Un problème d'optimisation

[luc]

Bonjour voici mon petit problème.

Soit un cylindre de volume fixé : $v$ et $x$ le rayon de sa base.

1-Exprimer la hauteur $h(x)$ et son aire totale $a(x)$

2-Etudier les variations de la fonction $a$ sur ]0;+∞[ , puis montrer qu'elle admet un minimun en un point $x_0$ tel que : $x_0^3=\frac{v}{2\pi }$

3-En deduire que pour une boite de conserve cylindrique de volume fixé, la surface de metal est minimal ( et donc le cout est minimal ), lorsque la hauteur est égale au diametre de la base ( en négligeant les soudures )

Voila je comprend pas grand chose alors j'ai fait le 1 :

$h(x)=\frac{v}{\pi \times x^2}$

$a(x)=2\pi \times x^2(x+h)$

Ensuite je ne vois pas ce qu'il me demande :s

J'espère que vous pourrez m'aider.

Je vous souhaite a tous une Bonne Année et surtout une Bonne Santé.

Merci et a bientot

[miumiu]

coucou
Bonne Année a toi aussi

j'ai un peu modifié ton post (LaTeX)
j'ai un doute sur ta formule de l'aire totale
ce ne serait pas

$a(x)=2\pi \times x(x+h)$
mais bon ...

pour la suite tu va devoir étudier cette fonction dérivée, limite ...

[luc]

J'ai fait la dérivé de $a(x)=2\pi \times x(x+h)$ et je trouve :

$a‘(x)=4\pi \times x+2\pi$ et donc pour les variations je trouve : croissante sur ]0;+∞[

Ensuite je ne comprend pas trés bien ce qu'il entende par : montrer qu'elle admet un minimun...

[miumiu]

ba normalement on a un extremum quand la dérivée change de signe mais là j'avoue c'est bizarre le minimium de l'aire c'est pour $x=0$ mdr on s'est peut être planté dans le calcul de l'aire mais ça me parait logique que lorsque le rayon augmente l'aire augmente aussi lol donc c'est normal d'avoir A strictement croissante

regardons la question 3 il y surement un lien

ps:j'avais pas vu que le 0 était valeur interdite désolée

[miumiu]

je pense qu'il faut remplacer le h dans l'expression de l'aire par l'expression qu'on nous a demander d'écrire ... après tout on ne nous l'aurait pas demandé sinon lol et puis là on trouve des variations intéressantes ...

[vince01]

2)Pt x∈]0,+∞[, A(x)=2$pi$x(x+V/(x$pi$))
Pt x∈]0,+∞[, A'(x)=4$pi$x-2V/x²
tracé du tableau de variation, où on remarque qu'il y a un min en x³=V÷2$pi$
d'où la ccl
bonne année et bonne santé

[vince01]

Il faut remplacer h par l'expression que tu as trouvé dans la 1), parce qu'elle est variable

[vince01]

3. A min pour x=x0
   d=2r
   en x0, d=2$sqrt[3]$(V÷2$pi$)
   et h=V÷($pi$$sqrt[3]$V÷2$pi$)²

[luc]

Je comprend pas comment tu es passé
de : A(x)=2∏x(x+V/(x∏)) a : A'(x)=4∏x-2V/x²

Deja si on remplace ce que j'ai trouvé au 1) ça fait :

A(x)=2∏x(x+V/(∏x²)) je crois que tu as oublier le ²

J'arrive pas a dériver cette fonction :s

[miumiu]

coucou
je t'avais déjà dit que ta première expression de l'aire était fausse...

$a(x)=2x\pi \times (x+\frac{v}{x^2\pi })$

$a(x)=2x^2\pi +\frac{2x\pi v}{x^2\pi }$

$a(x)=2x^2\pi +\frac{2v}{x})$

A est composée de fonction dériavables sur ]0;+∞[ donc A est dériavable sur ]0;+∞[

$a^{\prime }(x)=2\times 2x\pi -\frac{2v}{x^2}$

pour trouver la dérivée de $\frac{2v}{x}$ on a utilisé la forumule

dérivée de $\frac{1}{v}$ c'est $\frac{-v^{\prime }}{v^2}$

miumiu j'ai modifié mon calcul c'est $x^2$ au dénominateur

[luc]

je comprend pas comment tu passe de :

$a(x)=2x^2\pi +\frac{2x\pi v}{x\pi }$
à
$a(x)=2x^2\pi +\frac{2v}{x})$

il manque pas un x en haut dans l'expression : $a(x)=2x^2\pi +\frac{2v}{x})$ ? Si on simplifie en haut et en bas on supprime les x et les ∏ en haut et en bas alors que tu as supprimer que en haut.

Pour la dérivé j'ai compris,
Pour le tableau de variation, je trouve : décroissant sur ]0;V/2∏[ et croissant sur : ]V/2∏;+∞[ en valeur charniere entre 0 et +∞ : V/2∏

En revanche je comprend pas pour le minimum, si c'est égale a 0 a la fin alors ça ne peut pas etre un minimum non ?

