Coordonnées cartésiennes et polaires.

Bonsoir, j'aurais besoin de votre aide sur un exercice où je bloque dès la première question, pourriez vous m'aider svp??!
Voici l'énoncé:
Soit les points M, N et P de coordonnées polaires M(1,-5π/6) ; N(1,π/6) ; P(3,π/6)

Montrer que les points M, N et P sont alignés.
Calculer la distance MP.
Montrer en utilisant les coordonées polaires, que N est le milieu de [MP].
Quel est le milieu du segment [MN]? justifier.

Enfaite même en regardant les autres questions je ne vois pas comment je pourrais démontrer, pourriez vous au moin me mettre sur la voie??? Merci

bubulle54

Salut à toi Bubulle 54 ,

J'ai trouvé la solution à ton problème et elle s'appelle "le déterminant".
J'espère que tu en as entendu parler. Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est égal à 0.
Pour pouvoir calculer ce déterminant, il faut d'abord connaitre les coordonnées cartésiennes de ces vecteurs .

Or tu possèdes les coordonnées polaires de M, N et P.

Il faut donc que tu traduises les coordonnées polaires de chaque point en ses coordonnées cartésiennes grâce aux formules x=rcos(alpha) (où r est la distance de l'origine O au point considéré ;et alpha est l'angle en radian.) et y=rsin(alpha).

Une fois que tu as calculé ces coordonnées cartésiennes, tu calcules celles des vecteurs $MN(x_1$ ; $y_1$ ) et $MP(x_2$ ; $y_2$ ).
dét( $mn⃗\vec{mn}$ ,$$\vec{mp}$)=x $_1$ y $_2$ -x $_2$ y_1$
Si dét( $mn⃗\vec{mn}$ , $mp⃗\vec{mp}$ )=0, alors $mn⃗\vec{mn}$ et $mp⃗\vec{mp}$ sont colinéaires et donc M, N et P sont alignés.

Voilà bon courage

AH oui c vrai merci, enfaite j'avais fais exactement ca sauf que je bloqué quand je devais prouver par les vecteurs Mn et MP. Je vous remercie infiniment Bbygirl..

Une autre solution pour montrer que les points sont alignés :
Puisque tu as les coordonnées polaires des points M N et P, tu connais une mesure des angles
$(i⃗,om⃗),=,−5π6(\vec {i},\vec {om}) ,=, \frac{-5\pi}{6}$
$(i⃗,on⃗),=,π6(\vec {i},\vec {on}) ,=, \frac{\pi}{6}$
$(i⃗,op⃗),=,π6(\vec {i},\vec {op}) ,=, \frac{\pi}{6}$
$i⃗\vec {i}$ étant le vecteur unitaire de l'axe des abscisses

Il faut maintenant utiliser la relation de Chasles et les formules entre les angles pour calculer une mesure de l'angle
$(om⃗,on⃗),=,(om⃗,i⃗)+(i⃗,on⃗),=,−(i⃗,om⃗)+(i⃗,on⃗),=,5π6,+,π6,=,π(\vec {om},\vec {on}) ,=, (\vec {om},\vec {i}) + (\vec {i},\vec {on}) ,=,-(\vec {i},\vec {om}) + (\vec {i},\vec {on}),=, \frac{5\pi}{6},+, \frac{\pi}{6},=, \pi$

Donc les points O , M et N sont alignés

Tu fais de même avec P

Pour les longueurs il suffit de remarquer que dans ce cas précis où O , M , N et P étant alignés avec O entre M et P (regarder les mesures des angles) MP = MO + OP = 1 + 3 = 4
MN = MO +ON = 1 + 1 = 2
Donc N est le milieu de [MP]

Pas besoin de chercher les coordonnées cartésiennes !

Ok, je vous remercie beaucoup.