Un problème d'optimisation


  • L

    Bonjour voici mon petit problème.

    Soit un cylindre de volume fixé : vvv et xxx le rayon de sa base.

    1-Exprimer la hauteur h(x)h(x)h(x) et son aire totale a(x)a(x)a(x)

    2-Etudier les variations de la fonction aaa sur ]0;+∞[ , puis montrer qu'elle admet un minimun en un point x0x_0x0 tel que : x03=v2πx_0^3 = \frac{v}{ 2\pi}x03=2πv

    3-En deduire que pour une boite de conserve cylindrique de volume fixé, la surface de metal est minimal ( et donc le cout est minimal ), lorsque la hauteur est égale au diametre de la base ( en négligeant les soudures )

    Voila je comprend pas grand chose alors j'ai fait le 1 :

    h(x)=vπ×x2h(x) = \frac{v}{\pi\times x^2}h(x)=π×x2v

    a(x)=2π×x2(x+h)a(x) = 2\pi\times x^2(x+h)a(x)=2π×x2(x+h)

    Ensuite je ne vois pas ce qu'il me demande :s

    J'espère que vous pourrez m'aider.

    Je vous souhaite a tous une Bonne Année et surtout une Bonne Santé.

    Merci et a bientot 😉


  • M

    coucou
    Bonne Année a toi aussi 🙂

    j'ai un peu modifié ton post (LaTeX)
    j'ai un doute sur ta formule de l'aire totale
    ce ne serait pas

    a(x)=2π×x(x+h)a(x)=2\pi\times x(x+h)a(x)=2π×x(x+h)
    mais bon ...

    pour la suite tu va devoir étudier cette fonction dérivée, limite ...


  • L

    J'ai fait la dérivé de a(x)=2π×x(x+h)a(x)=2\pi\times x(x+h)a(x)=2π×x(x+h) et je trouve :

    a‘(x)=4π×x+2πa`(x)=4\pi\times x+2\pia(x)=4π×x+2π et donc pour les variations je trouve : croissante sur ]0;+∞[

    Ensuite je ne comprend pas trés bien ce qu'il entende par : montrer qu'elle admet un minimun...


  • M

    ba normalement on a un extremum quand la dérivée change de signe mais là j'avoue c'est bizarre le minimium de l'aire c'est pour x=0x= 0x=0 mdr on s'est peut être planté dans le calcul de l'aire mais ça me parait logique que lorsque le rayon augmente l'aire augmente aussi lol donc c'est normal d'avoir A strictement croissante

    regardons la question 3 il y surement un lien

    ps:j'avais pas vu que le 0 était valeur interdite désolée


  • M

    je pense qu'il faut remplacer le h dans l'expression de l'aire par l'expression qu'on nous a demander d'écrire ... après tout on ne nous l'aurait pas demandé sinon lol et puis là on trouve des variations intéressantes ...


  • V

    2)Pt x∈]0,+∞[, A(x)=2pipipix(x+V/(xpipipi))
    Pt x∈]0,+∞[, A'(x)=4pipipix-2V/x²
    tracé du tableau de variation, où on remarque qu'il y a un min en x³=V÷2pipipi
    d'où la ccl
    bonne année et bonne santé


  • V

    Il faut remplacer h par l'expression que tu as trouvé dans la 1), parce qu'elle est variable


  • V

    1. A min pour x=x0
      d=2r
      en x0, d=2sqrt[3]sqrt[3]sqrt[3](V÷2pipipi)
      et h=V÷(pipipisqrt[3]sqrt[3]sqrt[3]V÷2pipipi

  • L

    Je comprend pas comment tu es passé
    de : A(x)=2∏x(x+V/(x∏)) a : A'(x)=4∏x-2V/x²

    Deja si on remplace ce que j'ai trouvé au 1) ça fait :

    A(x)=2∏x(x+V/(∏x²)) je crois que tu as oublier le ²

    J'arrive pas a dériver cette fonction :s


  • M

    coucou
    je t'avais déjà dit que ta première expression de l'aire était fausse...

