3. DM sur les équations differentielles

DM sur les équations differentielles

  • S

    bonjour, j'ai un probleme pour mon devoir maison à partir de la question 3)

    On considère les deux équations différentielles suivantes :
    (E) : y' - 2y = e2xe^{2x}e2x et (H) : y'-2y=0

    1. Résoudre l'équation (H)
      les solutions sont les fonctions Ce2xCe^{2x}Ce2x

    2. Vérifier que la fonction g définie sur R par g(x) = xe2xxe^{2x}xe2x est une solution de (E)

    2g(x) = 2xe2x2xe^{2x}2xe2x et g'(x) = 2xe2x2xe^{2x}2xe2x dc g est solution de (E)

    1. Démontrer que : f+g est solution de (E) si et seulement si f est solution de (H)

    2. En déduire les solutions de (E)

    5)Quelle est la solution h de (E) telle que h(1)=0

    Desolée mais différentielles avec un "c" cela me faisait trop mal aux yeux ! = signé Zorro

    B 1 réponse
  • B

    Salut
    Pour ta question 2, g(x)=2xe2xg(x)=2xe^{2x}g(x)=2xe2x est bien solution de (E) mais fais attention g'(x)=2xe2x(x)=2xe^{2x}(x)=2xe2x
    +e^{2x}etet et2g(x)+e2x^{2x}2x=2xe2x^{2x}2x+e^{2x}$

    Pour la question 3), c'est une équivalence que l'on te demande de démontrer donc il faut faire la démonstration dans les 2 sens.

    je vais t'aider pour le premier sens et normalement tu pourras faire l'autre sens sans problème.

    Alors, si f est solution de (H), tu as f'(x)=2f(x)
    Donc, (Ce2x(Ce^{2x}(Ce2x)'=2(Ce2x=2(Ce^{2x}=2(Ce2x)

    f(x)+g(x)=Cef(x)+g(x)=Cef(x)+g(x)=Ce^{2x}+xe2x+xe^{2x}+xe2x
    (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)=2Ce(x)=2Ce(x)=2Ce^{2x}+2xe+2xe+2xe^{2x}+e+e+e^{2x}=2(f(x)+g(x))+e2x=2(f(x)+g(x))+e^{2x}=2(f(x)+g(x))+e2x

    Donc, si f est solution de (H), alors f+g est solution de (E).

    Voilà le 1er sens, maintenant il te faut montrer que si f+g est solution de (E), alors f est solution de (H).
    Ainsi, tu auras démontré l'équivalence.

    S 1 réponse
  • S

    Merci beaucoup

    dans l'autre sens ça donne donc:
    si f+g est solution de (E):
    (f(x)+g(x))'=2(f(x)+g(x))+e2x=2(f(x)+g(x))+e^{2x}=2(f(x)+g(x))+e2x
    f(x)'+e+e+e^{2x}+2xe+2xe+2xe^{2x}=2f(x)+2xe=2f(x)+2xe=2f(x)+2xe^{2x}+e2x+e^{2x}+e2x
    f(x)'=2f(x)

    1. les solutions de (E) sont donc Ce2xCe^{2x}Ce2x + xe2xxe^{2x}xe2x et xe2xxe^{2x}xe2x c'est bien cela?
    B 1 réponse
  • B

    Voilà pour l'autre sens c'est parfait.

    Les solutions de (E) sont juste les fonctions u(x)=Ceu(x)=Ceu(x)=Ce^{2x}+xe2x+xe^{2x}+xe2x où C est une constante réelle.

    car si tu prends C=0, u(x)=xe2xu(x)=xe^{2x}u(x)=xe2x donc ce n'est pas la peine d'en parler car c'est un cas particulier.

    S 1 réponse
  • S

    merci

    Pour la question 4) j'ai trouvé :

    h(1)=0 si :
    Ce² + e²=0
    Ce² = -e²
    C = -1
    dc la solution h de (E) tel que h(1)=0 est h(x)=xeh(x)=xeh(x)=xe^{2x}−e2x-e^{2x}−e2x
    c'est bien cela?

    M 1 réponse
  • M

    oui
    tu peux même factoriser par e−2xe^{-2x}e−2x

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