dm nombre complexe



  • Bonjour tout le monde!!
    J'ai une succession d'exercices a rendre pour la rentrée!! en voici un que je n'arrive pas à faire!!

    On considère dans C les complexes z1z_1 et z2z_2 de module 1 et d'arguments respectifs α et β. Montrer que (z1(z_1 +z2+z_2 )2)^2 / z1z_1 z2z_2 est un réel positif ou nul.

    Alors j'ai commencé par ecrire z1z_1= 1(cos α+isin α ) =eiα=e^{iα}
    et z2z_2= 1(cosβ+i sinβ ) = e iβ^{iβ}
    d'ou z1z_1 z2z_2= eiαe^{iα} eiβe^{iβ}= ei(α+β)e^{i(α+β ) }
    Mais je ne sais pas si cela me sert à quelque chose car je n'arrive pas à avancer!!
    merci de me débloquer!!



  • coucou
    oui alors j'avais posté quelque chose mais ça servait à rien lol
    et bien c'est bon ce que tu as fait tu peux continuer
    $\frac{(z1 +z2 )^2}{ z1\times z2} =\frac{(e^{ia}+e^{ib})^2}{e^{i(a+b )}$

    tu développes le numérateur ... tu simplies en utlisant le fait que
    eaeb=eab\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}

    ensuite tu repasses a la forme (cosθ+isinθ)(\text{cos}\theta+i \text{sin}\theta ) et tu utilises tes formules de trigo



  • Alors j'ai commencé a devellopé le numérateur ce qui me donne:
    (eiα)^{(eiα )}2 + 2ei(α+β)2e^{i(α+β )} + (eiβ)^{(eiβ)}2 ÷ ei(α+β)e^{i(α+β )}

    simplement apres pour uitiliser
    eae^a ÷ ebe^{b }= e(ab)e^{(a-b )}
    je n'y arrive pas parce que j'arrive pas à regouper le numérateur!



  • bon alors tu peux faire "entrer" le carré dans l'exponentielle
    et ensuite tu peux simplifier

    2ei(a+b)ei(a+b)\frac{2e^{i(a+b )}}{e^{i(a+b )}}

    ensuite

    tu peux dire que
    e2iaei(a+b)=eiaib\frac{e^{2ia }}{e^{i(a+b )}}=e^{ia-ib}

    ok ?! je vais trop vite?



  • Je m'étais trompée au premier message posté:

    2eiα2e^{iα} + 2ei(α+β)2e^{i(α+β )} +2eiβ+2e^{iβ} ÷ ei(α+β)e^{i(α+β )}

    A ce moment la je cherche comment regroupée tout ça 😕



  • euh oui là je ne sais pas mais c'est bizarre lol
    (eia+eib)2ei(a+b)\frac{(e^{ia }+e^{ib })^2 }{e^{i(a+b )}}

    e2ia+e2ib+2ei(a+b)ei(a+b)\frac{e^{2ia }+ e^{2ib }+2e^{i(a+b )}}{e^{i(a+b )}}

    e2iaei(a+b)+e2ibei(a+b)+2ei(a+b)ei(a+b)\frac{e^{2ia }}{e^{i(a+b )}} + \frac{e^{2ib }}{e^{i(a+b )}} + \frac{2e^{i(a+b) } }{e^{i(a+b )}}


    e(2iai(a+b))+e(2ibi(a+b))+2e^{(2ia-i(a+b)) } + e^{(2ib-i(a+b)) } + 2

    ok?!



  • Oh que je suis bête, j'avais pas pensé à séparer chaque membre avec le dénominateur 😲

    Donc au finale je trouve:
    ei(αβ)e^{i(α-β )} + ei(βα)e^{i(β-α )} + 2

    est -ce ça??



  • yes très bien
    maintenant tu repasses a la forme avec

    eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=cos\theta+ i \sin\theta

    tu ne sépare pas α\alphaet β\betahein !! pas encore



  • Alors cela me donne:

    = cos(α-β ) + i sin (α-β ) + cos(β-α )+ isins(β-α ) +2
    ensuite je peux mettre en facteur cos et isin
    = cos[(α-β )+(β-α )] + isin [(α-β ) +(β-α )] + 2
    Ainsi j'obtiens:
    = cos 0+ isin 0 +2
    = 3

    en espérant que se soit ça!!!