    a(x)=2xπ×(x+vx2π)a(x)=2x\pi \times (x+\frac{v}{x^2\pi})a(x)=2xπ×(x+x2πv)

    a(x)=2x2π+2xπvx2πa(x)=2x^2\pi +\frac{2x\pi v}{x^2\pi}a(x)=2x2π+x2π2xπv

    a(x)=2x2π+2vx)a(x)=2x^2\pi +\frac{2v}{x})a(x)=2x2π+x2v)

    A est composée de fonction dériavables sur ]0;+∞[ donc A est dériavable sur ]0;+∞[

    a′(x)=2×2xπ−2vx2a'(x)=2\times2x\pi -\frac{2v}{x^2}a(x)=2×2xπx22v

    pour trouver la dérivée de 2vx\frac{2v}{x}x2v on a utilisé la forumule

    dérivée de 1v\frac {1}{v}v1 c'est −v′v2\frac{-v'}{v^2}v2v

    miumiu j'ai modifié mon calcul c'est x2x^2x2 au dénominateur


  • L

    je comprend pas comment tu passe de :

    a(x)=2x2π+2xπvxπa(x)=2x^2\pi +\frac{2x\pi v}{x\pi}a(x)=2x2π+xπ2xπv
    à
    a(x)=2x2π+2vx)a(x)=2x^2\pi +\frac{2v}{x})a(x)=2x2π+x2v)

    il manque pas un x en haut dans l'expression : a(x)=2x2π+2vx)a(x)=2x^2\pi +\frac{2v}{x})a(x)=2x2π+x2v) ? Si on simplifie en haut et en bas on supprime les x et les ∏ en haut et en bas alors que tu as supprimer que en haut.

    Pour la dérivé j'ai compris,
    Pour le tableau de variation, je trouve : décroissant sur ]0;V/2∏[ et croissant sur : ]V/2∏;+∞[ en valeur charniere entre 0 et +∞ : V/2∏

    En revanche je comprend pas pour le minimum, si c'est égale a 0 a la fin alors ça ne peut pas etre un minimum non ?


  • M

    oui tu as raison j'ai recopié l'expression du h de vince alors qu'elle était fausse désolée (mais le résultat final est bon) c"est

    a(x)=2xπ×(x+vx2π)a(x)=2x\pi \times (x+\frac{v}{x^2\pi})a(x)=2xπ×(x+x2πv)

    a(x)=2x2π+2xπvx2πa(x)=2x^2\pi +\frac{2x\pi v}{x^2\pi}a(x)=2x2π+x2π2xπv

    a(x)=2x2π+2vxa(x)=2x^2\pi +\frac{2v}{x}a(x)=2x2π+x2v

    A est composée de fonction dériavables sur ]0;+∞[ donc A est dériavable sur ]0;+∞[

    a′(x)=2×2xπ−2vx2a'(x)=2\times2x\pi -\frac{2v}{x^2}a(x)=2×2xπx22v

    maintenant on n'as plus un minimun de 0 le minimum on l'a pour la valeur x où la dérivée s'annule regarde ton tableau décroissant puis croissant


  • M

    par contre je ne suis pas sûre de ta valeure pour laquelle la dérivée s'annule
    moi j'ai

    v2π3\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}32πv

    :rolling_eyes:


  • L

    Oui exact c'est : v2π3\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}32πv donc elle admet un minimun en v2π3\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}32πv c'est ça ?


  • M

    oui
    là où la dérivée s'annule on a un extremum
    en effet c'est a ce niveau qu'on a un changement de variation ...
    or la fonction est décroissante puis croissante donc cet extremum est un minimum


  • L

    Pour la question 3) je nage lol je comprend pas ce qu'il faut faire :s

    ps : pour écrire sur feuille ceci : v2π3\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}32πv

    Comment écrit-on la racine avec le 3 ?


