Montrer qu'une expression avec nombres complexes est un réel positif ou nul

Bonjour tout le monde!!
J'ai une succession d'exercices a rendre pour la rentrée!! en voici un que je n'arrive pas à faire!!

On considère dans C les complexes $z_1$ et $z_2$ de module 1 et d'arguments respectifs α et β. Montrer que $z_1$ $z_2$ $^2$ / $z_1$ $z_2$ est un réel positif ou nul.

Alors j'ai commencé par ecrire $z_1$ = 1(cos α+isin α ) $e^{iα}$
et $z_2$ = 1(cosβ+i sinβ ) = e $^{iβ}$
d'ou $z_1$ $z_2$ = $e^{iα}$ $e^{iβ}$ = $e^{i(α+β ) }$
Mais je ne sais pas si cela me sert à quelque chose car je n'arrive pas à avancer!!
merci de me débloquer!!

coucou
oui alors j'avais posté quelque chose mais ça servait à rien lol
et bien c'est bon ce que tu as fait tu peux continuer
$\frac{(z1 +z2 )^2}{ z1\times z2} =\frac{(e^{ia}+e^{ib})^2}{e^{i(a+b )}$

tu développes le numérateur ... tu simplies en utlisant le fait que
$eaeb=ea−b\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$

ensuite tu repasses a la forme $(cosθ+isinθ)(\text{cos}\theta+i \text{sin}\theta )$ et tu utilises tes formules de trigo

Alors j'ai commencé a devellopé le numérateur ce qui me donne:
$^{(eiα )}$ 2 + $2e^{i(α+β )}$ + $^{(eiβ)}$ 2 ÷ $e^{i(α+β )}$

simplement apres pour uitiliser
$e^a$ ÷ $e^{b }$ = $e^{(a-b )}$
je n'y arrive pas parce que j'arrive pas à regouper le numérateur!

bon alors tu peux faire "entrer" le carré dans l'exponentielle
et ensuite tu peux simplifier

$2ei(a+b)ei(a+b)\frac{2e^{i(a+b )}}{e^{i(a+b )}}$

ensuite

tu peux dire que
$e2iaei(a+b)=eia−ib\frac{e^{2ia }}{e^{i(a+b )}}=e^{ia-ib}$

ok ?! je vais trop vite?

Je m'étais trompée au premier message posté:

$2e^{iα}$ + $2e^{i(α+β )}$ $2e^{iβ}$ ÷ $e^{i(α+β )}$

A ce moment la je cherche comment regroupée tout ça

euh oui là je ne sais pas mais c'est bizarre lol
$(eia+eib)2ei(a+b)\frac{(e^{ia }+e^{ib })^2 }{e^{i(a+b )}}$
⇔

$e2ia+e2ib+2ei(a+b)ei(a+b)\frac{e^{2ia }+ e^{2ib }+2e^{i(a+b )}}{e^{i(a+b )}}$
⇔
$e2iaei(a+b)+e2ibei(a+b)+2ei(a+b)ei(a+b)\frac{e^{2ia }}{e^{i(a+b )}} + \frac{e^{2ib }}{e^{i(a+b )}} + \frac{2e^{i(a+b) } }{e^{i(a+b )}}$

⇔
$e^{(2ia-i(a+b)) } + e^{(2ib-i(a+b)) } + 2$

ok?!

Oh que je suis bête, j'avais pas pensé à séparer chaque membre avec le dénominateur

Donc au finale je trouve:
$e^{i(α-β )}$ + $e^{i(β-α )}$ + 2

est -ce ça??

yes très bien
maintenant tu repasses a la forme avec

$eiθ=cosθ+isin⁡θe^{i\theta}=cos\theta+ i \sin\theta$

tu ne sépare pas $α\alpha$ et $β\beta$ hein !! pas encore

Alors cela me donne:

= cos(α-β ) + i sin (α-β ) + cos(β-α )+ isins(β-α ) +2
ensuite je peux mettre en facteur cos et isin
= cos[(α-β )+(β-α )] + isin [(α-β ) +(β-α )] + 2
Ainsi j'obtiens:
= cos 0+ isin 0 +2
= 3

en espérant que se soit ça!!!

c'est quoi cette horreur mdr
alors pour toi

$cos(π4)+cos(−π4)=1cos(\frac{\pi}{4}) +cos(\frac{-\pi}{4}) = 1$ ????!!!! lol
nan tu utlises la trigo normale
cos(a-b)=cos a . cos b + sin a .sinb...

