besoin d'aide une suite bien compliquée

Bonjour,

J'ai un dm à rendre sur une suite bien compliquée:

Enoncé:

La suite U est définie pour n ≥ 1 par U1 = 2 et la relation, valable pour tout n ≥ 1
$ln(un+1)=12[ln(un)+ln(n(n+1)2)]ln(u_{n+1})=\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})]$

Vérifier que cette suite est effectivement bien définie et que tous ses termes sont inférieurs ou égaux à 2.
on pose pour n ≥ 1, $v_n= nu_{n}$ , puis $w_n=ln(v_n)$

Déterminer la relation entre $V_n$ et $V_{n+1}$ et en déduire que la suite $W_n$ ) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

montrer que la suite $W_n$ ) converge et en déduire que la suite ( $u_{n}$ ) converge vers une limite que l'on précisera.
Calculer la somme $s_{n}=w_1+w_2+...+wn_$

En déduire une expression du produit $p_{n}=v_1v_2...v_n$ , puis une expression du produit $q_{n}=u_1u_2...u_n$
Etudier les limites éventuelles des suites (Sn), (Pn) et (Qn).

J'ai essayé:

$ln(un+1)=12[ln(un)+ln(n(n+1)2)]ln(u_{n+1})=\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})]$ est définie sur ]-1;+00[

car $ln(u_{n+1})$ est définie sur ]-1;+00[ et que $U_n$ ≠ -1
$ln(u_n$ ) est défini sur ]0;+00[.

Pour un entier naturel quelconque, soit la propriété P(n):

" ln( $un+1)=12[ln(un)+ln(n(n+1)2)]u_{n+1})=\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})]$ ".

Initialisation: au rang n=1
ln( $u1+1)=12[ln(u1)+ln(1(1+1)2)]u_{1+1})=\frac{1}{2}[ln(u_1)+ln(\frac{1}{(1+1)^2})]$
ln( $u2)=12[ln(2)+ln(14)]u_{2})=\frac{1}{2}[ln(2)+ln(\frac{1}{4})]$
ln( $u2)=12[ln(1(2))]u_{2})=\frac{1}{2}[ln(\frac{1}{(2)})]$
ln( $u_{2}$ )environ egal-0,34

Donc $ln(u_2$ ) est bien strictement inférieur à 2
Donc "ln( $un+1)=12[ln(un)+ln(n(n+1)2)]u_{n+1})=\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})]$ " est vraie.

Transmissibilité:
Soit n un entier naturel quelconque; supposons P(n) vraie, c'est-à-dire ln( $un+1)=12[ln(un)+ln(n(n+1)2)]u_{n+1})=\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})]$ ; par hypothèse:

n ≥ 1
n+1 ≥ 2
(n+1)² ≥ 4
$1(n+1)2\frac{1}{(n+1)^2}$ ≤ $14\frac{1}{4}$
$n(n+1)2\frac{n}{(n+1)^2}$ ≤ $14\frac{1}{4}$
ln( $1(n+1)2\frac{1}{(n+1)^2}$ ) ≤ ln( $14\frac{1}{4}$ )
ln(un)+ln( $1(n+1)2\frac{1}{(n+1)^2}$ ) ≤ ln( $14\frac{1}{4}$ )+ln(2)
$12[ln(un)+ln(n(n+1)2)]\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})]$ ≤ 1/2[ln( $14\frac{1}{4}$ )+ln(2)]

Donc ln( $u_{n+1}$ ) ≤ -0,34

Donc P(n+1) est vraie.

Conclusion: Par le principe de récurrence, la propriété P(n):
"ln( $un+1)=12[ln(un)+ln(n(n+1)2)]u_{n+1})=\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})]$ " est donc vraie pour tout entier naturel n.
Est-ce que c'est bon?

2)J'ai essayé d'utiliser ma méthode mais je ne parviens pas

n ≥ 1

Vn= n $u_{n}$

$v_{n+1}=(n+1)u_{n+1}$

$v_{n+1}=n u_{n+1}(n+1)+u_{n+1}$

là je bloque et

$W$ {n+1} $W_n$ = $l n (V$ {n+1} $ln(V_n$ ) = $l n (n U$ {n+1} $+ U$ {n+1} $ln(nU_n$ ).

car je n'arrive pas à trouver les résultats de ceci:

Vn= n $u_{n}$

$v_{n+1}=(n+1)u_{n+1}$
$v_{n+1}=n u_{n+1}(n+1)+u_{n+1}$ :frowning2:

Merci de votre aide

Léina

Intervention de Zorro = modif pour que le tout soit plus lisible (≥ et ≤ ) , aération du texte , mise en indice en dehors du LaTex et correction des erreurs d'affichage venant du symbole inférieur

Bonjour,

Pour la 1 je pense que ta démonstration de l'existence de $U_n$ pour tout n ≥ 1 est à revoir. En effet ta démonstration ne tient pas debout.

$U_{n+1}$ existe si et seulement si $ln(un)+ln(n(n+1)2)ln(u_n)+ln\left({\frac{n}{(n+1)^2}}\right)$ existe

donc il faut que $,ln(n(n+1)2)\text{ln}(u_n) ,\text{ et }, \text{ln}\left({\frac{n}{(n+1)^2}}\right)$ existent

Rappelons que ln(x) existe si et seulment si x > 0

pour le 2ème terme c'est évident $n(n+1)2\frac{n}{(n+1)^2}$ existe (n ≠ -1) et est bien un nombre positif

Pour le premier il faut montrer que $u_n$ est toujours positif quelque soit n ≥ 1

Je te laisse le soin de le faire.

Dans ta récurrence pour démontrer que pour tout n ≥1 alors $U_n$ ≤ 2 , il y a un passage qui me semble bizarre : quand tu multiplies à la 4ème ligne le terme de gauche par n et pas celui de droite !

Pour la suite je regarderai plus tard car vue l'heure tardive, je risquerais de faire des erreurs dues à la fatigue.