sinus en folie



  • salut everybody j'ai un gros soucis avec un exo
    Voici l'énoncé

    sin²a=sin²b+sin²c
    (cette égalité est vérifié)
    prouver avec cette relation que le triangle ABC est rectangle

    merci d'avance


  • Modérateurs

    Salut.

    Faudrait essayer, mais tu pourrais peut-être commencer par utiliser le fait que a+b+c=pipi afin de remplacer a, et ensuite essayer de montrer que les 2 membres de l'équation sont égaux si et seulement si b+c=pipi/2.

    @+



  • salut et merci pour la piste
    mais aprés avoir dévellopé je tombe sur

    sin²a=sin²b+sin²(a+b)

    et la je bloque encore
    que faire? :frowning2:
    merci encore pour les réponses



  • Une idée il faudrait peut-être essaye de montrer avecAl Kashi :
    ( a² = b² + c² - 2bc cosâ ) et la relation entre sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c

    que dans tout triangle sin²(A) = sin²(B) + sin²(C) -2 sin(B)sin(C)cos(A)

    Donc pour que sin²(A) = sin²(B) + sin²(C) il faut que 2 sin(B)sin(C)cos(A) = 0

    et alors que peux-tu conclure sur cos(A) (je te rapelle que le triangle n'est pas applati)



  • salut

    ta solution marche le problème c'est qu'on la pas encore vu et mon prof veut pas qu'on l'utilise

    si vous avez d'autre idée merci d'avance



  • ok
    alors
    déjà tu n'as pas fait ce que t'avais demandé JC

    a+b+c=πa+b+c=\pi

    donc a=π(b+c)a = \pi - (b+c)

    sin2(a)=sin2(b)+sin2(c)2sin(b)sin(c)cos(a)sin^2(a) = sin^2(b) + sin^2(c) -2 sin(b)sin(c)cos(a)

    sin2(π(b+c))=sin2b+sin2c2sinb.sinc.cos(π(b+c))sin^2(\pi-(b+c)) = sin^2b + sin^2c - 2 sinb.sinc.cos(\pi-(b+c))

    essaie de continuer ...
    ok ?!



  • Si tu n'as pas le droit d'utiliser les formules que je cite il n'y a en efffet que la solution de Jeet-chris ! bons calculs !

    Il est trop tard ce soir et après une journée de labeur bien remplie je n'ai pas la force d'essayer !



  • salut
    j'ai essayé la méthode de jeet-chris et j'arrive à l'équation suivante :

    sin²(pipi-(b+c))=sin²b+sin²c
    dc : sin²(b+c)=sin²b+sin²c

    mais ensuite je n'arrive pas à prouver l'égalité entre les 2 membres de l'équation

    merci d'avance



  • a+b+c=π
    b+c=π/2

    sin²(π/2)=sin²b+sin²(π/2-b)

    sin(π/2-b)=?

    on avance, on avance ... 😁



  • On sait A + B + C = π
    donc A = π - (B+C)

    sinA = sin(π - (B+C)) = sin(B+C)

    sinA = sinB.cosC + sinC.cosB

    sinA² = sin²B.cos²C + sin²C.cos²B + 2.sinB.cosC.sinC.cosB =sin²B+sin²C

    sin²B.(1-sin²C)+sin²C.(1-sin²B) + 2.sinB.cosC.sinC.cosB =sin²B+sin²C

    -sin²B.sin²C - sin²Csin²B + 2.sinB.cosC.sinC.cosB =0 ..... égalité (1)

    Une solution est sinB = 0 qui est interdite car le triangle serait plat.

    Une solution est sinC = 0 qui est interdite car le triangle serait plat.

    on divise les 2 termes de l'égalité (1) par sinB.sinC (possible puisque non nuls) et on arrive à

    -sinB.sinC - sinCsinB + 2.cosC.cosB =0 donc

    2sinB.sinC = 2cosC.cosB donc

    sinB.sinC = cosC.cosB ... (égalité 2)

    ce qui ne devrait être vrai que si B + C = π/2 .....il faut que je cherche encore pourquoi ...

    Il doit y avoir une piste en partant de l'égalité 2 transformée en sinB/cosB = cosC/sinC

    c'est à dire tanB = 1/tanC

    Et donc avec A + B + C = π on a A = π/2

    Donc le triangle est rectangle en A.



  • On a bien en effet tan(π/2 - x) = 1/tan(x) facilement démontrable à l'aide de

    sin(π/2 - x) = cos(x) et cos(π/2 - x) = sin(x)


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