besoin d'aide une suite bien compliquée



  • Bonjour,

    J'ai un dm à rendre sur une suite bien compliquée:

    Enoncé:

    La suite U est définie pour n ≥ 1 par U1 = 2 et la relation, valable pour tout n ≥ 1
    ln(un+1)=12[ln(un)+ln(n(n+1)2)]ln(u_{n+1})=\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})]

    1. Vérifier que cette suite est effectivement bien définie et que tous ses termes sont inférieurs ou égaux à 2.
    2. on pose pour n ≥ 1, vn=nunv_n= nu_{n}, puis wn=ln(vn)w_n=ln(v_n)

    Déterminer la relation entre VnV_n et Vn+1V_{n+1} et en déduire que la suite (Wn(W_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

    1. montrer que la suite (Wn(W_n) converge et en déduire que la suite (unu_{n}) converge vers une limite que l'on précisera.

    2. Calculer la somme $s_{n}=w_1+w_2+...+wn_$

    En déduire une expression du produit pn=v1v2...vnp_{n}=v_1v_2...v_n, puis une expression du produit qn=u1u2...unq_{n}=u_1u_2...u_n
    Etudier les limites éventuelles des suites (Sn), (Pn) et (Qn).

    J'ai essayé:

    1. ln(un+1)=12[ln(un)+ln(n(n+1)2)]ln(u_{n+1})=\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})] est définie sur ]-1;+00[

    car ln(un+1)ln(u_{n+1}) est définie sur ]-1;+00[ et que UnU_n ≠ -1
    ln(unln(u_n) est défini sur ]0;+00[.

    Pour un entier naturel quelconque, soit la propriété P(n):

    " ln(un+1)=12[ln(un)+ln(n(n+1)2)]u_{n+1})=\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})] ".

    Initialisation: au rang n=1
    ln(u1+1)=12[ln(u1)+ln(1(1+1)2)]u_{1+1})=\frac{1}{2}[ln(u_1)+ln(\frac{1}{(1+1)^2})]
    ln(u2)=12[ln(2)+ln(14)]u_{2})=\frac{1}{2}[ln(2)+ln(\frac{1}{4})]
    ln(u2)=12[ln(1(2))]u_{2})=\frac{1}{2}[ln(\frac{1}{(2)})]
    ln(u2u_{2})environ egal-0,34

    Donc ln(u2ln(u_2) est bien strictement inférieur à 2
    Donc "ln(un+1)=12[ln(un)+ln(n(n+1)2)]u_{n+1})=\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})] " est vraie.

    Transmissibilité:
    Soit n un entier naturel quelconque; supposons P(n) vraie, c'est-à-dire ln(un+1)=12[ln(un)+ln(n(n+1)2)]u_{n+1})=\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})] ; par hypothèse:

    n ≥ 1
    n+1 ≥ 2
    (n+1)² ≥ 4
    1(n+1)2\frac{1}{(n+1)^2}14\frac{1}{4}
    n(n+1)2\frac{n}{(n+1)^2}14\frac{1}{4}
    ln(1(n+1)2\frac{1}{(n+1)^2}) ≤ ln(14\frac{1}{4})
    ln(un)+ln(1(n+1)2\frac{1}{(n+1)^2}) ≤ ln(14\frac{1}{4})+ln(2)
    12[ln(un)+ln(n(n+1)2)]\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})] ≤ 1/2[ln(14\frac{1}{4})+ln(2)]

    Donc ln(un+1u_{n+1}) ≤ -0,34

    Donc P(n+1) est vraie.

    Conclusion: Par le principe de récurrence, la propriété P(n):
    "ln(un+1)=12[ln(un)+ln(n(n+1)2)]u_{n+1})=\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})] " est donc vraie pour tout entier naturel n.
    Est-ce que c'est bon?

    2)J'ai essayé d'utiliser ma méthode mais je ne parviens pas

    n ≥ 1

    Vn= nunu_{n}

    vn+1=(n+1)un+1v_{n+1}=(n+1)u_{n+1}

    vn+1=nun+1(n+1)+un+1v_{n+1}=n u_{n+1}(n+1)+u_{n+1}

    là je bloque et

    WW{n+1}/Wn/W_n = ln(Vln(V{n+1})/ln(Vn)/ln(V_n) = ln(nUln(nU{n+1}+U+U{n+1})/ln(nUn)/ln(nU_n).

    car je n'arrive pas à trouver les résultats de ceci:

    Vn= nunu_{n}

    vn+1=(n+1)un+1v_{n+1}=(n+1)u_{n+1}
    vn+1=nun+1(n+1)+un+1v_{n+1}=n u_{n+1}(n+1)+u_{n+1} :frowning2:

    Merci de votre aide

    Léina

    Intervention de Zorro = modif pour que le tout soit plus lisible (≥ et ≤ ) , aération du texte , mise en indice en dehors du LaTex et correction des erreurs d'affichage venant du symbole inférieur



  • Bonjour,

    Pour la 1 je pense que ta démonstration de l'existence de UnU_n pour tout n ≥ 1 est à revoir. En effet ta démonstration ne tient pas debout.

    Un+1U_{n+1} existe si et seulement si ln(un)+ln(n(n+1)2)ln(u_n)+ln\left({\frac{n}{(n+1)^2}}\right) existe

    donc il faut que ln(un), et ,ln(n(n+1)2)\text{ln}(u_n) ,\text{ et }, \text{ln}\left({\frac{n}{(n+1)^2}}\right) existent

    Rappelons que ln(x) existe si et seulment si x > 0

    pour le 2ème terme c'est évident n(n+1)2\frac{n}{(n+1)^2} existe (n ≠ -1) et est bien un nombre positif

    Pour le premier il faut montrer que unu_n est toujours positif quelque soit n ≥ 1

    Je te laisse le soin de le faire.

    Dans ta récurrence pour démontrer que pour tout n ≥1 alors UnU_n ≤ 2 , il y a un passage qui me semble bizarre : quand tu multiplies à la 4ème ligne le terme de gauche par n et pas celui de droite !

    Pour la suite je regarderai plus tard car vue l'heure tardive, je risquerais de faire des erreurs dues à la fatigue.


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