Les vecteurs de l'espace



  • Bonjour,

    j'ai un exercice à résoudre pour demain où il faut trouver une démonstration. J'aimerais savoir si vous pouviez m'aider.
    Voilà l'énoncé:
    ABCD est un tétraèdre. On pose vecteur u= vecteur AD+ vecteur AC et vecteur v= vecteur BC+vecteur BD.
    Démontrer que la droite delta, définie par le point A et le vecteur u, et la droite delta prime, définie par le point B et le vecteur v, sont sécantes.

    J'ai essayer de procédé à l'envers pour trouver une solution.
    Sécantes, donc les vecteurs ne doivent pas être colinéaires. Donc, soit ils n'ont pas la même direction, soit u ≠ kv.
    Mais là, je bloque parce que je ne sais pas du tout si c'est ça et si c'est ça, je ne sais pas vraiment dans quel sens continuer...
    Pour prouver qu'ils ne sont pas colinéaires, il faudrait que les points ne soient pas alignés, mais pour prouver cela, il faut utiliser que trois points...
    je ne sais pas vraiment quel chemin suivre...

    Merci pour votre aide!


  • Modérateurs

    Salut.

    Euh... vu que l'on est dans l'espace, montrer qu'elles ne sont pas colinéaires ne va pas suffire.

    En faisant un beau dessin, on se rend compte que les droites ont l'air de se couper au milieu de [DC], non ? Peut-être pourrais-tu essayer de justifier que les 2 droites en question passent par ce point.

    @+



  • Merci. En utilisant le milieu de [DC] que j'ai appelé E et avec les égalités vectorielles et en considérant le segment [AM] et [BN], ça donne:
    AN=AC +AD
    AC+CN= AC+AD
    CN= AD
    CE+EN=AE+ED
    CE et ED faisant la moitié de CD, cela donne AE=EN

    Puis, BN=BC+BD
    BC+CN=BC+BD
    CN=BD
    CE+EN=BE+ED
    d'où EN= BE

    Sauf que... Le milieu de [DC], il faut le prouver d'abord, non? Et puis comme se sont des droites, est-ce que j'ai le droit des les limiter au segment [AM] et [BN]?

    Merci...


  • Modérateurs

    Salut.

    Moi j'aurais juste évoqué une petite propriété sur les diagonales d'un parallélogramme, ça se résout en 2 lignes.

    [AM] est inclus dans la droite (AM), donc si un point appartient à [AM], il appartient à (AM).

    @+



  • coucou
    alors je ne sais pas je pense que tu te prends la tête pour pas grand chose la droite (AM) coupe le segment [DC] en son milieu E (je pense que c'est à M que tu pensais dans ton premier calcul ...) la droite (BN) coupe le segment [DC] en son milieu E les droites (AM) et (BN) ne sont pas confondues donc elles sont sécantes en E



  • Merci beaucoup pour vos réponses. En fait, c'est vrai que ce n'est pas très compliqué, mais comme en ce moment on fait surtout des propriétés de colinéarité et de coplanaire, j'ai chercher plus compliqué que la réalité...
    c'est pas grave, maintenant c'est résolu^^

    Merci encore 🙂


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