DM pr le 11 janvier sur les équa diff



  • coucou tout le monde
    c'est encore moi
    voila j'ai un nouveau dm à rendre sur les équations différentielles
    et pour tout dire il me prend un peu la tête(en plus je crois qu'il n'est pas noté, lol)

    voici le problème

    PARTIE A

    Soit n0n_0 le nombre de bactéries introduites dans un milieu de culture à l'instant t=0t=0 (n0n_0 étant un réel strictement positif, exprimé en millions d'individus)
    Dans les instants qui suivent l'ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d'acroissement est proportionnelle au nombre de bactéries en présence.
    Dans ce premier modèle, on note f(t)f(t) le nomber de bactéries à l'instant tt (en millions d'individus).
    La fonction ffest donc solution de l'équation différentielle y=ayy'=ay ( ou aa est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimentales)

    1. On sait que a=0.4a=0.4 et n0=1n_0= 1, donner alors l'expression de f(t)f(t) en fonction du réel t.
    2. On suppose qu'à l'instant t1t1 la population de bactérie est n1n_1 et quà l'instant t2t2 la population de bactéries est 2n12n_1.

    On appelle α\alphala solution de l'équation e0.4t=2e^{0.4t}=2

    Montrer que t2t1=αt2-t1= \alpha. Que peut on alors dire du temps nécessaire pour doubler la population?

    PARTIE B

    Dans cette partie, le nombre de bactéries introduites exprimé en millions d'individus dans un milieu de culture à l'instant t=0t=0, est n0=1n_0=1

    Le milieu étant limité(en volume, en éléments nutritifs...), le nombre de bactéries ne peut pas croitre indéfiniment de facon exponentielle. Le modèle précédent ne peut donc pas s'appliquer sur une longue période. Pour tenir compte de ces observations, on représente l'évolution de la population de bactéries de la facon suivante:
    Soit g(t)g(t) le nombre de bactéries à l'instant t( en millions d'individus), la fonction g est une fonction strictement positive et dérivable sur [0;+∞[ solution de l'équation différentielle (e1):y=0.4y×(1y25)(e1): y'=0.4y\times (1-\frac{y}{25})

    1. Montrer que 1g\frac{1}{g} est solution de l'équation différentielle,
      (e2):y+0.4y=0.425(e2): y'+0.4y= \frac{0.4}{25}

    2. Donner la solution générale de l'équation différentielle (E2)
      En déduire que pour tout réel t ∈ [0;+∞[, g(t)=10.96×e0.4t+0.04g(t)= \frac{1}{0.96\times e^{-0.4t}+0.04 }

    3. Etude de la fonction gg.
      a. Déterminer la limite de la fonction gg en +∞. Qu'en déduit on?
      b. Etudier les variations de la fonction gg sur [0; +∞[.

    PARTIE C

    Le plan est muni d'un repère orthogonal; en abscisse 1cm représente 1 unité et en ordonnée, 1 cm représente 5 unités.
    Tracer les courbes représentatives de ff et de gg et les asymptotes éventuelles à ces courbes

    voila pour ce super probleme
    si vous pouvez m'aider
    certes c'et pour le 11
    donc il y a le temps
    mais je préfère m'y prendre à l'avance
    sinon pour la partie C, n'y réfléchissez y pas, je verrai ca en tant voulu, c'est assez simple comme parite
    par contre, je veux bien de l'aide pour les 2 autres parties
    merci bcp d'avance

    miumiu : attention au langage sms... ça ne te dis toujours pas de te mettre au LaTeX ?? mdr 😉



  • coucou 🙂
    Alors c'est bien beau tout ça mais tu n'as vraiment rien trouvé ??:(



  • Bon je vais te mâcher le travail pour la partie A comme ça cela te donnera envie de faire la suite mdr

    mandinette

    PARTIE A

    Soit n0n_0 le nombre de bactéries introduites dans un milieu de culture à l'instant t=0t=0 (n0n_0 étant un réel strictement positif, exprimé en millions d'individus)
    Dans les instants qui suivent l'ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d'acroissement est proportionnelle au nombre de bactéries en présence.
    Dans ce premier modèle, on note f(t)f(t) le nomber de bactéries à l'instant tt (en millions d'individus).
    La fonction ffest donc solution de l'équation différentielle y=ayy'=ay ( ou aa est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimentales)

    1. On sait que a=0.4a=0.4 et n0=1n_0= 1, donner alors l'expression de f(t)f(t) en fonction du réel t.
    2. On suppose qu'à l'instant t1t1 la population de bactérie est n1n_1 et quà l'instant t2t2 la population de bactéries est 2n12n_1.

