Distance d'un point à une parabole

[Lora*]

Bonjour,

Je vous donne l'énoncé complet de l'exercice mais je n'ai juste pas réussi à faire la question 3b) et c). Si vous pouviez me donner quelques pistes svp?

Dans un repère orthonormal (O,i,j), P est la parabole d'équation y=x² et A le point de coordonnées (2;0). Le but de l'exercice est de trouver Msur P tel que AM soit minimale.
Notons x l'abscisse d'un point M de P.
$a{m}^2=x^4+x^2-4x+4$

1.f est la fonction définie sur R par:

$f(x)=x^4+x^2-4x+4$
Justifier que f'(x) est du signe de $2x^3+x-2.$

2.On note g la fonction définie sur R par:
$g(x)=2x^3+x-2$
a)Etudiez les variations de g et dressez son tableau de variations.
b)Démontrez que l'equation g(x)=0 admet une unique solution a et que
$0 < a < 1.$

3a)Déduisez, de ce qui précède, les variations de f et dressez son tableau de variations.
b)Démontrez alors qu'il existe un seul point Mo de P d'abscisse a pour lequel la distance AMo est minimale.
c)Démontrez que la tangente à P en Mo est perpendiculaire à la droite (AMo)

Merci d'avance
Bonne journée
Lora.

miumiu : pense a mettre des espaces la prochaine fois pour éviter les problèmes d'affichage^^

[miumiu]

coucou
bienvenue !!
tu sais que quand la dérivée s'annule tu as une tangente horizontale ?!
une fois que tu as regardé ton tableau de variations
tu peux dire que les points où la dérivée s'annulent sont les extrema(minima et maxima) de la fonction .

[Lora*]

Je ne vois pas trop où vous voulez en venir, pouvez vous plus détaillé?
merci

[miumiu]

ok
alors nous sommes à la 3.b)

Démontrez alors qu'il existe un seul point Mo de P d'abscisse a pour lequel la distance AMo est minimale.

bon alors nous on a étudier la fonction $f(x)=a{m}^2$
nous on s'interesse a AM mais puisque la fonction racine carrée est strictment croissante on peut ne s'interesser qu'au tableau de f

tu as calculé les le point où la dérivée s'annule
ok ?!
ensuite
tu as dû voir un théorème du genre

théorème

f est une fonction dérivable sur l'intervalle $]a;b[.$ $x_0$ est un réel de cet intervalle.

Si $f$ admet un maximum ou un minimum local en $x_0$ alors $f^{\prime }(x0)=0.$

[Lora*]

Je sais que la dérivée s'annule en 0<alpha<1 sur cet intervalle. Donc je fais quoi avec cela?

[Lora*]

excusez moi!
Je sais que la dérivée s'annule en 0<α<1.
Et je fais quoi avec cela?

[miumiu]

la dérivée s'annule en α donc c'est en α que tu as l'extremum ensuite tu regardes ton tableau de variation si pour x > α on a f(x) > f( α ) alors c'est un minimum
il te reste à calculer f( α ) pour avoir la distance minimal AM

[Lora*]

Mais comment je peux calculer f(α ) alors que je sais juste que 0<α<1 svp?

[miumiu]

a oui excuse en fait on ne te demande pas de la calculer (je pensais que t'avais dû donné un arrondi de α précédemment :D) on te demande juste de prouver qu'il n'y en a qu'un donc vu que la dérivée ne s'annule qu'une seule fois et vu ton tabeau de variation tu peux dire qu'il n'y qu'un minimum

ok ?!

[Lora*]

le minimum c'est α non?

[miumiu]

le minimum on l'a pour x=α
le minimum c'est f(α )
nuance...