Un problème d'optimisation



  • Bonjour voici mon petit problème.

    Soit un cylindre de volume fixé : vv et xx le rayon de sa base.

    1-Exprimer la hauteur h(x)h(x) et son aire totale a(x)a(x)

    2-Etudier les variations de la fonction aa sur ]0;+∞[ , puis montrer qu'elle admet un minimun en un point x0x_0 tel que : x03=v2πx_0^3 = \frac{v}{ 2\pi}

    3-En deduire que pour une boite de conserve cylindrique de volume fixé, la surface de metal est minimal ( et donc le cout est minimal ), lorsque la hauteur est égale au diametre de la base ( en négligeant les soudures )

    Voila je comprend pas grand chose alors j'ai fait le 1 :

    h(x)=vπ×x2h(x) = \frac{v}{\pi\times x^2}

    a(x)=2π×x2(x+h)a(x) = 2\pi\times x^2(x+h)

    Ensuite je ne vois pas ce qu'il me demande :s

    J'espère que vous pourrez m'aider.

    Je vous souhaite a tous une Bonne Année et surtout une Bonne Santé.

    Merci et a bientot 😉



  • coucou
    Bonne Année a toi aussi 🙂

    j'ai un peu modifié ton post (LaTeX)
    j'ai un doute sur ta formule de l'aire totale
    ce ne serait pas

    a(x)=2π×x(x+h)a(x)=2\pi\times x(x+h)
    mais bon ...

    pour la suite tu va devoir étudier cette fonction dérivée, limite ...



  • J'ai fait la dérivé de a(x)=2π×x(x+h)a(x)=2\pi\times x(x+h) et je trouve :

    a(x)=4π×x+2πa`(x)=4\pi\times x+2\pi et donc pour les variations je trouve : croissante sur ]0;+∞[

    Ensuite je ne comprend pas trés bien ce qu'il entende par : montrer qu'elle admet un minimun...



  • ba normalement on a un extremum quand la dérivée change de signe mais là j'avoue c'est bizarre le minimium de l'aire c'est pour x=0x= 0 mdr on s'est peut être planté dans le calcul de l'aire mais ça me parait logique que lorsque le rayon augmente l'aire augmente aussi lol donc c'est normal d'avoir A strictement croissante

    regardons la question 3 il y surement un lien

    ps:j'avais pas vu que le 0 était valeur interdite désolée



  • je pense qu'il faut remplacer le h dans l'expression de l'aire par l'expression qu'on nous a demander d'écrire ... après tout on ne nous l'aurait pas demandé sinon lol et puis là on trouve des variations intéressantes ...



  • 2)Pt x∈]0,+∞[, A(x)=2pipix(x+V/(xpipi))
    Pt x∈]0,+∞[, A'(x)=4pipix-2V/x²
    tracé du tableau de variation, où on remarque qu'il y a un min en x³=V÷2pipi
    d'où la ccl
    bonne année et bonne santé



  • Il faut remplacer h par l'expression que tu as trouvé dans la 1), parce qu'elle est variable



    1. A min pour x=x0
      d=2r
      en x0, d=2sqrt[3]sqrt[3](V÷2pipi)
      et h=V÷(pipisqrt[3]sqrt[3]V÷2pipi


  • Je comprend pas comment tu es passé
    de : A(x)=2∏x(x+V/(x∏)) a : A'(x)=4∏x-2V/x²

    Deja si on remplace ce que j'ai trouvé au 1) ça fait :

    A(x)=2∏x(x+V/(∏x²)) je crois que tu as oublier le ²

    J'arrive pas a dériver cette fonction :s



  • coucou
    je t'avais déjà dit que ta première expression de l'aire était fausse...

    a(x)=2xπ×(x+vx2π)a(x)=2x\pi \times (x+\frac{v}{x^2\pi})

    a(x)=2x2π+2xπvx2πa(x)=2x^2\pi +\frac{2x\pi v}{x^2\pi}

    a(x)=2x2π+2vx)a(x)=2x^2\pi +\frac{2v}{x})

    A est composée de fonction dériavables sur ]0;+∞[ donc A est dériavable sur ]0;+∞[

    a(x)=2×2xπ2vx2a'(x)=2\times2x\pi -\frac{2v}{x^2}

    pour trouver la dérivée de 2vx\frac{2v}{x} on a utilisé la forumule

    dérivée de 1v\frac {1}{v} c'est vv2\frac{-v'}{v^2}

    miumiu j'ai modifié mon calcul c'est x2x^2 au dénominateur



  • je comprend pas comment tu passe de :

    a(x)=2x2π+2xπvxπa(x)=2x^2\pi +\frac{2x\pi v}{x\pi}
    à
    a(x)=2x2π+2vx)a(x)=2x^2\pi +\frac{2v}{x})

    il manque pas un x en haut dans l'expression : a(x)=2x2π+2vx)a(x)=2x^2\pi +\frac{2v}{x}) ? Si on simplifie en haut et en bas on supprime les x et les ∏ en haut et en bas alors que tu as supprimer que en haut.

    Pour la dérivé j'ai compris,
    Pour le tableau de variation, je trouve : décroissant sur ]0;V/2∏[ et croissant sur : ]V/2∏;+∞[ en valeur charniere entre 0 et +∞ : V/2∏

    En revanche je comprend pas pour le minimum, si c'est égale a 0 a la fin alors ça ne peut pas etre un minimum non ?



