Calculs sur des nombres complexes et fonctions trigonométriques

Salut à tous, j'ai un DM à faire sur les nombres complexes et je suis bloquée pour une question ce qui m'empêche de faire la suite.
voici l'énoncé de l'exercice :

z est un nombre complexe et z'=1+
z+z $^2$ +z $^3$ +z^4$.
a) vérifier que si z est différent de 1, alors z'= $1-z^5$ )/(1-z)
b) Que vaut z' si z= exp(i*2pi/5)?
En déduire la valeur de S = 1+cos(2pi/5)+cos(4pi/5)+cos(6pi/5)+cos(8pi/5)

J'ai répondu à la question a), et à la première partie de la question b), où je trouve z'=0.
Ensuite, c'est la déduction pour la deuxième partie de la question qui me pose problème.

Merci à tous ceux qui pourront m'aider.

coucou
ba je ne comprends pas ton problème

$z'=1+z^2+z^3+z^4.$ (1)

$\frac{1-z^5}{1-z}$ (2)

quand on remplace z par $e2iπ5e^{2i\frac{\pi}{5}}$ dans (2) c'est comme si on la remplcait dans (1) !!

donc en effet on trouve z'=0 donc

S = 1+cos(2pi/5)+cos(4pi/5)+cos(6pi/5)+cos(8pi/5)= 0

nan ?!

euh non je ne comprends pas. exp(i*2pi/5) ce n'est pas pareil que cos (2pi/5).

a mince désolée j'avais mal lu XD
bon alors

z'= 1+exp(2ipi/5)+exp(4ipi/5)+exp(6ipi/5)+exp(8ipi/5)= 0

ensuite
exp(2ipi/5) = cos (2pi/5) + i sin (2pi/5) et enuite je pense qu'en utilisant le fait que
sin (2pi/5) = sin (pi - 3pi/5) et en faisant pareil pour les autres on dervrait trouver un truc ...

je regarde

D'accord merci. j'avais peur d'avoir raté un truc évident lol

oui alors ça marche bien ma méthode tu as compris ?!

oui j'ai compris je vais essayer de faire les calculs et voir ce que je trouve. si je ne m'en sors pas je reviendrai poser mes questions

$\frac{\pi}{5} )+exp(4i\frac{\pi}{5})+exp(6i\frac{\pi}{5})+exp(8i\frac{\pi}{5})= 0$

$\frac{2\pi}{5} )+cos( \frac{4\pi}{5} )+cos( \frac{6\pi}{5} )+cos( \frac{8\pi}{5} ) + i( sin( \frac{2\pi}{5} )+sin( \frac{4\pi}{5} )+sin( \frac{6\pi}{5} )+sin( \frac{8\pi}{5} )) = 0$

$sin(\pi- \frac{3\pi}{5} )+sin(\pi- \frac{\pi}{5} )+sin(\pi + \frac{\pi}{5} )+sin(\pi + \frac{3\pi}{5} )) =0$

et ensuite les formules de trigo normales

oui merci beaucoup j'ai trouvé.
On trouve que sin(2pi/5)= -sin(8pi/5) donc la somme des 2 s'annule.
De même sin (4pi/5)= -sin (6pi/5) donc la somme s'annule aussi.

et on se retrouve avec S=0.

Merci beaucoup pour cette aide.

oui voilà moi aussi je trouve 0
donc euh finalement ma première réponse était juste XD
c'était un pressentiment :rolling_eyes: ^^

^^ j'aimerais bien avoir des pressentiments comme ca aussi lol

oui c'est très rare en général c'est pour ça que j'en fais la remarque XD

tu verras après le bac les mystères de l'univers te seront révélés
lol

lol ca donne envie tout ca

Salut, j'ai encore un problème pour une autre question. Il faut montrer que cos(2 $p i$ /5) + cos(8 $p i$ /5) = $4cos^2$ ( $p i$ /5) -2

Et moi je ne trouve pas ca en faisant le calcul. j'ai surement du me tromper quelquepart mais je ne sais pas où.

Voici ce que je trouve :
S=0 donc cos(2 $p i$ /5) + cos(8 $p i$ /5) = -cos(4 $p i$ /5) -cos(6 $p i$ /5) -1 =-cos( $p i$ - $p i$ /5) -cos( $p i$ + $p i$ /5) -1 = -cos $p i$ cos( $p i$ /5)-sin $p i$ sin( $p i$ /5)-cos $p i$ cos( $p i$ /5)+sin $p i$ sin( $p i$ /5)-1 = -2cos $p i$ cos( $p i$ /5)-1 = 2 cos ( $p i$ /5)-1

merci à ceux qui pourront m'aider

cos(2π/5) + cos(8π/5) = 2 cos²(π/5) + cos ( 2π- 2π/5)

rappel cos (2a) = 2cos² a -1
je pense que ça va aller maintenant

ah oui merci j'avais totalement oublié ces formules-là merci beaucoup miumiu

coucou tout le monde
dis moi Bbygirl tu trouve donc bien comme valeur :
$cos(π5)=1+54cos(\frac{\pi}{5})=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ ?

je suppose que c'est une autre question ça ?!
en tout cas ouai c'est sûr que c'est bon ^^

je n'ai pas encore terminé l'exercice j'ai d'autres choses à faire avant mais vu que miumiu l'a confirmé, ça doit être le bon résultat.

ba oui je suis inspirée par les dieux tout ce que je dis est, par conséquent, forcément vrai ...
lol
nan mais tu regardes à la calculatrice ...
(je viens de casser quelque chose là ?! mdr)