démonstration avec des vecteurs

Bonjour,

Je ne suis pas en seconde mais j'essaie de préparer un concours et là, j'ai un exercice de maths avec des vecteurs et, je n'arrive pas à démarrer. Ca commence bien! :frowning2:
En tout cas, je pense que la première question est de niveau seconde. Là voici:

On considère un tétraède ABCD quelconque. Soit I et J les milieux respectifs des segments [AC] et [BD].

Démontrer que: AD→+ CB→=2IJ→

J'ai essayé de faire la démonstration en faisant la somme de plusieurs vecteurs, voir s'il y en avait pas qui s'annulaient pour au final trouver la bonne solution mais, je ne trouve pas. Je crois que je ne prends pas la bonne méthode. Si vous pouvez m'aider?... merci.

Bonsoir,

Je vais juste te donner un conseil : faire des exercices sans avoir vu et compris le cours correspondant aux exos ne sert à rien !

Tu ferais mieux de chercher tes livres ou des sites où tu pourrais apprendre les cours concernés par ton concours

Bonsoir,

J'avais regardé les cours correspondant aux vecteurs. J'ai compris la somme de vecteurs, la multiplication d'un vecteur par un réel, les vecteurs colinéaires mais, je n'arrive pas à faire le lien avec l'exercice. J'ai fait un schéma de l'énnoncé et j'ai essayé de voir ce que nous demandait l'exercice mais je n'y arrive pas.

Quant à mon concours, il me demande de connaître les maths de la seconde à la terminale S. J'ai déjà pris des cours de maths mais, je n'ai pas eu le temps de tout voir, notamment les vecteurs, les barycentres et les produits scalaires.

Si on me donnai juste une piste de départ, ça m'aiderai peut-être...

Oups! J'avais fait une erreur lors de la leture de l'énnoncé: Pour faire l'exercice, j'ai dessiné un quadrilatère et non un tétraède. Je ne risquais pas de trouver! :rolling_eyes: Donc, j'ai enfin pu commencer l'exercice. J'aimerai avoir votre avis: voir si ma démonstration est correcte, si je n'oublie pas de mentionner des choses importantes:

Démontrer que AD→+CB→=2IJ→

IJ→=(1/2)CA→+AD→+(1/2)DB→
2IJ→=2((1/2)CA→+AD→+(1/2)DB→ )=CA→+2AD→+DB→
CB→=CA→+AD→+DB→
J'en déduis: 2IJ→=AD→+CB→

2)Soit k un réel donné, k appartient ]0;1[
On définit les points M,N,P,Q par:
AM→=kAB→
AN→=kAD→
CP→=kCD→
CQ→=kCB→

a)Montrer que MNPQ est un parallélogramme. On notera O son centre

*Dans le triangle ABC:
AM=kAB donc AM/AB=k
CQ=kCB donc CQ/CB=k
Donc AM/AB=CQ/CB
D'après le théorème de Thalès, CQ/CB=AM/AB=MQ/AC donc, MQ//AC

Dans le triangle ADC:
AN=kAD donc AN/AD=k
CP=kCD donc CP/CD=K
Donc AN/AD=CP/CD
D'après le théorème de Thalès, AN/AD=CP/CD=NP/AC donc AC//NP

Donc MQ//NP

On sait que NP/AC=MQ/AC donc NP=MQ

MNPQ est un quadrilatère qui a 2 côtés // et de même distance donc c'est un parallélogramme.*

Ensuite je bloque. Si vous pouvez m'aider:

b)Démontrer l'égalité: IO→=kIJ→
En déduire que le point O appartient à la droite (IJ)

Pour ta première question tu peux aller plus vite.
Utilise la relation de Chasles en faisant apparaître les points I et J.

On a alors
$AD⃗+CB⃗=(AI⃗+IJ⃗+JD⃗)+(CI⃗+IJ⃗+JB⃗){\vec {AD}} + \vec {CB} =( {\vec {AI}} + \vec {{IJ}}+{\vec {JD}}) + (\vec {{CI}} + \vec {{IJ}} +{\vec {JB}})$

