DM sur les nombres complexes



  • Salut à tous, j'ai un DM à faire sur les nombres complexes et je suis bloquée pour une question ce qui m'empêche de faire la suite.
    voici l'énoncé de l'exercice :

    1. z est un nombre complexe et z'=1+
      z+z2^2+z3^3+z^4$.
      a) vérifier que si z est différent de 1, alors z'= (1z5(1-z^5)/(1-z)
      b) Que vaut z' si z= exp(i*2pi/5)?
      En déduire la valeur de S = 1+cos(2pi/5)+cos(4pi/5)+cos(6pi/5)+cos(8pi/5)

    J'ai répondu à la question a), et à la première partie de la question b), où je trouve z'=0.
    Ensuite, c'est la déduction pour la deuxième partie de la question qui me pose problème.

    Merci à tous ceux qui pourront m'aider.



  • coucou
    ba je ne comprends pas ton problème

    z=1+z2+z3+z4.z'=1+z^2+z^3+z^4. (1)

    z=1z51zz' = \frac{1-z^5}{1-z} (2)

    quand on remplace z par e2iπ5e^{2i\frac{\pi}{5}} dans (2) c'est comme si on la remplcait dans (1) !!

    donc en effet on trouve z'=0 donc

    S = 1+cos(2pi/5)+cos(4pi/5)+cos(6pi/5)+cos(8pi/5)= 0

    nan ?!



  • euh non je ne comprends pas. exp(i*2pi/5) ce n'est pas pareil que cos (2pi/5).



  • a mince désolée j'avais mal lu XD
    bon alors

    z'= 1+exp(2ipi/5)+exp(4ipi/5)+exp(6ipi/5)+exp(8ipi/5)= 0

    ensuite
    exp(2ipi/5) = cos (2pi/5) + i sin (2pi/5) et enuite je pense qu'en utilisant le fait que
    sin (2pi/5) = sin (pi - 3pi/5) et en faisant pareil pour les autres on dervrait trouver un truc ...

    je regarde



  • D'accord merci. j'avais peur d'avoir raté un truc évident lol



  • oui alors ça marche bien ma méthode tu as compris ?!



  • oui j'ai compris je vais essayer de faire les calculs et voir ce que je trouve. si je ne m'en sors pas je reviendrai poser mes questions 😄



  • z=1+exp(2iπ5)+exp(4iπ5)+exp(6iπ5)+exp(8iπ5)=0z'= 1+exp(2i \frac{\pi}{5} )+exp(4i\frac{\pi}{5})+exp(6i\frac{\pi}{5})+exp(8i\frac{\pi}{5})= 0

    z=1+cos(2π5)+cos(4π5)+cos(6π5)+cos(8π5)+i(sin(2π5)+sin(4π5)+sin(6π5)+sin(8π5))=0z' = 1 + cos( \frac{2\pi}{5} )+cos( \frac{4\pi}{5} )+cos( \frac{6\pi}{5} )+cos( \frac{8\pi}{5} ) + i( sin( \frac{2\pi}{5} )+sin( \frac{4\pi}{5} )+sin( \frac{6\pi}{5} )+sin( \frac{8\pi}{5} )) = 0

    z=s+i(sin(π3π5)+sin(ππ5)+sin(π+π5)+sin(π+3π5))=0z' = s + i ( sin(\pi- \frac{3\pi}{5} )+sin(\pi- \frac{\pi}{5} )+sin(\pi + \frac{\pi}{5} )+sin(\pi + \frac{3\pi}{5} )) =0

    et ensuite les formules de trigo normales



  • oui merci beaucoup j'ai trouvé.
    On trouve que sin(2pi/5)= -sin(8pi/5) donc la somme des 2 s'annule.
    De même sin (4pi/5)= -sin (6pi/5) donc la somme s'annule aussi.

    et on se retrouve avec S=0.

    Merci beaucoup pour cette aide. 😄



  • oui voilà moi aussi je trouve 0
    donc euh finalement ma première réponse était juste XD
    c'était un pressentiment :rolling_eyes: ^^



  • ^^ j'aimerais bien avoir des pressentiments comme ca aussi lol



  • oui c'est très rare en général c'est pour ça que j'en fais la remarque XD
    😉
    tu verras après le bac les mystères de l'univers te seront révélés
    lol



  • lol ca donne envie tout ca



  • Salut, j'ai encore un problème pour une autre question. Il faut montrer que cos(2pipi/5) + cos(8pipi/5) = 4cos24cos^2(pipi/5) -2

    Et moi je ne trouve pas ca en faisant le calcul. j'ai surement du me tromper quelquepart mais je ne sais pas où.

    Voici ce que je trouve :
    S=0 donc cos(2pipi/5) + cos(8pipi/5) = -cos(4pipi/5) -cos(6pipi/5) -1 =-cos(pipi -pipi/5) -cos(pipi +pipi/5) -1 = -cospipicos(pipi/5)-sinpipisin(pipi/5)-cospipicos(pipi/5)+sinpipisin(pipi/5)-1 = -2cospipicos(pipi/5)-1 = 2 cos (pipi/5)-1

    merci à ceux qui pourront m'aider



  • cos(2π/5) + cos(8π/5) = 2 cos²(π/5) + cos ( 2π- 2π/5)

    rappel cos (2a) = 2cos² a -1
    je pense que ça va aller maintenant



  • ah oui merci j'avais totalement oublié ces formules-là merci beaucoup miumiu



  • coucou tout le monde
    dis moi Bbygirl tu trouve donc bien comme valeur :
    cos(π5)=1+54cos(\frac{\pi}{5})=\frac{1+\sqrt{5}}{4} ?



  • je suppose que c'est une autre question ça ?!
    en tout cas ouai c'est sûr que c'est bon ^^



  • je n'ai pas encore terminé l'exercice j'ai d'autres choses à faire avant mais vu que miumiu l'a confirmé, ça doit être le bon résultat.



  • ba oui je suis inspirée par les dieux tout ce que je dis est, par conséquent, forcément vrai ...
    lol
    nan mais tu regardes à la calculatrice ...
    (je viens de casser quelque chose là ?! mdr)


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