    On appelle α\alphala solution de l'équation e0.4t=2e^{0.4t}=2

    Montrer que t2t1=αt2-t1= \alpha. Que peut on alors dire du temps nécessaire pour doubler la population?

    1)Application directe du cours

    Soit aa un réèl et yyune fonction dérivable sur $\r$

    L'équation y=ayy'=aya pour solutions y(x)=keaxy(x)=ke^{ax}kk est un réèl.

    il te suffit de remplaçer y(x)y(x) par f(t)f(t) et pour trouver K il faut t'aider de l'indication n0=1n_0= 1 donc f(0)=1f(0)=1 alors...

    1. Légèrement plus compliqué
      tu exprimes
      f(t1)=(n1)f(t_1) = (n_1)

    f(t2)=(n2)f(t_2) = (n_2) en fonction de t1t_1
    tu calcules

    f(t2t1)f(t_2-t_1) =...=2

    on sait que e0.4t=2e^{0.4t}=2 pour t=αt=\alpha donc

    f(α)=2f(\alpha)=2

    alors f(t2t1)f(t_2-t_1)=f(α)=2f(\alpha)=2 la fonction ff est continue sur $\r$
    donc ...
    voilou c'est archi mâché hein ?! lol je te laisse me dire ce que tu as trouvé pour la partie B et si tu as des questions sur ce que je viens de faire 😉



  • merci bcp
    pas de probleme je te dis ca dès que je me serai remise dessus
    je c'est pas quand peut etre ce soir ou peut etre demain
    mais je reviendraii vite
    lol
    en tout cas merci beaucoup de m'avoir maché une bonne partie du travail
    @ très vite



  • tu exprimes
    f(t1)=(N1)
    f(t2)=(N2) en fonction de t1

    tu calcules

    j'ai eu un petit probleme avec ca, je vois pas trop comment calculer
    c'est le petit 2

    voila, uil me fodrait tes lumieres pour ce petit morceau
    merci beaucoup



  • f(t1)=(n1)=e0,4×t1f(t_1) = (n_1) = e^{0,4\times t_1}

    f(t2)=(n2)=e0,4×t2=2×e0,4×t1f(t_2) = (n_2)= e^{0,4\times t_2}= 2\times e^{0,4\times t_1} en fonction de t1t_1
    tu calcules

    f(t2t1)=e0,4(t2t1)=...f(t_2-t_1) = e^{0,4(t_2-t_1)}= ...

    bon alors le sprint final eab=eaebe^{a-b}=\frac{e^a}{e^b} bon alors là si c'est pas mâché et mouliné ... mdr
    ok??



  • ok ouais c'est bon
    merci beaucoup
    lol



  • ah non, lol, c'est quoi t1??



    1. On suppose qu'à l'instant t1t_1 la population de bactérie est n1n_1 et quà l'instant t2t_2 la population de bactéries est n2n_2.
      c'est ton énoncé ça pas le fruit de mon imagination si si je te jure mdr


  • oui oui tout à fait
    sa je c'est bien
    lol
    mais pour le calcul, f1, jle remplace par quoi pour avoir quelque chose de numérique,?
    pour avoir un nombre, et donc mon 2 au final,?



  • J'ai du mal à comprendre tes questions mdr
    je reprends avec les indications que je t'ai donné...
    f(t2t1)=e0,4(t2t1)=2×e0,4×t1e0,4×t1=2f(t_2-t_1) = e^{0,4(t_2-t_1)}= \frac{2\times e^{0,4\times t_1 }}{e^{0,4\times t_1}} = 2

    si ça te perturbe de faire trop de numérique tu peux dire aussi
    f(t2t1)=e0,4(t2t1)=e0,4×t2e0,4×t1=2n1n1=2f(t_2-t_1)= e^{0,4(t_2-t_1)}=\frac{e^{0,4\times t_2}}{e^{0,4\times t_1}}= \frac{2n_1}{n_1}=2
    je sais plus trop quoi faire pour que ça te paraisse plus simple lol



  • ah ben non ca y est cette fois
    c'est bien bon
    lol
    désolé pour ces questions un peu tordu
    mdr
    mais c'est bon cette fois
    lol



