Etude de la solution d'une équation différentielle

coucou tout le monde
c'est encore moi
voila j'ai un nouveau dm à rendre sur les équations différentielles
et pour tout dire il me prend un peu la tête(en plus je crois qu'il n'est pas noté, lol)

voici le problème

PARTIE A

Soit $n_0$ le nombre de bactéries introduites dans un milieu de culture à l'instant $t = 0$ ( $n_0$ étant un réel strictement positif, exprimé en millions d'individus)
Dans les instants qui suivent l'ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d'acroissement est proportionnelle au nombre de bactéries en présence.
Dans ce premier modèle, on note $f (t)$ le nomber de bactéries à l'instant $t$ (en millions d'individus).
La fonction $f$ est donc solution de l'équation différentielle $y^{'} = a y$ ( ou $a$ est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimentales)

On sait que $a = 0.4$ et $n_0= 1$ , donner alors l'expression de $f (t)$ en fonction du réel t.
On suppose qu'à l'instant $t 1$ la population de bactérie est $n_1$ et quà l'instant $t 2$ la population de bactéries est $2n_1$ .

On appelle $α\alpha$ la solution de l'équation $e^{0.4t}=2$

Montrer que $\alpha$ . Que peut on alors dire du temps nécessaire pour doubler la population?

PARTIE B

Dans cette partie, le nombre de bactéries introduites exprimé en millions d'individus dans un milieu de culture à l'instant $t = 0$ , est $n_0=1$

Le milieu étant limité(en volume, en éléments nutritifs...), le nombre de bactéries ne peut pas croitre indéfiniment de facon exponentielle. Le modèle précédent ne peut donc pas s'appliquer sur une longue période. Pour tenir compte de ces observations, on représente l'évolution de la population de bactéries de la facon suivante:
Soit $g (t)$ le nombre de bactéries à l'instant t( en millions d'individus), la fonction g est une fonction strictement positive et dérivable sur [0;+∞[ solution de l'équation différentielle $y'=0.4y\times (1-\frac{y}{25})$

Montrer que $1g\frac{1}{g}$ est solution de l'équation différentielle,
$\frac{0.4}{25}$
Donner la solution générale de l'équation différentielle (E2)
En déduire que pour tout réel t ∈ [0;+∞[, $\frac{1}{0.96\times e^{-0.4t}+0.04 }$
Etude de la fonction $g$ .
a. Déterminer la limite de la fonction $g$ en +∞. Qu'en déduit on?
b. Etudier les variations de la fonction $g$ sur [0; +∞[.

PARTIE C

Le plan est muni d'un repère orthogonal; en abscisse 1cm représente 1 unité et en ordonnée, 1 cm représente 5 unités.
Tracer les courbes représentatives de $f$ et de $g$ et les asymptotes éventuelles à ces courbes

voila pour ce super probleme
si vous pouvez m'aider
certes c'et pour le 11
donc il y a le temps
mais je préfère m'y prendre à l'avance
sinon pour la partie C, n'y réfléchissez y pas, je verrai ca en tant voulu, c'est assez simple comme parite
par contre, je veux bien de l'aide pour les 2 autres parties
merci bcp d'avance

miumiu : attention au langage sms... ça ne te dis toujours pas de te mettre au LaTeX ?? mdr

coucou
Alors c'est bien beau tout ça mais tu n'as vraiment rien trouvé ??:(

Bon je vais te mâcher le travail pour la partie A comme ça cela te donnera envie de faire la suite mdr

mandinette

PARTIE A

Soit $n_0$ le nombre de bactéries introduites dans un milieu de culture à l'instant $t = 0$ ( $n_0$ étant un réel strictement positif, exprimé en millions d'individus)
Dans les instants qui suivent l'ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d'acroissement est proportionnelle au nombre de bactéries en présence.
Dans ce premier modèle, on note $f (t)$ le nomber de bactéries à l'instant $t$ (en millions d'individus).
La fonction $f$ est donc solution de l'équation différentielle $y^{'} = a y$ ( ou $a$ est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimentales)

On sait que $a = 0.4$ et $n_0= 1$ , donner alors l'expression de $f (t)$ en fonction du réel t.
On suppose qu'à l'instant $t 1$ la population de bactérie est $n_1$ et quà l'instant $t 2$ la population de bactéries est $2n_1$ .

On appelle $α\alpha$ la solution de l'équation $e^{0.4t}=2$

Montrer que $\alpha$ . Que peut on alors dire du temps nécessaire pour doubler la population?

