Exercice sur les fonctions !!

Coucou !! C'est encore moi !!!! voici un deuxieme exercice sur les fonctions !! j'espere que cette fois mes réponses seront meilleurs !

Voici l'énoncé:

Soit la fonction $\frac{2x+1}{x+2}$

1)Quel est l'ensemble de définition $D f$ de $f$ ?

2)Montrer que,pour tout $x$ de $D f$ ,

$\frac{3}{x+2}$

3)Montrer que $f$ est croissante sur ]-∞;-2[ et sur ]-2;+∞[ .

4)Dans un repère orthonormal $(O;i⃗;j⃗)(O;\vec{i}; \vec{j} )$ on a construit la courbe représentative de $f$ .

(donc la courbe est sur le livre mais je n'ai pas réussi à scaner !)

5)Résoudre graphiquement l'inéquation $2x+1x+2≥2\frac{2x+1}{x+2}\ge 2$
Justifier la réponse.

Alors voici mes réponses:
1)Pour l'ensemble de définition j'ai fait:f est définie si $x+2≠0x+2\ne 0$ et si $\ge 0$

$x≠−2x\ne -2$ et $\ge \frac{-1}{2}.$ L'ensemble de définition de $f$ est ]-2;-1/2[ .

2)Je n'ai pas compris la 2em question !!

3)j'ai mis: f est croissante sur ]-∞;-2[ signifie que pour tout couple (u;v) de]-∞;-2[
$u≤vu\le v$ $\le f(v)$

soient u et v des réels positifs : $u≤vu\le v$

$f(v)-f(u) =v^2-u^2$

$f (v) - f (u) = (v + u) (v - u)$

$u≤vu\le v$ donc $v−u≥0v-u\ge 0$

$u≥0u\ge 0$ et $v≥0v\ge 0$ donc $u+v≥0u+v\ge 0$

donc $\ge 0$

donc $f(v)−f(u)≥0f(v)-f(u)\ge 0$

d'où $f(v)≥f(u)f(v)\ge f(u)$

Voila j'espere que c'est ca !!

je n'ai pas compris la question !!

miumiu : j'ai mis ton post en LaTeX malgré le fait que tu n'aies pas mis de parenthèses pour les fractions donc je me suis bien amusée pour tout deviner ... et puis j'ai aussi aéré ton post ... c'est mieux ?!

coucou
dis moi s'il te plait si mes modifications sont bonnes ...
merci
si c'est la bonne fonction je ne comprends pas pourquoi dans l'ensemble de définition tu insistes pour que le numérateur soit positif ...

Salut, alors pour la question 1, la seule condition à poser est que le dénominateur est non nul. Pour que ta fonction soit définie, tu n'as pas besoin que le numérateur soit positif .il faut donc revoir l'ensemble de définition de f.

Alors pour la question 2, on te demande de montrer que pour tout x appartenant à Df, ta fonction f peut s'écrire f(x)=2- 3/(x+2). Pour cela, essaie de tout mettre au même dénominateur et tu devrais retomber sur (2x+1)/(x+2).

Pour la question 3, ta réponse est fausse. Essaies de calculer la dérivée de f.

Commence d'abord par faire tout ceci et on verra pour la suite après.

coucou !! tes modifications sont bonnes !!merci pour avoir un peu aéré la page!!
alors j'ai refait la question 1 et j'ai mis:
x+2≠0 donc l'ensemble de définition de la fonction f est ]2;+∞[ .
c'est ca ?
Pour la question 2 en mettant tout au même dénominateur je trouve -2/x+2!!!
et pour la question 3 je n'ai pas encore appris ce que c'est que la dérivée !! :rolling_eyes: :rolling_eyes:

Alors ok, pour l'ensemble de définition ce n'est toujours pas ca. x+2 différent de 0 te donnes x différent de -2. Donc x peut prendre toutes les valeurs sur R sauf -2. Peux-tu maintenant réécrire le bon ensemble de définition ?

Ensuite pour la question 2 je vais le faire avec toi, tu as du faire une erreur de calcul.

Donc,pour tout x appartenant à Df, 2 -3/(x+2)=(2(x+2)-3)/(x+2)=(2x+4-3)/(x+2)=(2x+1)/(x+2)=f(x)
As-tu compris?

Pour la question 3 excuse moi je n'ai pas pensé que tu ne savais pas encore calculer une dérivée. je suis désolée.
Il faut que tu fasses un tableau de signe de la fonction (2x+1)/(x+2) pour voir quand est ce que ce quotient est positif , négatif, ou nul. Je pense que tu dois savoir faire un tableau de signes.

Au cas où je te réexplique le principe :
tu dois déterminer pour quelle valeur 2x+1=0
puis pour quelle valeur x+2=0 (qui sera une valeur interdite dans ton tableau)
Et ensuite déterminer le signe du quotient grâce à la règle sur les signes.

alors pour l'ensemble de définition je pense que c'est [-2;+∞[ !! j'espere que c'est ca cette fois ci !
Pour la 2em question j'ai compris merci , et en effet j'avais fais une grosse erreur de calcul !!
Oui je sais faire un tableau de signes cependant je suis pas sure d'avoir tres bien compris la démarche, voila ce que j'ai fait:
x -∞ -2 0 2 +∞
2x+1 - - 0 + +

je n'ai pas continué car je pense que c'est faux !!!

