exercice sur polynôme, avec une inconnue auxiliaire...

Coucou!! j'ai un petit probleme avec cet exercice, je ne sais plus quoi faire a partir d'un certain point...
Voici l'énoncé:
Soit P(x) le polynôme défini par P(x)= $4x^4$ -9x² + 2
Utiliser une inconnue auxiliaire X=x² pour montrer que P(x) peut se factoriser en produit de polynômes du premier degré.

Je remplace dans P(x), X a la place de x² ainsi
P(x) = $4x^4$ – 9 x² + 2 devient P(x) = 4X² - 9 X + 2
Mon nouveau P(x) est sous la forme d’un trinôme du second degré.

Je cherche le discriminant
= b² - 4ac
= (-9)² -4 x 4 x 2
= 49

Il y a ainsi deux solutions

x1 = -b + racine du discriminant / 2a
x1 = 9 + 7 / 8
x1 = 2

x2 = -b – racine du discriminant / 2a
x2 = 9 – 7 / 8
x2 = 1 / 4

En factorisant je trouve, 4 ( x – 2) ( x – ¼)

Mais a partir de la je ne sais pas quoi faire….

Salut,
Déjà, tout ton raisonnement est bien fait, seulement il ne faut pas oublier que les solutions que tu trouves sont des X1 et X2.

Tu as donc pour résumer, les solutions de P(X)=0 qui sont :
X1 = 2 et X2= 1/4.

Or, tu as posé au début que $X=x^2$

Tu te retrouves donc avec $x^2$ =2 ou $x^2$ =1/4.

A partir de cela tu devrais trouver 4 solutions à ton équation de départ qui est $4 x$ ^4 $9x^2$ +2=0.

Peux tu nous dire ce que tu trouves?

Bonjour

Tu te mélanges les pinceaux avec tes x et X

C'est P(X) = 4X² - 9 X + 2 = 4 (X – 2) (X – ¼)

or X = ???

tu remplaces X par ce qu'il faut et tu utilises une identité remarquable archi connue qui permet de factoriser !

Bon je vais te laisser avec Bbygirl parce qu'il faut que je parte

Zorro

C'est P(X) = 4X² - 9 X + 2 = 4 (X – 2) (X – ¼)

or X = ???

tu remplaces X par ce qu'il faut et tu utilises une identité remarquable archi connue qui permet de factoriser !

Pfff je ne sais pas comment remplacer X, je ne sais pas comment faire

trouves d'abord les solutions de $x^2$ =2 et de $x^2$ =1/4

Et ensuite tu trouveras ce qu'il faut.

$x^2$ =2 équivaut à x= $s q r t$ 2 ou x=- $s q r t$ 2

et pour $x^2$ =1/4 ??

x² = 1/4 équivaut à x = 1/2 ou x = - 1/2

coucou
oui c'est bon
donc pour conclure
les solutions sont ...

Donc x a 4 solutions S = { -√2 ; -1/2 ; 1/2 ; √2}

ouai ^^

Merci bcp !!

cool de rien
vive les polynômes !! n'est-ce pas Jerry

Donc finalement la question était... Utiliser une inconnue auxiliaire X=x² pour montrer que P(x) peut se factoriser en produit de polynômes du premier degré.
Je comprends tout ce qu'on a fait précédemment pour trouver les solutions mais maintenant je ne comprends la factorisation ...
S'il vous plait, aidez moi :frowning2:

re
définition
si a est une racine du polynôme p(x)
(si p(a) = 0) on peut mettre le polynôme sous la forme d'un produit dont (x - a) est l'un des facteurs
P(x) = (x- a) . g(x)

on a ici un polynome de degré 4 avec 4 racines distinctes donc tu vas pouvoir (avec les racines) faire une forme factorisée avec seulement des polynomes du premier degré^^

alors je pense que ça doit ca...

p(X) = 4X² - 9 X + 2 = 4 (X – 2) (X – ¼)
p(x) = $4x^4$ - 9 x²+ 2 = 4 (x² – 2) (x² – ¼)

Ainsi p(x) = 4 [(x-√2) (x + √2)] [(x - 1/2) (x + 1/2)]

tu peux directement mettre la dernière ligne

sinon si tu veux mettre tes deux première lignes ce serait mieux de mettre des numéros aux X parce qu'on pourrait croire que ce sont les mêmes ...

je vais direcetement mettre la dernière ligne
donc pour récapituler... ^^

Soit P(x) le polynôme défini par P(x)= $4x^4$ -9x² + 2
Utiliser une inconnue auxiliaire X=x² pour montrer que P(x) peut se factoriser en produit de polynômes du premier degré.

Je remplace dans P(x), X a la place de x² ainsi
P(x) = $4x^4$ – 9 x² + 2 devient P(X) = 4X² - 9 X + 2
P(X) est sous la forme d’un trinôme du second degré.

Je cherche le discriminant
= b² - 4ac
= (-9)² -4 x 4 x 2
= 49

Il y a ainsi deux racines

X1 = -b + racine du discriminant / 2a
X1 = 9 + 7 / 8
X1 = 2

X2 = -b – racine du discriminant / 2a
X2 = 9 – 7 / 8
X2 = 1 / 4

Je trouve donc comme solutions X1=x²=2 et X2=x²=1/4

x²=2 équivaut à x= √2 ou x=- √2
de même x² = ¼ équivaut à x = 1/2 ou x = - ½

De ce fait x a 4 racines qui sont:
x1=-√2
x2= -1/2
x3=1/2
x4=√2

Ainsi P(x) peut se factoriser en produit de polynômes du premier degré,
P(x) = $4x^4$ - 9x² + 2 = 4 [(x-√2) (x + √2)] [(x - 1/2) (x + 1/2)]

Voilà c'est exact .

Merci bcp pour toutes ces explications ! Ca m'a vraiment aidé pour mon devoir, grace a vous je peux comprendre et apprendre avec bcp de plaisir !
Je vais venir souvent maintenant !!

@@+++
XxX

re
" Je remplace dans P(x), X a la place de x² ainsi "
cette phrase me gène un peu je pense que l'idée est bonne mais bon si tu pouvais la remodeler ...
de même tu n'écris pas "discriminant" dans ta copie hein ?! tu mets √49
++++

Oups ... ben trop tard tampis pour la phrase... la prof comprendra que je manque un peu d'expérience ^^

Sinon pour le discriminant il n'y a pas de prob j'ai mis le symbole ^^

Merci bcp miumiu et à plus tard !!@@+++

lol ^^
@+++

Coucou !!
Merci bcp !! grace à vous j'ai eu 17,5 à mon Devoir !!
Bizz @@ ++
Berry

ah génial ^^ la prochaine fois t'auras 20