  • M

    je crois que pour la 3 vince t'avait répondu regarde son post de 23h14

    pour la racine et bien ça s'écrit comme ça apparait a l'écran lol


  • L

    vince01
    A min pour x=x0
    d=2r
    en x0, d=2sqrt[3]sqrt[3]sqrt[3](V÷2pipipi)
    et h=V÷(pipipisqrt[3]sqrt[3]sqrt[3]V÷2pipipi

    A représente l'aire ? cela voudrais dire que A est minimal pour x=x0 en revanche je comprend pas le d=2r c'est le diametre = 2 * le rayon ? comment tu peut en déduire : en x0, d=2sqrt[3]sqrt[3]sqrt[3](V÷2pipipi) et h=V÷(pipipisqrt[3]sqrt[3]sqrt[3]V÷2pipipi)² ?


  • M

    re

    alors oui aaa c'est l'aire
    on a vu que l'aire était minimale pour x0x_0x0
    oui d c'est le diamètre et r le rayon mais nous on va prendre x comme dans l'énoncé
    donc on a bien d=2×xd = 2\times xd=2×x

    pour trouver le diamètre minimale on prend la valeur de x_0 qui nous donne l'aire minimale

    d'où

    d=2×v2π3d = 2 \times \sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}d=2×32πv (1)

    ensuite je pense qu'il y a une erreur de frappe de la part de vince c'est

    h=vπ×(v2π3)2h = \frac{v}{\pi \times (\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}})^2}h=π×(32πv)2v

    avant de te montre mon truc j'aimerais savoir si tu sais que a\sqrt{a}ac'est en fait a12a^{\frac{1}{2}}a21
    c'est dans le but de simplifier les calculs ...
    et que donc

    a3=a13\sqrt[3] {a} = a ^{\frac{1}{3}}3a=a31

    je ne sais plus quand est-ce qu'on étudie les puissances en faite lol


  • L

    non nous n'avons pas encore vu ceci : a3=a13\sqrt[3] {a} = a ^{\frac{1}{3}}3a=a31

    c'est pour ça que je vous demandais comment on l'écrivé, c'est la premiere fois que je voie une racine au cube ^_^

    Merci pour vos explication et votre aide 🙂


  • M

    et tu as vu que a=a12\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}a=a21 ??

    tu avais mis quoi josef ?? je peux supprimer ton post ???


  • L

    non je ne l'ai pas vu.


  • M

    bon et bien tu pourras briller devant les autres maintenant tu sauras mais on va prendre une autre manière parce que le prof rique de ne pas aimer lui 😄
    on sait que

    xo3=v2πx_o^3 = \frac{v}{2\pi}xo3=2πv

    donc x02=xo3xo=v2πv2π3x_0^2 = \frac{x_o^3}{x_o} = \frac{ \frac{v}{2\pi}}{\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}}x02=xoxo3=32πv2πv

    il faut remplacer dans

    h=vπ×(x0)2h = \frac{v}{\pi \times (x_0)^2}h=π×(x0)2v


  • L

    Alors si on a x_0^2 =
    v2πv2π3\frac{ \frac{v}{2\pi}}{\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}}32πv2πv

    quand on remplace ça donne :

    $h = \frac{v}{\pi \times (\frac{ \frac{v}{2\pi}}{\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}}$)

    Et aprés ? il faut développer ?


  • M

    développer ?? développer quoi ??lol

    $h = \frac{v}{\pi \times \frac{ \frac{v}{2\pi}}{\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}}$)

    $h= \frac{v}{\pi \times \frac{v}{2\pi}\times \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}}$

    tu peux simplifier ...


  • J

    Lorsque je simplifie je trouve : 2*(v2π3\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}32πv)


  • M

    très bien !!
    maintenant tu regardes mon post
    Envoyé: 06.01.2007, 11:38


  • J

    Et bien merci pour tout 🙂 bonne continuation 😉


  • M

    de rien a toi aussi bonne continuation 😄 et bonne rentrée !!!!


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