sinus en folie

salut everybody j'ai un gros soucis avec un exo
Voici l'énoncé

sin²a=sin²b+sin²c
(cette égalité est vérifié)
prouver avec cette relation que le triangle ABC est rectangle

merci d'avance

Salut.

Faudrait essayer, mais tu pourrais peut-être commencer par utiliser le fait que a+b+c= $p i$ afin de remplacer a, et ensuite essayer de montrer que les 2 membres de l'équation sont égaux si et seulement si b+c= $p i$ /2.

@+

salut et merci pour la piste
mais aprés avoir dévellopé je tombe sur

sin²a=sin²b+sin²(a+b)

et la je bloque encore
que faire? :frowning2:
merci encore pour les réponses

Une idée il faudrait peut-être essaye de montrer avecAl Kashi :
( a² = b² + c² - 2bc cosâ ) et la relation entre sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c

que dans tout triangle sin²(A) = sin²(B) + sin²(C) -2 sin(B)sin(C)cos(A)

Donc pour que sin²(A) = sin²(B) + sin²(C) il faut que 2 sin(B)sin(C)cos(A) = 0

et alors que peux-tu conclure sur cos(A) (je te rapelle que le triangle n'est pas applati)

salut

ta solution marche le problème c'est qu'on la pas encore vu et mon prof veut pas qu'on l'utilise

si vous avez d'autre idée merci d'avance

ok
alors
déjà tu n'as pas fait ce que t'avais demandé JC

$a+b+c=πa+b+c=\pi$

donc $\pi - (b+c)$

$sin^2(a) = sin^2(b) + sin^2(c) -2 sin(b)sin(c)cos(a)$

$sin2(π−(b+c))=sin2b+sin2c−2sinb.sinc.cos(π−(b+c))sin^2(\pi-(b+c)) = sin^2b + sin^2c - 2 sinb.sinc.cos(\pi-(b+c))$

essaie de continuer ...
ok ?!

Si tu n'as pas le droit d'utiliser les formules que je cite il n'y a en efffet que la solution de Jeet-chris ! bons calculs !

Il est trop tard ce soir et après une journée de labeur bien remplie je n'ai pas la force d'essayer !

salut
j'ai essayé la méthode de jeet-chris et j'arrive à l'équation suivante :

sin²( $p i$ -(b+c))=sin²b+sin²c
dc : sin²(b+c)=sin²b+sin²c

mais ensuite je n'arrive pas à prouver l'égalité entre les 2 membres de l'équation

merci d'avance

a+b+c=π
b+c=π/2

sin²(π/2)=sin²b+sin²(π/2-b)

sin(π/2-b)=?

on avance, on avance ...

On sait A + B + C = π
donc A = π - (B+C)

sinA = sin(π - (B+C)) = sin(B+C)

sinA = sinB.cosC + sinC.cosB

sinA² = sin²B.cos²C + sin²C.cos²B + 2.sinB.cosC.sinC.cosB =sin²B+sin²C

sin²B.(1-sin²C)+sin²C.(1-sin²B) + 2.sinB.cosC.sinC.cosB =sin²B+sin²C

-sin²B.sin²C - sin²Csin²B + 2.sinB.cosC.sinC.cosB =0 ..... égalité (1)

Une solution est sinB = 0 qui est interdite car le triangle serait plat.

Une solution est sinC = 0 qui est interdite car le triangle serait plat.

on divise les 2 termes de l'égalité (1) par sinB.sinC (possible puisque non nuls) et on arrive à

-sinB.sinC - sinCsinB + 2.cosC.cosB =0 donc

2sinB.sinC = 2cosC.cosB donc

sinB.sinC = cosC.cosB ... (égalité 2)

ce qui ne devrait être vrai que si B + C = π/2 .....il faut que je cherche encore pourquoi ...

Il doit y avoir une piste en partant de l'égalité 2 transformée en sinB/cosB = cosC/sinC

c'est à dire tanB = 1/tanC

Et donc avec A + B + C = π on a A = π/2

Donc le triangle est rectangle en A.

On a bien en effet tan(π/2 - x) = 1/tan(x) facilement démontrable à l'aide de

sin(π/2 - x) = cos(x) et cos(π/2 - x) = sin(x)