Comme I milieu de [AC], on a $AI⃗=−IC⃗{\vec {AI}}=-{\vec {IC}}$
De même, $JD⃗=−JB⃗{\vec {JD}} =-{\vec {JB}}$

donc $AD⃗+CB⃗=2IJ⃗{\vec {AD}} + \vec {{CB}} =2 {\vec{IJ}}$

a)Pour montrer que (MNPQ) est un parallélogramme, montrons que
$MN⃗=QP⃗\ \vec {MN} = \vec {QP}$
D'après la relation de Chasles, $MN⃗=MA⃗+AN⃗{\vec {MN}} = {\vec {MA}} + {\vec {AN}}$
Par hypothése, $MN⃗=−kAB⃗+kAD⃗{\vec {MN}} = -k {\vec {AB}} + k {\vec {AD}}$
On factorise par k et on obtient $MN⃗=k(BA⃗+AD⃗){\vec {MN}} = k ({\vec {BA}} + {\vec {AD}})$
Encore la relation de Chasles , $MN⃗=kBD⃗{\vec {MN}} = k {\vec {BD}}$
Encore une fois la relation de Chasles $MN⃗=k(BC⃗+CD⃗){\vec {MN}} = k ({\vec {BC }}+{\vec {CD }})$
On développe et on obtient
$MN⃗=kCB⃗+kCD⃗{\vec {MN}} = k {\vec {CB }} + k {\vec {CD }}$

On utilise à nouveau les hyupothèses
$MN⃗=−CQ⃗+CP⃗=QC⃗+CP⃗{\vec {MN}} = -{\vec{CQ}} + {\vec {CP}} = {\vec{QC}} + {\vec {CP}}$
A nouveau relation de Chasles
$MN⃗=QP⃗{\vec {MN}} = {\vec{QP}}$

b) D'après la première question $\vec {{IJ}} = \frac{k}{2} ( {\vec {AD}} + \vec {{CB}} )$
Tu développes
$\vec {{IJ}} = \frac{k}{2} . {\vec {AD}} + \frac{k}{2} . \vec {{CB}}$
$\vec {{IJ}} = \frac{{\vec {AN}}}{2} + \frac{ \vec {{CQ}}}{2}$

Utilise la relation de Chasles, pour faire apparaître le point M
$\vec {{IJ}} = \frac{{\vec {AM}}}{2} + \frac{{\vec {MN}}}{2}+ \frac{{\vec {CM}}}{2}+\frac{ \vec {{MQ}}}{2}$

Comme (PQMN) parallèlogramme , $MN⃗+MQ⃗=2MO⃗\vec {MN} +\vec{MQ}=2 \vec{MO}$
d'où
$\vec {{IJ}} = \frac{{\vec {AM}}}{2} + \frac{{\vec {CM}}}{2}+ \vec {{MO}}$

On utilises la relation de Chasles, pour faire apparaître le point I
$AM⃗2+CN⃗2=AI⃗2+IM⃗2+CI⃗2+IM⃗2\frac{{\vec {AM}}}{2} + \frac{{\vec {CN}}}{2} = \frac{{\vec {AI}}}{2} + \frac{{\vec {IM}}}{2}+ \frac{{\vec {CI}}}{2} + \frac{{\vec {IM}}}{2}$

Comme I milieu de [AC] $AI⃗=−CI⃗\vec {AI} = -\vec {CI}$ donc
$AM⃗2+CN⃗2=IM⃗2+IM⃗2=IM⃗\frac{{\vec {AM}}}{2} + \frac{{\vec {CN}}}{2} =\frac{{\vec {IM}}}{2}+ \frac{{\vec {IM}}}{2} ={\vec {IM}}$

Ainsi $\vec {{IJ}} ={\vec {IM}} + \vec {{MO}}$
On utilise la relation de Chasles et alors
$k.IJ⃗=IO⃗k.{\vec {IJ}} ={\vec {IO}}$

coucou !!

floggyfr
Pour ta première question tu peux aller plus vite.
Utilise la relation de Chasles en faisant apparaître les points I et J.

On a alors
$AD⃗+CB⃗=(AI⃗+IJ⃗+JD⃗)+(CI⃗+IJ⃗+JB⃗){\vec {AD}} + \vec {CB} =( {\vec {AI}} + \vec {{IJ}}+{\vec {JD}}) + (\vec {{CI}} + \vec {{IJ}} +{\vec {JB}})$

Comme I milieu de [AC], on a $AI⃗=−CI⃗\vec {AI}=-\vec {CI}$ erreur de frappe

De même, $JD⃗=−JB⃗{\vec {JD}} =-{\vec {JB}}$

donc $AD⃗+CB⃗=2IJ⃗{\vec {AD}} + \vec {{CB}} =2 {\vec{IJ}}$

mj
a)Montrer que MNPQ est un parallélogramme. On notera O son centre

Dans le triangle ABC:
AM=kAB donc AM/AB=k
CQ=kCB donc CQ/CB=k
Donc AM/AB=CQ/CB
D'après le théorème de Thalès, CQ/CB=AM/AB=MQ/AC donc, MQ//AC

Dans le triangle ADC:
AN=kAD donc AN/AD=k
CP=kCD donc CP/CD=K
Donc AN/AD=CP/CD
D'après le théorème de Thalès, AN/AD=CP/CD=NP/AC donc AC//NP

Donc MQ//NP

On sait que NP/AC=MQ/AC donc NP=MQ

MNPQ est un quadrilatère qui a 2 côtés // et de même distance donc c'est un parallélogramme.

