Démonstration par récurrence



  • Bonjour ,
    voilà l'énoncé de l'exercice:
    A l'aide d'un raisonnment par récurrence, montrer que pour tout n de IN, les nombres entiers: 32n2n3^{2n} - 2^{n} et 32n+1+2n+23^{2n+1} + 2^{n+2} sont divisible par 7.

    Mon travail :
    J'ai commencé par étudier 32n2n=3^{2n} - 2^n = ... (apres reformulation)

    =(7k+2n)×32+(7k32n)×2.= (7k + 2^n)\times 3^2 + (7k-3^{2n})\times 2.

    =7k×9+2n×9+14k2×32n= 7k\times 9 + 2n\times 9 +14k -2\times 3^{2n}

    =7k(16)+2(2n1×932n)= 7k(16) + 2(2^{n-1} \times 9 - 3^{2n})

    Actuellement , le (9×2n2×32n)(9\times 2^n - 2\times 3^{2n}) me dérange et je ne sais pas comment prouver que ce terme là est un multiple de 7 !
    En tout cas , merci énormément d'avance pour votre aide !:D
    A bientot !

    miumiu : coucou j'ai mis ton post en LaTeX j'espère ne rien avoir écorché



  • recoucou
    alors je ne sais pas trop comment tu as fait je vais te montrer ce que j'ai fait mais bon sous réserve d'une approbation extérieure 😄

    je suppose que tu as fait ton initialisation pour n=0
    pour l'hérédité
    32n2n=7k3^{2n} - 2^{n} = 7k (k réel)

    2n=32n7k2^n = 3^{2n} - 7k
    tu dois prouver que c'est vrai pour tout n de N ( je suppose que tu connais la rédaction je vais just te montrer une piste

    s=32n+22n+1s = 3^{2n+2} - 2^{n+1}

    s=32n×92n×2s = 3^{2n}\times 9 - 2^n\times 2

    s=32n×9(32n7k)×2s = 3^{2n}\times 9 - (3^{2n} - 7k)\times 2

    s=32n×932n×214ks = 3^{2n}\times 9 - 3^{2n}\times 2 - 14k

    s=32n(92)14ks= 3^{2n} ( 9-2) - 14k

    s=7(32n2)s = 7( 3^{2n} - 2)
    voilà ...

    alors ?!


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