  • oui tu as raison j'ai recopié l'expression du h de vince alors qu'elle était fausse désolée (mais le résultat final est bon) c"est

    a(x)=2xπ×(x+vx2π)a(x)=2x\pi \times (x+\frac{v}{x^2\pi})

    a(x)=2x2π+2xπvx2πa(x)=2x^2\pi +\frac{2x\pi v}{x^2\pi}

    a(x)=2x2π+2vxa(x)=2x^2\pi +\frac{2v}{x}

    A est composée de fonction dériavables sur ]0;+∞[ donc A est dériavable sur ]0;+∞[

    a(x)=2×2xπ2vx2a'(x)=2\times2x\pi -\frac{2v}{x^2}

    maintenant on n'as plus un minimun de 0 le minimum on l'a pour la valeur x où la dérivée s'annule regarde ton tableau décroissant puis croissant



  • par contre je ne suis pas sûre de ta valeure pour laquelle la dérivée s'annule
    moi j'ai

    v2π3\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}

    :rolling_eyes:



  • Oui exact c'est : v2π3\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}} donc elle admet un minimun en v2π3\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}} c'est ça ?



  • oui
    là où la dérivée s'annule on a un extremum
    en effet c'est a ce niveau qu'on a un changement de variation ...
    or la fonction est décroissante puis croissante donc cet extremum est un minimum



  • Pour la question 3) je nage lol je comprend pas ce qu'il faut faire :s

    ps : pour écrire sur feuille ceci : v2π3\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}

    Comment écrit-on la racine avec le 3 ?



  • je crois que pour la 3 vince t'avait répondu regarde son post de 23h14

    pour la racine et bien ça s'écrit comme ça apparait a l'écran lol



  • vince01
    A min pour x=x0
    d=2r
    en x0, d=2sqrt[3]sqrt[3](V÷2pipi)
    et h=V÷(pipisqrt[3]sqrt[3]V÷2pipi

    A représente l'aire ? cela voudrais dire que A est minimal pour x=x0 en revanche je comprend pas le d=2r c'est le diametre = 2 * le rayon ? comment tu peut en déduire : en x0, d=2sqrt[3]sqrt[3](V÷2pipi) et h=V÷(pipisqrt[3]sqrt[3]V÷2pipi)² ?



  • re

    alors oui aa c'est l'aire
    on a vu que l'aire était minimale pour x0x_0
    oui d c'est le diamètre et r le rayon mais nous on va prendre x comme dans l'énoncé
    donc on a bien d=2×xd = 2\times x

    pour trouver le diamètre minimale on prend la valeur de x_0 qui nous donne l'aire minimale

    d'où

    d=2×v2π3d = 2 \times \sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}} (1)

    ensuite je pense qu'il y a une erreur de frappe de la part de vince c'est

    h=vπ×(v2π3)2h = \frac{v}{\pi \times (\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}})^2}

    avant de te montre mon truc j'aimerais savoir si tu sais que a\sqrt{a}c'est en fait a12a^{\frac{1}{2}}
    c'est dans le but de simplifier les calculs ...
    et que donc

    a3=a13\sqrt[3] {a} = a ^{\frac{1}{3}}

    je ne sais plus quand est-ce qu'on étudie les puissances en faite lol



  • non nous n'avons pas encore vu ceci : a3=a13\sqrt[3] {a} = a ^{\frac{1}{3}}

    c'est pour ça que je vous demandais comment on l'écrivé, c'est la premiere fois que je voie une racine au cube ^_^

    Merci pour vos explication et votre aide 🙂



  • et tu as vu que a=a12\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} ??

    tu avais mis quoi josef ?? je peux supprimer ton post ???



  • non je ne l'ai pas vu.



  • bon et bien tu pourras briller devant les autres maintenant tu sauras mais on va prendre une autre manière parce que le prof rique de ne pas aimer lui 😄
    on sait que

    xo3=v2πx_o^3 = \frac{v}{2\pi}

    donc x02=xo3xo=v2πv2π3x_0^2 = \frac{x_o^3}{x_o} = \frac{ \frac{v}{2\pi}}{\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}}

    il faut remplacer dans

    h=vπ×(x0)2h = \frac{v}{\pi \times (x_0)^2}



  • Alors si on a x_0^2 =
    v2πv2π3\frac{ \frac{v}{2\pi}}{\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}}

    quand on remplace ça donne :

    $h = \frac{v}{\pi \times (\frac{ \frac{v}{2\pi}}{\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}}$)

    Et aprés ? il faut développer ?



  • développer ?? développer quoi ??lol

    $h = \frac{v}{\pi \times \frac{ \frac{v}{2\pi}}{\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}}$)

    $h= \frac{v}{\pi \times \frac{v}{2\pi}\times \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}}$

    tu peux simplifier ...



  • Lorsque je simplifie je trouve : 2*(v2π3\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}})



  • très bien !!
    maintenant tu regardes mon post
    Envoyé: 06.01.2007, 11:38



  • Et bien merci pour tout 🙂 bonne continuation 😉



  • de rien a toi aussi bonne continuation 😄 et bonne rentrée !!!!


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