Calculs sur des nombres complexes et fonctions trigonométriques

[Bbygirl]

Salut à tous, j'ai un DM à faire sur les nombres complexes et je suis bloquée pour une question ce qui m'empêche de faire la suite.
voici l'énoncé de l'exercice :

1. z est un nombre complexe et z'=1+
   z+z${}^2$+z${}^3$+z^4$.
   a) vérifier que si z est différent de 1, alors z'= $(1-z^5$)/(1-z)
   b) Que vaut z' si z= exp(i*2pi/5)?
   En déduire la valeur de S = 1+cos(2pi/5)+cos(4pi/5)+cos(6pi/5)+cos(8pi/5)

J'ai répondu à la question a), et à la première partie de la question b), où je trouve z'=0.
Ensuite, c'est la déduction pour la deuxième partie de la question qui me pose problème.

Merci à tous ceux qui pourront m'aider.

[miumiu]

coucou
ba je ne comprends pas ton problème

$z^{\prime }=1+z^2+z^3+z^4.$ (1)

$z^{\prime }=\frac{1-z^5}{1-z}$ (2)

quand on remplace z par $e^{2i\frac{\pi }{5}}$ dans (2) c'est comme si on la remplcait dans (1) !!

donc en effet on trouve z'=0 donc

S = 1+cos(2pi/5)+cos(4pi/5)+cos(6pi/5)+cos(8pi/5)= 0

nan ?!

[Bbygirl]

euh non je ne comprends pas. exp(i*2pi/5) ce n'est pas pareil que cos (2pi/5).

[miumiu]

a mince désolée j'avais mal lu XD
bon alors

z'= 1+exp(2ipi/5)+exp(4ipi/5)+exp(6ipi/5)+exp(8ipi/5)= 0

ensuite
exp(2ipi/5) = cos (2pi/5) + i sin (2pi/5) et enuite je pense qu'en utilisant le fait que
sin (2pi/5) = sin (pi - 3pi/5) et en faisant pareil pour les autres on dervrait trouver un truc ...

je regarde

[Bbygirl]

D'accord merci. j'avais peur d'avoir raté un truc évident lol

[miumiu]

oui alors ça marche bien ma méthode tu as compris ?!

[Bbygirl]

oui j'ai compris je vais essayer de faire les calculs et voir ce que je trouve. si je ne m'en sors pas je reviendrai poser mes questions

[miumiu]

$z^{\prime }=1+exp(2i\frac{\pi }{5})+exp(4i\frac{\pi }{5})+exp(6i\frac{\pi }{5})+exp(8i\frac{\pi }{5})=0$

$z^{\prime }=1+cos(\frac{2\pi }{5})+cos(\frac{4\pi }{5})+cos(\frac{6\pi }{5})+cos(\frac{8\pi }{5})+i(sin(\frac{2\pi }{5})+sin(\frac{4\pi }{5})+sin(\frac{6\pi }{5})+sin(\frac{8\pi }{5}))=0$

$z^{\prime }=s+i(sin(\pi -\frac{3\pi }{5})+sin(\pi -\frac{\pi }{5})+sin(\pi +\frac{\pi }{5})+sin(\pi +\frac{3\pi }{5}))=0$

et ensuite les formules de trigo normales

[Bbygirl]

oui merci beaucoup j'ai trouvé.
On trouve que sin(2pi/5)= -sin(8pi/5) donc la somme des 2 s'annule.
De même sin (4pi/5)= -sin (6pi/5) donc la somme s'annule aussi.

et on se retrouve avec S=0.

Merci beaucoup pour cette aide.

[miumiu]

oui voilà moi aussi je trouve 0
donc euh finalement ma première réponse était juste XD
c'était un pressentiment :rolling_eyes: ^^

[Bbygirl]

^^ j'aimerais bien avoir des pressentiments comme ca aussi lol

[miumiu]

oui c'est très rare en général c'est pour ça que j'en fais la remarque XD

tu verras après le bac les mystères de l'univers te seront révélés
lol

[Bbygirl]

lol ca donne envie tout ca

[Bbygirl]

Salut, j'ai encore un problème pour une autre question. Il faut montrer que cos(2$pi$/5) + cos(8$pi$/5) = $4co{s}^2$($pi$/5) -2

Et moi je ne trouve pas ca en faisant le calcul. j'ai surement du me tromper quelquepart mais je ne sais pas où.

Voici ce que je trouve :
S=0 donc cos(2$pi$/5) + cos(8$pi$/5) = -cos(4$pi$/5) -cos(6$pi$/5) -1 =-cos($pi$ -$pi$/5) -cos($pi$ +$pi$/5) -1 = -cos$pi$cos($pi$/5)-sin$pi$sin($pi$/5)-cos$pi$cos($pi$/5)+sin$pi$sin($pi$/5)-1 = -2cos$pi$cos($pi$/5)-1 = 2 cos ($pi$/5)-1

merci à ceux qui pourront m'aider

[miumiu]

cos(2π/5) + cos(8π/5) = 2 cos²(π/5) + cos ( 2π- 2π/5)

rappel cos (2a) = 2cos² a -1
je pense que ça va aller maintenant

[Bbygirl]

ah oui merci j'avais totalement oublié ces formules-là merci beaucoup miumiu

[stuntman78]

coucou tout le monde
dis moi Bbygirl tu trouve donc bien comme valeur :
$cos(\frac{\pi }{5})=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ ?

[miumiu]

je suppose que c'est une autre question ça ?!
en tout cas ouai c'est sûr que c'est bon ^^

[Bbygirl]

je n'ai pas encore terminé l'exercice j'ai d'autres choses à faire avant mais vu que miumiu l'a confirmé, ça doit être le bon résultat.

[miumiu]

ba oui je suis inspirée par les dieux tout ce que je dis est, par conséquent, forcément vrai ...
lol
nan mais tu regardes à la calculatrice ...
(je viens de casser quelque chose là ?! mdr)