[miumiu]

oui tu as raison j'ai recopié l'expression du h de vince alors qu'elle était fausse désolée (mais le résultat final est bon) c"est

$a(x)=2x\pi \times (x+\frac{v}{x^2\pi })$

$a(x)=2x^2\pi +\frac{2x\pi v}{x^2\pi }$

$a(x)=2x^2\pi +\frac{2v}{x}$

A est composée de fonction dériavables sur ]0;+∞[ donc A est dériavable sur ]0;+∞[

$a^{\prime }(x)=2\times 2x\pi -\frac{2v}{x^2}$

maintenant on n'as plus un minimun de 0 le minimum on l'a pour la valeur x où la dérivée s'annule regarde ton tableau décroissant puis croissant

[miumiu]

par contre je ne suis pas sûre de ta valeure pour laquelle la dérivée s'annule
moi j'ai

$\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi }}$

:rolling_eyes:

[luc]

Oui exact c'est : $\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi }}$ donc elle admet un minimun en $\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi }}$ c'est ça ?

[miumiu]

oui
là où la dérivée s'annule on a un extremum
en effet c'est a ce niveau qu'on a un changement de variation ...
or la fonction est décroissante puis croissante donc cet extremum est un minimum

[luc]

Pour la question 3) je nage lol je comprend pas ce qu'il faut faire :s

ps : pour écrire sur feuille ceci : $\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi }}$

Comment écrit-on la racine avec le 3 ?

[miumiu]

je crois que pour la 3 vince t'avait répondu regarde son post de 23h14

pour la racine et bien ça s'écrit comme ça apparait a l'écran lol

[luc]

vince01
A min pour x=x0
d=2r
en x0, d=2$sqrt[3]$(V÷2$pi$)
et h=V÷($pi$$sqrt[3]$V÷2$pi$)²

A représente l'aire ? cela voudrais dire que A est minimal pour x=x0 en revanche je comprend pas le d=2r c'est le diametre = 2 * le rayon ? comment tu peut en déduire : en x0, d=2$sqrt[3]$(V÷2$pi$) et h=V÷($pi$$sqrt[3]$V÷2$pi$)² ?

[miumiu]

re

alors oui $a$ c'est l'aire
on a vu que l'aire était minimale pour $x_0$
oui d c'est le diamètre et r le rayon mais nous on va prendre x comme dans l'énoncé
donc on a bien $d=2\times x$

pour trouver le diamètre minimale on prend la valeur de x_0 qui nous donne l'aire minimale

d'où

$d=2\times \sqrt[3]{\frac{v}{2\pi }}$ (1)

ensuite je pense qu'il y a une erreur de frappe de la part de vince c'est

$h=\frac{v}{\pi \times (\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi }}{)}^2}$

avant de te montre mon truc j'aimerais savoir si tu sais que $\sqrt{a}$c'est en fait $a^{\frac{1}{2}}$
c'est dans le but de simplifier les calculs ...
et que donc

$\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$

je ne sais plus quand est-ce qu'on étudie les puissances en faite lol

[luc]

non nous n'avons pas encore vu ceci : $\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$

c'est pour ça que je vous demandais comment on l'écrivé, c'est la premiere fois que je voie une racine au cube ^_^

Merci pour vos explication et votre aide

[miumiu]

et tu as vu que $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$ ??

tu avais mis quoi josef ?? je peux supprimer ton post ???

[luc]

non je ne l'ai pas vu.

[miumiu]

bon et bien tu pourras briller devant les autres maintenant tu sauras mais on va prendre une autre manière parce que le prof rique de ne pas aimer lui
on sait que

$x_o^3=\frac{v}{2\pi }$

donc $x_0^2=\frac{x_o^3}{x_o}=\frac{\frac{v}{2\pi }}{\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi }}}$

il faut remplacer dans

$h=\frac{v}{\pi \times (x_0{)}^2}$

[luc]

Alors si on a x_0^2 =
$\frac{\frac{v}{2\pi }}{\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi }}}$

quand on remplace ça donne :

$h = \frac{v}{\pi \times (\frac{ \frac{v}{2\pi}}{\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}}$)

Et aprés ? il faut développer ?

[miumiu]

développer ?? développer quoi ??lol

$h = \frac{v}{\pi \times \frac{ \frac{v}{2\pi}}{\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}}$)

$h= \frac{v}{\pi \times \frac{v}{2\pi}\times \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}}$

tu peux simplifier ...

[josef91]

Lorsque je simplifie je trouve : 2*($\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi }}$)

[miumiu]

très bien !!
maintenant tu regardes mon post
Envoyé: 06.01.2007, 11:38

[josef91]

Et bien merci pour tout bonne continuation

[miumiu]

de rien a toi aussi bonne continuation et bonne rentrée !!!!