c'est la réciproque du théorème de thalès lol mais c'est bon sinon

c'est sûr que ça c'est le top
floggyfr

a)Pour montrer que (MNPQ) est un parallélogramme, montrons que
$MN⃗=QP⃗\ \vec {MN} = \vec {QP}$
D'après la relation de Chasles, $MN⃗=MA⃗+AN⃗{\vec {MN}} = {\vec {MA}} + {\vec {AN}}$
Par hypothése, $MN⃗=−kAB⃗+kAD⃗{\vec {MN}} = -k {\vec {AB}} + k {\vec {AD}}$
On factorise par k et on obtient $MN⃗=k(BA⃗+AD⃗){\vec {MN}} = k ({\vec {BA}} + {\vec {AD}})$
Encore la relation de Chasles , $MN⃗=kBD⃗{\vec {MN}} = k {\vec {BD}}$
Encore une fois la relation de Chasles $MN⃗=k(BC⃗+CD⃗){\vec {MN}} = k ({\vec {BC }}+{\vec {CD }})$
On développe et on obtient
$MN⃗=kBC⃗+kCD⃗{\vec {MN}} = k {\vec {BC }} + k {\vec {CD }}$ erreur de frappe

On utilise à nouveau les hypothèses
$MN⃗=−CQ⃗+CP⃗=QC⃗+CP⃗{\vec {MN}} = -{\vec{CQ}} + {\vec {CP}} = {\vec{QC}} + {\vec {CP}}$
A nouveau relation de Chasles
$MN⃗=QP⃗{\vec {MN}} = {\vec{QP}}$

floggyfr

b) D'après la première question $\vec {{IJ}} = \frac{k}{2} ( {\vec {AD}} + \vec {{CB}} )$
Tu développes
$\vec {{IJ}} = \frac{k}{2} . {\vec {AD}} + \frac{k}{2} . \vec {{CB}}$
$\vec {{IJ}} = \frac{{\vec {AN}}}{2} + \frac{ \vec {{CQ}}}{2}$

Utilise la relation de Chasles, pour faire apparaître le point M
$\vec {{IJ}} = \frac{{\vec {AM}}}{2} + \frac{{\vec {MN}}}{2}+ \frac{{\vec {CM}}}{2}+\frac{ \vec {{MQ}}}{2}$

Comme (PQMN) parallèlogramme , $MN⃗+MQ⃗=2MO⃗\vec {MN} +\vec{MQ}=2 \vec{MO}$
d'où
$\vec {{IJ}} = \frac{{\vec {AM}}}{2} + \frac{{\vec {CM}}}{2}+ \vec {{MO}}$

On utilises la relation de Chasles, pour faire apparaître le point I
$AM⃗2+CN⃗2=AI⃗2+IM⃗2+CI⃗2+IM⃗2\frac{{\vec {AM}}}{2} + \frac{{\vec {CN}}}{2} = \frac{{\vec {AI}}}{2} + \frac{{\vec {IM}}}{2}+ \frac{{\vec {CI}}}{2} + \frac{{\vec {IM}}}{2}$

Comme I milieu de [AC] $AI⃗=−CI⃗\vec {AI} = -\vec {CI}$ donc
$AM⃗2+CN⃗2=IM⃗2+IM⃗2=IM⃗\frac{{\vec {AM}}}{2} + \frac{{\vec {CN}}}{2} =\frac{{\vec {IM}}}{2}+ \frac{{\vec {IM}}}{2} ={\vec {IM}}$

Ainsi $\vec {{IJ}} ={\vec {IM}} + \vec {{MO}}$
On utilise la relation de Chasles et alors
$k.IJ⃗=IO⃗k.{\vec {IJ}} ={\vec {IO}}$
j'avoue c'est mais tu n'étais pas obligé de tout lui faire c'est super sympa c'est sûr mais parfois ça peut être plus instructif pour la personne de trouver la solution toute seule (en laissant des pistes) tu vois??
en tous cas bravo pour le Latex c'est super bien !!!!

J'aimerais signifiez à la personne qui m'a mis erreur de frappe qu'il se trompe.
Pour la première, écrit tes points A I C dans cet ordre et tu verras que j'ai juste.
Pour la deuxième, il suffit juste de développer.