Pour faire un tableau de signes, comment je fais pour trouver les nombres que je met dans le tableau ? merci beaucoup !

Salut, désolée de te dire que ton ensemble de définition est encore faux. si x peut prendre toutes les valeurs dans R sauf -2, que fais-tu des valeurs qui sont strictement inférieures à -2 ? Pourquoi les exclus-tu ?

les valeurs que tu mets dans ton tableau de signe sont les bornes de ton ensemble de définition, donc tu vas me dire après avoir trouver le bon ensemble de définition quelles sont ces valeurs. et ensuite les valeurs où 2x+1 s'annule et où x+2 s'annule (ce qui rejoint une valeur que tu auras normalement déjà marquée)

Ton tableau de signe doit ressembler à cela normalement :

x
.....-infini
.....-2
......-1/2
......+ infini

2x+1
.....-
...........-
.......0
.....+

x+2
.....-
.....0
.....+
..........+

f(x)
.....+
.....ll
.....-
.....0
.....+

Voilà mon tableau de signes doit être à peu près lisible. est ce que tu comprends ?

si oui dis moi qu'on fasse la suite

coucou
j'admire le mal que tu t'aies donné avec le tableau Bbygirl lol (mettre du blanc pour marquer les espaces lol) regarde dans le visualisateur LateX c'est facil à faire

$\begin{tabular} {c|cccc} x&-\infty&&& -2&&&&-\frac{1}{2}&&&&&+\infty&\ \hline (2x+1)&&-&&&&-&&0&&&+\ (x+2)&&-&&0&&+&&&&&+\ \hline f(x)=\frac{2x+1}{x+2} &&+&&|| &&-&&0&&&+ \end{tabular}$

lol merci ^^ mais je ne savais pas qu'on pouvait faire ca avec le LateX. je crois que je vais sérieusement m'y mettre lol

tu verras ça devient vite une drogue tu ne pourras plus jamais revenir en arrière ensuite

lol alors attention une nouvelle droguée arrive :razz:

Ok alors merci deja pour le tableau je pense l'avoir compris !! Alors cette fois ci pour l'ensemble de définition je pense que c'est ]-2;+∞[ !! c'est ca ?
Ensuite merci encore pour le tableau de signes, et je pense que 2x+1 s'annule en -1/2 et x+1 s'annule en -2 !! j'espere que mes réponses sont bonnes !!! :rolling_eyes:

coucou

alors non pour l'ensemble de définition ce que tu ne comprends pas c'est que, certe, le dénominateur ne doit pas être égal à zéro mais il peut très bien être négatif !!!!
tu peux très bien avoir comme dénominateur -1220 ou 345 n'importe quoi, tout ce que tu veux comme réel, sauf -2 donc l'ensemble de définition c'est ]-∞;-2[ U ] -2 ; +∞[

ensuite je viens de lire la question et je me rend compte que le fait d'avoir fait ce tableau ne sert à rien Bbygirl puisque la question ce n'est pas de prouver que la f(x) positif sur ]-∞;-2[ U] -2; +∞[ mais de prouver qu'elle est croissante ...

en fait tu vas oublier le tableau je pense qu'il faut revenir à la définition d'une fonction croissante et utiliser la question précédente
donne moi la définition d'une fonctions croissante s'il te plait

bon alors je vais devoir partir
définition

Dire que f est une fonction croissante sur l’intervalle I signifie que pour tous réels $x_1$ et $x_2$ de I : si $x1≤x2x_1 \le x_2$ alors $f(x1)≤f(x2).f(x_1) \le f(x_2).$

alors on va commencer par le plus clair pour x ∈]-2;+∞[
(si tu veux tester tu peux prendre 2 et 3)

$\frac{3}{x+2}$

$x1≤x2x_1 \le x_2$

⇔ $x1+2≤x2+2x_1 +2 \le x_2 + 2$ on ajoute un nombre positif

⇔ $3x1+2≥3x2+2\frac{3}{x_1+2} \ge \frac{3}{x_2+2}$ on prend l'inverse et on multiplie par un nombre positif

⇔ $\frac{3}{x_1+2} \le - \frac{3}{x_2+2}$ on prend l'opposé

⇔ $\frac{3}{x_1+2} \le 2 - \frac{3}{x_2+2}$ on ajoute un nombre positif

⇔ $f(x1)≤f(x2)f(x_1) \le f(x_2)$

donc la fonction est croissante sur x ∈]-2;+∞[

alors un petit peu plus délicat peut être

pour x ∈]-∞; -2 [

$x1≤x2x_1 \le x_2$ n'oublie pas que l'on parle de nombres négatifs
c'est la même chose en fait (je te conseille de prendre -4 et -3 pour tester)

