Triangles semblables ( une propriété des bissectrices )

Bonjour,
Pourriez-vous m'aider à résoudre cet exercice ?
Merci d'avance.

ABC est un triangle inscrit dans un cercle C de centre O. La bissectrice de l'angle BAC coupe [BC] en I et le cercle C en J.
Le but de cet exercice est de démontrer que:

IB/IC = AB/AC [1]

Démontrer que BJ = CJ

2)a)Démontrer que les triangles ABj et AIC sont semblables.
b)Déduisez-en que ABIC = AIBJ [2]

3)a)Démontrer que les triangles ACJ et AIB sont semblables.
b)Déduisez-en que ACIB = AICJ [3]

Déduisez-en l'égalité [1] des égalités [2] et [3].
Application numérique: On suppose AB = 4cm, AC = 5cm et BC = 6cm. On pose IB = x et IC = y.
a) Démontrer que x et y sont solutions du système: x+y = 6 et x/y = 4/5.
b) Déduisez-en X et y.

coucou
bienvenue dans tout ceci tu as bien dû trouver quelque chose ?? un début de réponse ?!!

C'est à dire que je n'est pas encore cherché car je suis sur un autre exercice lol mais en regardant comme ça je ne voir pas la solution...

Eh bien quand tu auras un peu cherché tu sauras nous dire ce que tu sais faire et ce qui te pose des soucis et pourquoi tu ne sais pas faire !

A plus donc.

merci de votre compréhension. J'ai du mal à démarrer l'exercice.
Je n'arrive pas à prouver que BJ = CJ.
Je voulais juste que vous me donniez une piste.

Tu dois avoir vu le chapitre sur les angles dans le cercle.

Si (AJ) est la bissectrice de l'angle BAC les angles CAJ et JAB sont égaux

Donc les arcs interceptés sont égaux donc les cordes correspondantes sont égales

Merci de votre aide. Je vais vous écrire ce que j'ai fait pour la 2° question.
a)
ABJ et AIC sont semblables :
ABJ et AIC
Â = Â
J^= Î
^B = ^C

Mais pour le b) je n'y arrive pas j'avais trouvé quelque chose mais je me suis rendu compte que ce n'était pas bon...

Je suis désolée mais pour moi il est l'heure de me déconnecter . Bonne nuit et à demain peut-être.

D'accord ce n'est rien merci quand même mais je vais finir par trouver. bonne nuit.

si tu as réussi a prouvé que les deux triangles sont semblables alors avec les rapports sur les longuers tu devrais trouver la b)
mais ta démonstration pour la a) me semble un peu bizarre

Coucou. Comment peux-tu dire que l'angle i est égale à l'angle j? Et l'angle i dans quel triangle? Pourrais-tu le préciser, et si possible préciser tes autres angles, c'est à dire comme un angle normal, avec 3 lettres?
Ce que tu as trouvé me semble aussi un peu bizarre, mais bon, peut être que c'est bon (je suis plus bizarre encore, lol)

le guitariste a trouvé sa solution sur un autre forum alors je pense qu'on peu dire la réponse XD
les angles $BAJ^\widehat{BAJ}$ et $CAJ^\widehat{CAJ}$ sont égaux de plus

les angles $BJA^\widehat{BJA}$ et $BCA^\widehat{BCA}$ interceptent le même arc AB donc ils sont aussi égaux

propriété
si deux triangles ont deux angles égaux deux à deux alors ils sont semblables

donc les deux triangles ABJ et AIC sont semblables