Si tu n'es toujours pas d'accord, explique moi pourquoi, pour que je réctifie mes erreurs.
Merci

coucou
c'est miumiu (je suis une fille au fait lol)
oui alors dans ton post de 14h06 tu a marqué $AI⃗=−IC⃗\vec{AI} =-\vec{IC}$ or c'est faux
$AI⃗=IC⃗\vec{AI} =\vec{IC}$
alors j'ai modifié et j'ai mis erreur de frappe
pareil pour ma seconde intervention j'ai modifié et j'ai mis erreur de frappe
Il ne faut pas que tu t'énerves hein?! moi je voulais juste que ton truc soit absolument parfait pour une meilleure compréhension

excuse moi si tu l'as pris mal mais dans la résolution j'avais mis $AI⃗\vec {AI}$ = $−CI⃗-\vec{CI}$ donc j'avais pas fait d'erreur

PS : Mo aussi je suis une fille

tu affirmes donc que cela est vrai c'est ton post de 14h06 je n'invente rien !!
floggyfr
Pour ta première question tu peux aller plus vite.
Utilise la relation de Chasles en faisant apparaître les points I et J.

On a alors
$AD⃗+CB⃗=(AI⃗+IJ⃗+JD⃗)+(CI⃗+IJ⃗+JB⃗){\vec {AD}} + \vec {CB} =( {\vec {AI}} + \vec {{IJ}}+{\vec {JD}}) + (\vec {{CI}} + \vec {{IJ}} +{\vec {JB}})$

Comme I milieu de [AC], on a $AI⃗=−IC⃗{\vec {AI}}=-{\vec {IC}}$
De même, $JD⃗=−JB⃗{\vec {JD}} =-{\vec {JB}}$

donc $AD⃗+CB⃗=2IJ⃗{\vec {AD}} + \vec {{CB}} =2 {\vec{IJ}}$

donc d'après ce que tu as mis j'écris

$AD⃗+CB⃗=(AI⃗+IJ⃗+JD⃗)+(CI⃗+IJ⃗+JB⃗){\vec {AD}} + \vec {CB} =( {\vec {AI}} + \vec {{IJ}}+{\vec {JD}}) + (\vec {{CI}} + \vec {{IJ}} +{\vec {JB}})$
⇔

$AD⃗+CB⃗=(−IC⃗+IJ⃗+JD⃗)+(CI⃗+IJ⃗+JB⃗){\vec {AD}} + \vec {CB} =( -{\vec {IC}} + \vec {{IJ}}+{\vec {JD}}) + (\vec {{CI}} + \vec {{IJ}} +{\vec {JB}})$
⇔
$AD⃗+CB⃗=(CI⃗+IJ⃗+JD⃗)+(CI⃗+IJ⃗+JB⃗){\vec {AD}} + \vec {CB} =( {\vec {CI}} + \vec {{IJ}}+{\vec {JD}}) + (\vec {{CI}} + \vec {{IJ}} +{\vec {JB}})$
⇔

$AD⃗+CB⃗=(2CI⃗+IJ⃗+JD⃗)+(IJ⃗+JB⃗){\vec {AD}} + \vec {CB} =( 2{\vec {CI}} + \vec {{IJ}}+{\vec {JD}}) + ( \vec {{IJ}} +{\vec {JB}})$

...

puisque I est le milieu de [AC] alors

$AI⃗=IC⃗{\vec {AI}}={\vec {IC}}$
surtout qu'en plus après tu le fais bien je ne comprends pas pourquoi tu bloques...

j'ai repris ton post et je l'ai modifié ensuite tu vois maintenant??

*J'étais en prépa bio (trois mois ) je suis à la fac maintenant . Pourquoi cette question? lol *

tu as mal placé le erreur de frappe merci de me l'avoir fait remarquer

hum comment ça je l'ai mal placé?? je l'ai mis a coté... bref j'espère que tu as compris pourquoi j'ai modifié maintenant c'est le principal

Merci pour vos réponses. Ensuite, on me demande de construire la figure en choisissant k=1/4. Là, pas de souci.

Et la dernière question:

On choisit k=1/2
Jusifier ainsi que dans un tétraèdre, les trois segments, dont les extrémités sont les milieux des arêtes opposées, sont trois segments ayant les mêmes milieux.

J'ai du mal à comprendre l'énnoncé.Est-ce-qu'il veut dire que ces trois segments sont confondus?! Je ne crois pas...

O est le centre du parallèlograme MNPQ
donc

$12NQ⃗=NO⃗\frac{1}{2}\vec{NQ}=\vec{NO}$

$12MP⃗=MO⃗\frac{1}{2}\vec{MP}=\vec{MO}$

on a prouvé avec la dernière question que

$12IJ⃗=IO⃗\frac{1}{2}\vec{IJ}=\vec{IO}$

donc dans un tétraèdre, les trois segments, dont les extrémités sont les milieux des arêtes opposées ( [MP];[NQ] et [IJ]) sont trois segments ayant les mêmes milieux ( le point O)

OK merci. Je n'avais pas pigé que les trois segments dont l'exercice parle sont les segments qui passent par les milieux des côtés du tétraèdre.

pas "les milieux des côtés du tétraèdre" mais les milieux des arètes du tétraèdre