  • et que peut on dire du tps nécesaire pour doubler la popûlation??
    lol



  • 😄 bon ba c'est cool alors tu me dis pour la suite ... quand tu auras regardé un peu 😉



  • sa te dérange si on remet sa a demin
    tu sera la dans la journée parcque on aide m'est vraiment précieuse??
    merci bcp



  • oui je serai là 🙂 a demain passe une bonne soirée 😉



  • merci
    je pense que je serais la plutot vers 17h
    merci miumiu
    a ce soir j'espere



  • oki ++++
    j'essaierai d'être là on verra



  • coucou je suis la*
    par contre, j'ai pas eu le temps de bosser la partie b
    donc va falloir le faire en temps réel
    lol
    désolé



  • aïe ba je te laisserai un peu chercher en plus il y a du monde donc... comence a regarder



  • ouais pas de pb
    sauf que j'y ai quand meme jetté un oeil malgré tout et j'ai pas tout capté
    mdr
    mais je vais ke meme regardé ca un petit peu avant de revenir
    merci



  • je reviendrai surement demain si sa te gene pas
    parce que j'ai un devoir de philo à avancer aussi
    lol
    donc bven je réfléchi aux math
    et je reviens demain
    ok??



  • lol tu fais comme tu veux 😉
    bonne chance



  • bon j'ai réfléchi à la partie B
    alors j'ai pas fait le peit 1 parcque j'ai rien compris
    par contre j'ai esayé de faire le etit 2 et 3

    pour le petit 2, j'en ai fait qu'un morceua et je suis meme pas sur que sa soit juste
    alors j'ai dit pour la solution générale de (E2): on sait que y'=ay et que y=C exp(ax)
    et que y'+0.4-(0.4/25)=0
    voila
    apres je sais pas quoi en faire
    mdr

    apres la suite du 2 j'ai pas fait, parce que pareil, rien capté
    lol
    et j'ai fait un morceau du petit 3: la limite j'ai toruvé 1
    c'est ca ou pas??
    voila



  • coucou bon ok il y a du taff lol
    alors pour le début on va le faire par étapes...
    tu vas d'abord me calculer la dérivée de 1g\frac{1}{g}
    sachant que gg est solution de (E1)
    ok?!



  • PARTIE B

    Dans cette partie, le nombre de bactéries introduites exprimé en millions d'individus dans un milieu de culture à l'instant t=0t=0, est n0=1n_0=1

    Le milieu étant limité(en volume, en éléments nutritifs...), le nombre de bactéries ne peut pas croitre indéfiniment de facon exponentielle. Le modèle précédent ne peut donc pas s'appliquer sur une longue période. Pour tenir compte de ces observations, on représente l'évolution de la population de bactéries de la facon suivante:
    Soit g(t)g(t) le nombre de bactéries à l'instant t( en millions d'individus), la fonction g est une fonction strictement positive et dérivable sur [0;+∞[ solution de l'équation différentielle (e1):y=0.4y×(1y25)(e1): y'=0.4y\times (1-\frac{y}{25})

    1. Montrer que 1g\frac{1}{g} est solution de l'équation différentielle,
      (e2):y+0.4y=0.425(e2): y'+0.4y= \frac{0.4}{25}

    pistes
    donc j'espère que tu as compris qu'on pouvait écrire
    (e1):g=0.4g×(1g25)(e1): g'=0.4g\times (1-\frac{g}{25})

    donc la dérivée de 1g\frac{1}{g} c'est gg2\frac{-g'}{g^2}
    il faut remplacer maintenant le gg' par l'expression de (E1)

    ensuite tu calcules

    (1g)(\frac{1}{g})'+0.41g\frac{1}{g} et tu regardes ...



  • dsl je suis parti mangé
    lol
    ok jefais ca et je te dis
    donc je remplace G par l'expression de E1 et je calcule la dérivée de 1/g
    c'est bien ca?*



  • il faut remplacer maintenant le g' par l'expression de (E1)

    ensuite tu calcules

    (1/g)'+0.4*1/g et tu regardes ...

    la tu as déja remplacé g' par (E1) ou pas encore et c'est a moi de le faire,?
    lol



  • là tu dois juste remplacer (1g)(\frac{1}{g})' par l'expression que tu as trouvé



  • donc il aut que je remplace dans g'/g2 le g' par l'expression de (E1), c'est cela,?
    et lq je trouve une expression
    c'est ca?


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