Nan c'est vrai!!
sa me semblait un peu trop facile pour que se soit le cas :frowning2:
on va dir que c'est à cause des vacances!!

Alors
= cos a.cos b +sin a.sin b + i( sin a.cos b - sin b.cos a) + cos a.cos b + sin a.sin b + i(sin a.cos b - sin b.cos a) + 2

oui mais nan c'est bien pour le début mais pas pour la fin !!!
regarde bien ton post de 11h31 ta première ligne
Alors
= cos a.cos b +sin a.sin b + i( sin a.cos b - sin b.cos a) + cos a.cos b + sin a.sin b + i(sin b.cos a - sin a.cos b) + 2
et maintenant tu peux simplifier

Ah oui j'avais inversé....désolé!!

Il faut que je mette α et β en facteur??

nan nan
[...]= cos a.cos b +sin a.sin b + i( sin a.cos b - sin b.cos a) + cos a.cos b + sin a.sin b + i(sin b.cos a - sin a.cos b) + 2

=2cos a.cos b + 2sin a.sin b +
i( sin a.cos b)-i (sin b.cos a)+
i(sin b.cos a)-i(sin a.cos b)+ 2
bon tu as vu là quand même lol

mais tout à l'heure vous ( ou tu) m'avez dit que je n'avais pas le droit de simplifier...c'est pas la même chose ici?
j'ai le droit de barrer ce qu'il y a en rouge et bleu??
j'avoue que je suis un peu perdue là!!

Bon si je simplifie à la fin je trouve:
= 2[ cos ( a -b) ]

lol

("tu" au fait please je ne suis pas ta prof )

tu n'as pas le droite de dire que cos(a)+cos(-a)=cos(a-a)=1 je t'ai donné un contre exemple tu ne peux pas faire tout ce que tu veux avec les cos et les sin

par contre - (blabla) + (blabla) = 0 ça c'est toujours vrai XD

si t'avais eu avant -cos(a)+cos(a) t'aurais pu dire = 0 mais ce n'était pas le cas

oui si tu veux simplifier tu peux le faire mais de toute façon tu peux t'arréter à l'étape d'avant puisque la question c'est prouvé que le résultat est un réel
il manque le +2 au fait
[...]=2[ cos ( a -b) ]+2

on aurait pu aller plus vite d'ailleurs en utilisant le fait que
cos(-x) = cos(x) : Fonction paire
sin(-x) = -sin(x) : Fonction impaire
mais bon
...

ah d'accrod!!!merci pour l'hisoire du : "si t'avais eu avant -cos(a)+cos(a) t'aurais pu dire = 0 mais ce n'était pas le cas" j'ai compris ma bêtise!!!

donc pour conclure je dis que le cosinus est toujours compris entre -1 et 1 et donc ben comme deux est tjrs superieur à zero ce ne peut qu'etre un reel positif ou nul!!
bon c'est pas tres frncais! mais est ce que en gros c'est sa?

oui voilà en gros c'est ça XD
si tu veux pour faire classe tu peux mettre tout ça sous forme d'inégalité
$−1≤cos(a−b)≤1-1\le cos(a-b) \le1$
⇔

$−2≤2cos(a−b)≤2-2\le 2cos(a-b) \le 2$
⇔

$\le 2cos(a-b) + 2 \le 4$

comme ça tu n'as même pas besoin de te casser la tête pour trouver une phrase mdr

ah ouai c'est pas bête!!
en tout cas merci beaucoup "miumiu", tu m'as été d'une grande aide!!
sans indiscretion tu fais quoi dans la vie? futur professeur de maths?

lol
nan je préfère faire des maths pour mon plaisir... et puis tout le monde ne peut pas être prof
j'ai 18 ans je suis en fac de ... bio XD
de rien pour l'aide
++++