1)Application directe du cours

Soit $a$ un réèl et $y$ une fonction dérivable sur $\r$

L'équation $y^{'} = a y$ a pour solutions $y(x)=ke^{ax}$ où $k$ est un réèl.

il te suffit de remplaçer $y (x)$ par $f (t)$ et pour trouver K il faut t'aider de l'indication $n_0= 1$ donc $f (0) = 1$ alors...

Légèrement plus compliqué
tu exprimes
$f(t_1) = (n_1)$

$f(t_2) = (n_2)$ en fonction de $t_1$
tu calcules

$f(t_2-t_1)$ =...=2

on sait que $e^{0.4t}=2$ pour $t=αt=\alpha$ donc

$f(α)=2f(\alpha)=2$

alors $f(t_2-t_1)$ = $f(α)=2f(\alpha)=2$ la fonction $f$ est continue sur $\r$
donc ...
voilou c'est archi mâché hein ?! lol je te laisse me dire ce que tu as trouvé pour la partie B et si tu as des questions sur ce que je viens de faire

merci bcp
pas de probleme je te dis ca dès que je me serai remise dessus
je c'est pas quand peut etre ce soir ou peut etre demain
mais je reviendraii vite
lol
en tout cas merci beaucoup de m'avoir maché une bonne partie du travail
@ très vite

tu exprimes
f(t1)=(N1)
f(t2)=(N2) en fonction de t1

tu calcules

j'ai eu un petit probleme avec ca, je vois pas trop comment calculer
c'est le petit 2

voila, uil me fodrait tes lumieres pour ce petit morceau
merci beaucoup

$f(t1)=(n1)=e0,4×t1f(t_1) = (n_1) = e^{0,4\times t_1}$

$f(t2)=(n2)=e0,4×t2=2×e0,4×t1f(t_2) = (n_2)= e^{0,4\times t_2}= 2\times e^{0,4\times t_1}$ en fonction de $t_1$
tu calcules

$f(t_2-t_1) = e^{0,4(t_2-t_1)}= ...$

bon alors le sprint final $ea−b=eaebe^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$ bon alors là si c'est pas mâché et mouliné ... mdr
ok??

ok ouais c'est bon
merci beaucoup
lol

ah non, lol, c'est quoi t1??

On suppose qu'à l'instant $t_1$ la population de bactérie est $n_1$ et quà l'instant $t_2$ la population de bactéries est $n_2$ .
c'est ton énoncé ça pas le fruit de mon imagination si si je te jure mdr

oui oui tout à fait
sa je c'est bien
lol
mais pour le calcul, f1, jle remplace par quoi pour avoir quelque chose de numérique,?
pour avoir un nombre, et donc mon 2 au final,?

J'ai du mal à comprendre tes questions mdr
je reprends avec les indications que je t'ai donné...
$f(t2−t1)=e0,4(t2−t1)=2×e0,4×t1e0,4×t1=2f(t_2-t_1) = e^{0,4(t_2-t_1)}= \frac{2\times e^{0,4\times t_1 }}{e^{0,4\times t_1}} = 2$

si ça te perturbe de faire trop de numérique tu peux dire aussi
$f(t2−t1)=e0,4(t2−t1)=e0,4×t2e0,4×t1=2n1n1=2f(t_2-t_1)= e^{0,4(t_2-t_1)}=\frac{e^{0,4\times t_2}}{e^{0,4\times t_1}}= \frac{2n_1}{n_1}=2$
je sais plus trop quoi faire pour que ça te paraisse plus simple lol

ah ben non ca y est cette fois
c'est bien bon
lol
désolé pour ces questions un peu tordu
mdr
mais c'est bon cette fois
lol

et que peut on dire du tps nécesaire pour doubler la popûlation??
lol

bon ba c'est cool alors tu me dis pour la suite ... quand tu auras regardé un peu

sa te dérange si on remet sa a demin
tu sera la dans la journée parcque on aide m'est vraiment précieuse??
merci bcp

oui je serai là a demain passe une bonne soirée

merci
je pense que je serais la plutot vers 17h
merci miumiu
a ce soir j'espere

oki ++++
j'essaierai d'être là on verra

coucou je suis la*
par contre, j'ai pas eu le temps de bosser la partie b
donc va falloir le faire en temps réel
lol
désolé

aïe ba je te laisserai un peu chercher en plus il y a du monde donc... comence a regarder

ouais pas de pb
sauf que j'y ai quand meme jetté un oeil malgré tout et j'ai pas tout capté
mdr
mais je vais ke meme regardé ca un petit peu avant de revenir
merci

je reviendrai surement demain si sa te gene pas
parce que j'ai un devoir de philo à avancer aussi
lol
donc bven je réfléchi aux math
et je reviens demain
ok??

