π6,=,π(\vec {om},\vec {on}) ,=, (\vec {om},\vec {i}) + (\vec {i},\vec {on}) ,=,-(\vec {i},\vec {om}) + (\vec {i},\vec {on}),=, \frac{5\pi}{6},+, \frac{\pi}{6},=, \pi

    Donc les points O , M et N sont alignés

    Tu fais de même avec P

    Pour les longueurs il suffit de remarquer que dans ce cas précis où O , M , N et P étant alignés avec O entre M et P (regarder les mesures des angles) MP = MO + OP = 1 + 3 = 4
    MN = MO +ON = 1 + 1 = 2
    Donc N est le milieu de [MP]

    Pas besoin de chercher les coordonnées cartésiennes !



  • Ok, je vous remercie beaucoup.


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