Scinder: Limites de suites 2

Bon ça y est j'ai fini le 2eme en trouvant une formule explicite pour Wn.
PAr contre j'ai un nouvel exercice qui me pose probleme ^^

Un est la suite définie par $u_0$ >-4/3 et pour tout n ,
$u_{n+1}$ = √ $4+3u_n$ )

1) tracez une representation graphique des fonctions f(x) = √(4+3x) et y = x
Donc c'est bon j'ai ma representation graphique

2) Calculez les coordonnées du point d'intersection des 2 courbes
j'ai trouvé (4;4)

**3)**On suppose dans cette question que $u_0$ =6

a. Démontrez que la suite $u_n$ est minorée
, j'ai trouvé que $u_n$ > 4 en m'aidant de mes courbes et avec une récurrence.

**b.**Etudiez les variations de la suite $u_n$
Alors là aucune idée , je sais pas comment on trouve les variations d'une suite récurrente.

c. Désuidez - en que la suite $u_n$ ) est convergente et calculez sa limite

4)a. Démontrez que ce résultat est vrai pour tout $u_0$ strictement superieur à 4

b. Ce résultat est-il encore vrai si 0 < $u_0$ < 4 ?
Je vois à peu près comment faire pour cette question en sachant qu'on peut montrer que pour 0 < $u_0$ < 4 ; $u_n$ majorée par 4.

Salut.

Cela aurait été mieux de commencer une nouvelle discussion.

Pour étudier les variations de $u_n$ ), en général, on étudie soit le signe de $u$ {n+1} $u_n$ , soit on compare le rapport $u$ {n+1} $u_n$ avec 1.

Pourquoi ? Parce que par exemple si la différence est positive ou que le rapport est supérieur à 1, alors $u_{n+1}$ ≥ $u_n$ , donc la suite croît.

Je te conseille d'étudier le rapport dans ce cas, car une différence de racines c'est pas cool, alors qu'un rapport c'est plus simple à manipuler (on rentre le $u_n$ sous la racine, et comme la fonction racine carrée est croissante et que racine de 1 est égal à 1, il suffit d'étudier ce qu'il y a sous la racine.

@+

ça y est j'ai trouvé Un croissante mais en etudiant la difference plutot que le rapport , je me suis ramené à un polynome de second degré.
Et pour ma limite comment je fais ?

coucou
j'ai déplacé ton post ça ne te gène pas ?!
perso je trouve que la suite est décroissante ce qui est cohérent avec la question d'avant
la suite est décroissante et minorée donc elle est convergente ...
utilise la méthode de Jeet-Chris ...
si tu n'y arrives pas dis le moi je donnerai un coup de pouce

non non ça me dérange pas ^^
Par contre je vois pas trop comment on etudie $u$ _{n+1} $u_n$ , ça fait √ $(4 + 3 u$ _n $u_n$ comment voir si il est superieur ou inferieur à 1

ok
alors

$un+1un=4+3unun\frac{u_{n+1}}{u_n}= \frac{\sqrt{4+3u_n}}{u_n}$

$un+1un=4+3unun2\frac{u_{n+1}}{u_n}= \sqrt{\frac{4+3u_n}{u_n^2}}$

Jeet-Chris

on rentre le un sous la racine, et comme la fonction racine carrée est croissante et que racine de 1 est égal à 1, il suffit d'étudier ce qu'il y a sous la racine.

pour que le rapport soit supérieur a 1 et donc que la suite soit croissante on devrait avoir

$4+3un≥un24+3u_n \ge u_n^2$

soit

$4+3un−un2≥04+3u_n - u_n^2 \ge 0$

quand tu fais le tableau de signe tu vois que c'est positif dans entre les racines soit entre -1 et 4 ( si je me souviens bien)

or on a $u_n$ qui est supérieure à 4 (question d'avant)

donc contradiction
donc le rapport est plus petit que 1
donc la suite est décroissante

ok mais en fait ça revient au même d'etudier la différence :
$u_{n+1}$ - $u_n$ = 0
√(4 + $3u_n$ ) = $u_n$
Là on fait ce qui fait enrager les profs de maths
4 + $3u_n$ = $u_n$ ²
$u_n$ ² + $3u_n$ + 4 = 0
Et on retombe sur le même polynome , j'avais du faire un erreur toute bête tout à l'heure.
Pour la limite je vois maintenant
Pour la 3) j'ai de vagues idée mais franchement je ne vois pas comment bien présenter ça , je vois que si on prend $u_0$ < 4 on peut faire un raisonnement par recurrence pour montrer que la suite est majorée par 4.