  • 😲
    c'est quoi cette horreur mdr
    alors pour toi

    cos(π4)+cos(π4)=1cos(\frac{\pi}{4}) +cos(\frac{-\pi}{4}) = 1????!!!! lol
    nan tu utlises la trigo normale
    cos(a-b)=cos a . cos b + sin a .sinb...



  • Nan c'est vrai!!
    sa me semblait un peu trop facile pour que se soit le cas :frowning2:
    on va dir que c'est à cause des vacances!! 😄

    Alors
    = cos a.cos b +sin a.sin b + i( sin a.cos b - sin b.cos a) + cos a.cos b + sin a.sin b + i(sin a.cos b - sin b.cos a) + 2



  • oui mais nan c'est bien pour le début mais pas pour la fin !!!
    regarde bien ton post de 11h31 ta première ligne
    Alors
    = cos a.cos b +sin a.sin b + i( sin a.cos b - sin b.cos a) + cos a.cos b + sin a.sin b + i(sin b.cos a - sin a.cos b) + 2
    et maintenant tu peux simplifier



  • Ah oui j'avais inversé....désolé!!

    Il faut que je mette α et β en facteur??



  • nan nan
    [...]= cos a.cos b +sin a.sin b + i( sin a.cos b - sin b.cos a) + cos a.cos b + sin a.sin b + i(sin b.cos a - sin a.cos b) + 2

    =2cos a.cos b + 2sin a.sin b +
    i( sin a.cos b)-i (sin b.cos a)+
    i(sin b.cos a)-i(sin a.cos b)+ 2
    bon tu as vu là quand même lol



  • mais tout à l'heure vous ( ou tu) m'avez dit que je n'avais pas le droit de simplifier...c'est pas la même chose ici?
    j'ai le droit de barrer ce qu'il y a en rouge et bleu??
    j'avoue que je suis un peu perdue là!!



  • Bon si je simplifie à la fin je trouve:
    = 2[ cos ( a -b) ]



  • lol
    😄
    ("tu" au fait please je ne suis pas ta prof 😉 )

    tu n'as pas le droite de dire que cos(a)+cos(-a)=cos(a-a)=1 je t'ai donné un contre exemple tu ne peux pas faire tout ce que tu veux avec les cos et les sin

    par contre - (blabla) + (blabla) = 0 ça c'est toujours vrai XD

    si t'avais eu avant -cos(a)+cos(a) t'aurais pu dire = 0 mais ce n'était pas le cas

    oui si tu veux simplifier tu peux le faire mais de toute façon tu peux t'arréter à l'étape d'avant puisque la question c'est prouvé que le résultat est un réel
    il manque le +2 au fait
    [...]=2[ cos ( a -b) ]+2



  • on aurait pu aller plus vite d'ailleurs en utilisant le fait que
    cos(-x) = cos(x) : Fonction paire
    sin(-x) = -sin(x) : Fonction impaire
    mais bon
    ...



  • ah d'accrod!!!merci pour l'hisoire du : "si t'avais eu avant -cos(a)+cos(a) t'aurais pu dire = 0 mais ce n'était pas le cas" j'ai compris ma bêtise!!!

    donc pour conclure je dis que le cosinus est toujours compris entre -1 et 1 et donc ben comme deux est tjrs superieur à zero ce ne peut qu'etre un reel positif ou nul!!
    bon c'est pas tres frncais! mais est ce que en gros c'est sa?



  • oui voilà en gros c'est ça XD
    si tu veux pour faire classe tu peux mettre tout ça sous forme d'inégalité
    1cos(ab)1-1\le cos(a-b) \le1

    22cos(ab)2-2\le 2cos(a-b) \le 2

    02cos(ab)+240 \le 2cos(a-b) + 2 \le 4

    comme ça tu n'as même pas besoin de te casser la tête pour trouver une phrase mdr



  • ah ouai c'est pas bête!!
    en tout cas merci beaucoup "miumiu", tu m'as été d'une grande aide!!
    sans indiscretion tu fais quoi dans la vie? futur professeur de maths?



  • lol 😉
    nan je préfère faire des maths pour mon plaisir... et puis tout le monde ne peut pas être prof
    j'ai 18 ans je suis en fac de ... bio XD
    de rien pour l'aide 😉
    ++++


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