DM : vitesse de propagation d'une rumeur (équa diff)

Salut à tous j'ai un exercice dans mon DM de maths pour la rentrée ou je bloque totale, j'ai fais la question petit b, sinon tout le reste je ne vois vraiment pas, merci pour tous ceux qui prendront la peine de m'aider, voilà l'exo en question:

Une ville compte 10000 habitants, a 8h du matin, 100 personnes apprennent une nouvelle.

On note $y (t)$ la fréquence des personnes connaissant la rumeur à l'instant t (exprimé en heures)

On choisit 8h comme instant initial $t = 0$

La nouvelle se répand dans la ville de sorte que la vitesse de propagation $y^{'} (t)$ est proportionnelle à la fréquence de ceux qui ne la connaissent pas.

On admet que le coefficient de proportionnalité est $1.15$

a. Montrer que la fonction y est la solution de l'équation différentielle:
$y^{'} = 1.15 y (1 - y)$ avec $y (0) = 0.01$ et définie sur $[0;+∞[.[0;{+}\infty[.$

b. La fonction $z$ est dénfinie par $z=1yz=\frac{1}{y}$ ( $y$ ne s'annule pas)

Prouver que $z$ vérifie l'équation $z^{'} = - 1.15 z + 1.15$

En déduire l'expression de $y (t)$

c- Etudier le sens de variation de la fonction $y$ .
Quelle est la limite de $y$ en $+∞{+}\infty$ ?
Tracer la courbe représentative de la fonction $y$ .

d.Combien de personnes connaissent la nouvelle à midi ?

e. En utilisant le graphique ou une calculatrice, donner une approximation de l'instant auquel 99% de la population connaitra la rumeur.

Edit Zorro : Modification du titre DM de Maths .... y a mieux pour résumer son énoncé
et puis j'ai un peu aéré pour que ce soit plus attractif

miumiu passage au LateX

Bonjour et bienvenue,

As-tu commencé à réfléchir et trouvé quelques résultats ?

coucou
ce ne serait pas $y^{'} = 1.15 (1 - y) . . .$
parce que sinon ce n'est pas très logique nan?! je ne sais pas je dis peut être n'importe quoi lol
en plus avec le b)...

ouè nan pas grave

oui, j'ai commencé, j'ai réussi à répondre au petit b, sinon le reste, j'ai vraiment cherché je ne trouves pas

donc tu as trouvé ce que c'est que $y$ alors ?? si tu as fait le b...

heu, non j'ai juste vérifier que z= 1/y verifié bien l'équation, j'avoues que cet exo me prend la tête, ca fait depuis hier soir que je suis dessus, et je penses ne pas comprendre car je me suis mis dans la tête qu'il était raide

ah y n'est pas égal à 1?

lol ok on va se déstresser alors
je vais t'aider du mieux que je peux je ne te garantie pas de tout faire mais bon
déjà pour trouver $y (t)$ tu vas me trouver les solutions de $z^{'} = - 1.15 z + 1.15$

ce n'est pas f(x)= Ke^-1.15+1?

il sors d'où ce $f$ lol oui donc tu peux trouver le $k$ avec l'indication qu'on te donne
$y (0) = 0, 01 . . .$

désolé c'est y(t) = ke^-1.15x+1 avec la condition initiale y(0)=1/100 on a y(t)= je n'ai plus la formule

nan nan
c'est $z(t)=ke^{-1.15t}+1$ et k appartient a R

ensuite on a $z(t)=1y(t)z(t)=\frac{1}{y(t)}$ donc tu remplaçes $t$ par $0$ ...

donc y(t)= 1.01e^-1.15x+1 c faux?

ba je ne trouve pas ça nan

donne moi ton expression de $z (t)$ au complet s'il te plait

heu, l'expression de z(t)?

alors je trouves que y(t) = 1/100e^-1.15x+1 t'es d'accord?

tu as $z^{'} (t) = - 1.15 z + 1.15$

donc tu trouves l'expression de $z$
je veux que tu me remettes la bonne solution attends pour l'expression de $y$

z(t)=1.01e^-1.15x+1? donc y(t)=1/1.01e^-1.15x+1? pr l'étude de signe je pense que c'est tjs positif, donc y strictement croissante et la lim en +infini donne 1? aieee j'ai mal à la tête

bon, j'ai trouvé y(t)=1/99e^-1.15x+1 t'es d'accord avec moi pour le reste? au sujet du signe, des variations et de la lim?

z(0)=100

z(0)=K+1 donc K=99 ...
ok?!

bon, j'ai trouvé y(t)=1/99e^-1.15x+1 t'es d'accord avec moi pour le reste? au sujet du signe, des variations et de la lim?===> tu vois bien ici que j'avais déja trouvé que k=99 pour le reste t'es ok?

donc attends je vais remettre le truc bien

$y(t)=199e−1.15t+1y(t)=\frac{1}{99e^{-1.15t}+1}$

ce n'est pas parce que la y(t) est positive que y est strictement croissante

ba non, je sais bien! je calcule la dérivée, je déduis le signe, et j'en déduis les variations ( classique) mais on peut partir du fait que y'(t)>0 dans le petit a de l'énonce, donc y serait croissante, et pr la limite t'es ok? je penses que c bien ça, maintenant pr le d c'est une résolution d'équa?

tu calcules la dérivée normalement en effet je trouve un truc de positif
(c'est peut être comme ça que tu l'avais justifié mais comme tu n'as rien mis... lol) donc oui y est strictement croisante

ok dialogue de sourds expdr
oui pour la limite aussi
je regarde le d

alors pour la d et bien il suffit de remplcer le t par 4 ... (parce que t=0 c'est pour 8h ...) ça me semble logique comme ça nan?

oui, oui c'est logique, j'ai terminé l'exo, pour la d je trouve 50 personnes? je suis aps sur, et pour la e, je trouve que c'est à 16h que 99% des personnes sont au courant, pour x=8

non, c'est 5012 personnes

c'est pas bien de travailler si tard (tôt ) mdr
je trouve comme toi
par contre pour le e) certe c'est pour $t =$ 8 (il n'y a pas de $x$ hein ?! lol) donc l'heure c'est 16h
bon alors il ne reste plus que la première question on va y arriver à le finir ton exo

j'arrive a comprendre d'où sort le $(1 - y)$ mais pas encore pourquoi ils l'ont multiplié par $y$ ...

même le petit a je suis y arrivé :), et y ou x, c'est la même ca reste une variable non?

ce sont $x$ et $t$ les variables oui c'est la même chose de dire

$f (t) = t + 1$

ou

$f (x) = x + 1$

mais bon il vaut mieux garder les même notations dans tout l'exercice

tu as fait quoi pour le 1 juste par curiosité ...