lol tu fais comme tu veux
bonne chance

bon j'ai réfléchi à la partie B
alors j'ai pas fait le peit 1 parcque j'ai rien compris
par contre j'ai esayé de faire le etit 2 et 3

pour le petit 2, j'en ai fait qu'un morceua et je suis meme pas sur que sa soit juste
alors j'ai dit pour la solution générale de (E2): on sait que y'=ay et que y=C exp(ax)
et que y'+0.4-(0.4/25)=0
voila
apres je sais pas quoi en faire
mdr

apres la suite du 2 j'ai pas fait, parce que pareil, rien capté
lol
et j'ai fait un morceau du petit 3: la limite j'ai toruvé 1
c'est ca ou pas??
voila

coucou bon ok il y a du taff lol
alors pour le début on va le faire par étapes...
tu vas d'abord me calculer la dérivée de $1g\frac{1}{g}$
sachant que $g$ est solution de (E1)
ok?!

PARTIE B

Dans cette partie, le nombre de bactéries introduites exprimé en millions d'individus dans un milieu de culture à l'instant $t = 0$ , est $n_0=1$

Le milieu étant limité(en volume, en éléments nutritifs...), le nombre de bactéries ne peut pas croitre indéfiniment de facon exponentielle. Le modèle précédent ne peut donc pas s'appliquer sur une longue période. Pour tenir compte de ces observations, on représente l'évolution de la population de bactéries de la facon suivante:
Soit $g (t)$ le nombre de bactéries à l'instant t( en millions d'individus), la fonction g est une fonction strictement positive et dérivable sur [0;+∞[ solution de l'équation différentielle $y'=0.4y\times (1-\frac{y}{25})$

Montrer que $1g\frac{1}{g}$ est solution de l'équation différentielle,
$\frac{0.4}{25}$

pistes
donc j'espère que tu as compris qu'on pouvait écrire
$g'=0.4g\times (1-\frac{g}{25})$

donc la dérivée de $1g\frac{1}{g}$ c'est $−g′g2\frac{-g'}{g^2}$
il faut remplacer maintenant le $g^{'}$ par l'expression de (E1)

ensuite tu calcules

$(1g)′(\frac{1}{g})'$ +0.4 $1g\frac{1}{g}$ et tu regardes ...

dsl je suis parti mangé
lol
ok jefais ca et je te dis
donc je remplace G par l'expression de E1 et je calcule la dérivée de 1/g
c'est bien ca?*

il faut remplacer maintenant le g' par l'expression de (E1)

ensuite tu calcules

(1/g)'+0.4*1/g et tu regardes ...

la tu as déja remplacé g' par (E1) ou pas encore et c'est a moi de le faire,?
lol

là tu dois juste remplacer $(1g)′(\frac{1}{g})'$ par l'expression que tu as trouvé

donc il aut que je remplace dans g'/g2 le g' par l'expression de (E1), c'est cela,?
et lq je trouve une expression
c'est ca?

oui voilà c'est ça
donc ... je te laisse écrire ce ue ça donne

ok
je fais le calcul
et l'expression que je vais trouver, il faudra que je remplace (1/g)' par cette expression???
je fais le calcul et je tenvoie ca de suite

donc ca fait 0.4g(1-g/25) le tout sur g²
mais est ce qu'il faut que je développe le numérateur ou pas??

oui
il y a une coquille que je viens de corriger c'est $−g′g2\frac{-g'}{g^2}$
nan nan tu laisses le numérateur tel qu'il est ... tu ajoutes à cette expression le $0,4g\frac{0,4}{g}$ tu le mets au même dénominateur que ton expression soit $g^2$

sa donen en fait 0.4g(1-g/25) le tout sur g² + 0.4/g
non c'est pas ca?

bon ecoute on repredn ca demain si tu veux bien
on reprendra un post au dessus pour que je me remette dans le bain
sa te va??
merci bcp en tout cas

ça donne

$\frac{-0.4g(1-\frac{g}{25})}{g^2} + \frac{0.4}{g}$

$y′+0,4y=−0.4g(1−g25)g2+0.4gg2y'+0,4y=\frac{-0.4g(1-\frac{g}{25})}{g^2}+ \frac{0.4g}{g^2}$
donc...
+++

ok!!
bon c'est bon on peut continuer
cette fois je reste
lol
on peut reprendre

lol ok alors tu en es où??

ben la ou tu t'en est arrété la derniere fois!!!
lol
parce que j'ai fait un bout du 2
mais j'ia pas fini
efnin voila quoi