approximation de e

coucou, pouvez-vous m'aider pour l'exercice suivant? merci beaucoup

Approximation de e

On considère, pour n entier naturel, la fonction $f_n$ définie sur R par :

$fn(x)=∑k=0nxkk!=1+x1!+x22!+...+xnn!f_n(x) = \sum_{k=0}^{n} {\frac{x^k}{k!}} = 1+ \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!}$

Vérifier que $f_n(0)=1$ et que, pour tout $n$ appartenant à N, $f_n'=f_{n-1}$

On considère, pour $n$ entier naturel, la fonction $g_n$ définie sur R par $gn(x)=e−x×fn(x)g_n(x) = e^{-x} \times f_n(x)$

Vérifier que $g_n(0)=1$ et que, pour tout $n$ appartenant à N:

$gn′(x)=e−x×xnn!g_n'(x)=e^{-x}\times \frac{x^n}{n!}$

En déduire que, pour tout réel positif $x$ , $g_n(x)$ supérieur ou égale à 1

On considère, pour $n$ entier naturel, la fonction $h_n$ définie sur R par:

$h_n(x)=g_n(x) - \frac{x^{n+1}}{(n+1)!$

Vérifier que $h_n(0)=1$ et que, pour tout n appartenant à N,

$hn′(x)=(e−x−1)(xnn!)h_n'(x)=(e^{-x}-1)(\frac{x^n}{n!})$

En déduire que, pour tout réel positif $x$ , $h_n(x)$ inférieur ou égale à 1 puis que $g_n(x)$ est inférieur ou égale à

$1+xn+1(n+1)!1+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$

De ce qui précède, déduire que, pour tout réel positif $x$ ,

$lim⁡x→+∞gn(x)=1\lim _{x \rightarrow {+} \infty}g_n(x) = 1$ et que ,

$lim⁡x→+∞fn(x)=ex\lim _{x \rightarrow {+} \infty}f_n(x) = e^x$

Déterminer la limite de la suite

$f_n(1) =\sum_{k=0}^{n} {\frac{1}{k!} = 1+ \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} +... + \frac{1^n}{n!}$

Comparer $f_{10} (1)$ et $e$

Bonjour,

Depuis que tu passes par ce forum tu sais qu'on ne fera pas ton exo à ta place !

Il faut que tu nous dises ce que tu as cherché et trouvé et ce que tu n'as pas trouvé et alors pourquoi ?

coucou
bon voilà j'ai remodelé tout ton post ... dis moi si je n'ai pas fait de fautes s'il te plait ...
au fait on dit
"somme pour k allant de 0 à n" et non" somme de n à k=0"

Désolé Zorro, d'avoir oublié de marquer ce que j'avais déjà fait mais promis, je le marquerais demain car, là je n'ai pas le temps, il faut que j'aille me coucher.

Merci miumiu d'avoir modifié le post, c'est juste ce que tu as fais, je suis désolé que tu ai dû le faire mais, je n'arrives toujours pas à utiliser latex, il faut dire que je n'ai pas trop le temps de comprendre comment l'utiliser surtout avec tous ces termes différents qui en plus sont en anglais. :rolling_eyes:

lol nan il suffit de cliquer dans "visualisateur LaTeX" et de regarder ce qu'on te met c'est très facil il suffit de faire copier collé ...
colonne de gauche

http://www.mathforu.com/math-10.html

Coucou, alors, j'ai fait la question 1.
Pour la question 2, je pense que le prof s'est trompé dans l'énoncé car, je pense qu'il a oublié le signe - dans le résultat de Gn'(x) donc, je pense qu'il faut par conséquent en déduire que Gn(x) est inférieur ou égale à 1 et non l'inverse mais, je ne sais pas trop comment faire.
Pour la question 3, j'ai j'ai réussi à vérifier (bien évidemment, j'ai corrigé la faute que le prof a dû faire dans la question précédente) mais, je n'arrive pas à faire les déductions, j'ai une petite idée pour Hn(x) inférieure ou égale à 1 mais, je ne sais pas vraiment l'expliquer en le réécrivant.
Par contre, je n'arrive pas à faire les questions 4 et 5.

oui je pense qu'il manque un - dans la dérivée aussi
qu'est ce que tu ne comprends pas dans le 2 ?!

ben, je ne sais pas trop comment déduire que Gn(x) est supérieure ou égale à 1, cela me parait bizarre

ok
alors en fait tu as raison je pense vraiment qu'il manque un - dans la dérivée
donc $g_n$ est strictement décroissante

de plus $g_n(0) = 1$
pour $x$ positif

$e^{-x}$ strictement positif

$f_n(x)$ strictement positif aussi

donc $g_n(x)$ strictement positif

alors on peut dire que $g_n(x)$ ....

donc, Gn(x) est supérieur ou égale à 1
ok, merci, en faite, c'est ce que je pensais mais, je croyais que c'était faux

pour le reste, j'espère que l'on pourra voir cela demain soir ou dimanche car là, je vais dormir merci et bonne nuit

nan nan
je viens de te dire que $g_n(x)$ est strictement
décroissante!!!
donc moi je dirais que $g_n(x)$ compris entre 0 et 1 ...
ok on verra tout ça demain si tu veux

Désolé, je m'étais trompée c'est logique que Gn(x) soit décroissante, qu'est ce que je peux être bête parfois donc, le premier truc auxquel je pensais était bel et bien faux. :frowning2:, je m'étais un peu embrouillée l'esprit :rolling_eyes:

J'aurais bien continuer l'exercice mais, je suis obligée d'éteindre l'ordinateur :frowning2: car, demain, j'ai une journée chargée (cours + journée des carrières et des formations pour essayer de voir quelle orientation je vais faire + musique) donc, je te dis dis à demain (soir) pour la suite, désolé de te déranger et je te souhaite une bonne nuit.

t'inquiète ^^
bonne nuit et bonne chance pour demain
+++

Coucou, alors pour la question 3, je n'arrive toujours pas à expliquer la dernière partie de la question, peux-tu m'aider s'il te plaît? merci

coucou
tu as vérifié si cette fois encore il y a un problème de signe dans la dérivée ?! il me semble ...

Oui, il y a encore une erreur dans la dérivée. Le résultat est
Hn'(x)=(-e^(-x)-1)(x^n/n!)

ouai je trouve comme toi
donc tu prouves que la dérivée est négative donc la fonction strictement décroissante pour $x$ positif
or tu connais $h_n(0)$

et pour la fin de la question tu utilises l'expression de départ de $h_n(x)$