⇔ $x1+2≤x2+2x_1 +2 \le x_2 + 2$

⇔ $3x1+2≥3x2+2\frac{3}{x_1+2} \ge \frac{3}{x_2+2}$

⇔ $\frac{3}{x_1+2} \le - \frac{3}{x_2+2}$

⇔ $\frac{3}{x_1+2} \le 2 - \frac{3}{x_2+2}$

⇔ $f(x1)≤f(x2)f(x_1) \le f(x_2)$

donc la fonction est croissante sur x ∈]-∞; -2[

voilà alors est ce que tu as compris ?!

coucou merci beaucoup pour m'aider sur l'exercice alors oui je pense avoir compris !! cela me semble plus simple que le tableau de signes !
Pour la 5em question comment fait-on pour résoudre
graphiquementune inéquation ? merci encore pour les explications !!

Salut.

Il faut tracer les 2 courbes, et regarder quand est-ce que l'une est au-dessus de l'autre.

@+

Coucou , mais comment faire pour trouver les 2 courbes à tracer à partir d'une inéquation ? la premiere courbe est 2x+1≥2 et l'autre est x+2≥2 ???
merci !

Salut, non la courbe que tu dois tracer est celle de (2x+1)/(x+2) et tu dois repérer sur quels intervalles ta courbe est située au dessus de la droite d'équation y=2 ou lorsqu'elle coupe cette droite.

alors en faisant les courbes j'ai deja trouver 2 courbes perpendiculaires qui se coupent en (1;2) !!

2 courbes perpendiculaires? Comment trouves-tu 2 courbes perpendiculaires? et que représentent ces coordonnées (1;2)?

Les 2 courbes que tu as tracé sont bien f(x) et y=2 on est d'accord?

oui oui , alors voila ce que j'ai fait:
pour tracer f(x)=2x+1/x+2 j'ai cherché les coordonnées de 2 points ce qui donne, pour le 1er point x=1 alors 2×1+1/1+2=3/3=1 donc y=1 et pour le 2em point x=2 et donc y=1 ! j'ai tracer la courbe et elle est vertical, ensuite j'ai tracer la courbe y=2 qui est je pense constante donc horizontale !!

tu n'as pas de calculatrice qui te permette de tracer ces 2 courbes ? car la courbe de f(x) n'est pas une droite perpendiculaire à la droite d'équation y=2, c'est une courbe. Donc ton raisonnement là ne tient pas.
De plus n'oublie pas que tu as 2 portions de courbes, celle où x est supérieur à -2 et celle où x est inférieur à -2.

ba à vrai dire la je ne sais plus du tout comment tracer ces courbes !! faut-il que je calcule des points ?

Mais as-tu une calculatrice qui te permette de les tracer ou pas ? Si ce n'est pas le cas alors tu dois les tracer à la main mais c'est plus long et moins sur.
Il faut que tu calcules plusieurs points avec une abscisse inférieure à -2, puis de nouveau d'autres points avec une abscisse supérieure à -2 cette fois, pour pouvoir avoir une allure de la courbe.

Donc par exemple, tu dois calculer f(-4), f(-3), f(-7), f(1), f(2), ... pour avoir des points à placer et tracer la représentation graphique de f dans un repère.

non je n'ai pas de calculatrice adapté malheureusement!! mais lorsque je calcule f(-4) par exemple le resultat est l'abscisse ou l'ordonné ? parce que j'ai calculé differents points mais je ne sais pas comment les placer !! merci !

rappel: f(x)=y donc si tu choisis x=-4, f(-4)=y ainsi, le résultat que tu trouves est l'abscisse du point d'abscisse -4.

Si par exemple (c'est faux mais c'est juste pour t'expliquer) tu toruves f(-7)=12 et bien tu traces en pointillés la droite d'équation x=-7 et celle d'équation y=12, et ton point sera le point d'intersection de ces 2 droites.

a ok d'accord j'ai compris merci !! donc j'ai tracé la courbe de 2x+1/x+2 et je pense que ma courbe est bonne (ce n'est pas oue droite , c'est deja ça ....) et pour tracer y=2 je m'y prend comment ? je fais la même chose ?

non y=2 c'est tout simple, c'est la droite horizontale (c'est à dire parallèle à l'axe des abscisses ) et passant par le point de coordonnées (0;2)

Et maintenant que tu as les 2 courbes, peux-tu nous dire quand Cf (la courbe représentative de f) est au-dessus de la droite D d'équation y=2 ? et quand est ce qu'elle est en dessous?

coucou
alors
je mets mon grain de sel je ne sais pas si c'est vraiment une bonne idée mais ça peut peu être aider et faciliter les calculs tu as prouvé avant que

$\frac{3}{x+2}$

donc $\ge 2$

⇔
$\frac{3}{x+2} \ge 0$

maintenant ça peut peu être plus facil pour tracer ...

a ok !! merci beaucoup je vais tracer merci ! je dois y aller alors merci beaucoup !!!

je t'en prie .

@ + bonne continuation