Dérivée bien dures

[adher01]

Voila j'ai des dérivées notées a faire mais j'ai un petit peu de mal, je les ai , alors si elle sont fausses pourriez vous me le dire, merci d'avance voila l'énoncé:
Calculer les dérivées des fonctions suivantes, et faite apparaître le domaine de définition de chaque fonction.

1 )$f(x)=2\sqrt{3x+1}-5x+3\sqrt{3}$

2 )$g(x)=(3x+1)cos(\frac{2x}{3}-(\frac{\pi }{6})$

3 )$h(x)=\frac{2x^2+3x-1}{x^2+x+1}$

4)$k(x)=(\frac{3x}{4}-\frac{5}{11}{)}^{10}$

5 )$l(x)=\frac{3}{2x}-\frac{5}{4x^2}+\frac{7}{5x^3}$

6 )$m(x)=\frac{1-cos(x)}{3+sin(x)}$

7 )$p(x)=\frac{1+2\sqrt{3})}{(1-2\sqrt{3})}$

8 )$q(x)=(3x^2+2x-5)\sqrt{x}$

donc voila mes résultats mais je n'ai pas su faire les domaines de déf de certaines.

1 )$f(x)=2\sqrt{3x+1}-5x+3\sqrt{3}$

$f^{\prime }(x)=2\times 3\times \frac{1}{\sqrt{3x+1}}-5$

$f^{\prime }(x)=\frac{6}{\sqrt{3x+1}}-5$

2 )$g(x)=(3x+1)cos(\frac{2x}{3}-(\frac{\pi }{6})$

je n'aipas réussi.

3 )$h(x)=\frac{2x^2+3x-1}{x^2+x+1}$

$h^{\prime }(x)=\frac{(x^2+x+1)\times (4x+3)-(2x+1)(2x^2+3x-1}{(x^2+x+1{)}^2}$

$h^{\prime }(x)=\frac{4x^3+4x^2+4x+3x^2+3x+3-4x^3-6x^2-2x-2x^2-3x+1}{(x^2+x+1{)}^2}$

$h^{\prime }(x)=\frac{-x^2-x+4}{(x^2+x+1{)}^2}$

4 )$k(x)=(\frac{3x}{4}-\frac{5}{11}{)}^{10}$

$k^{\prime }(x)=10\times (\frac{3x}{4}-\frac{5}{11}{)}^9\times \frac{3}{4}$

5 )$l(x)=\frac{3}{2x}-\frac{5}{4x^2}+\frac{7}{5x^3}$

$l^{\prime }(x)=\frac{2x\times 0-2\times 3}{(2x{)}^2}-\frac{4x^2\times 0-8x\times 5}{(4x^2{)}^2}+\frac{5x^3\times 0-15x\times 7}{(5x^3{)}^2}$

$l^{\prime }(x)=\frac{-6}{(2x{)}^2}+\frac{40x}{(4x^2{)}^2}-\frac{105x}{(5x^3{)}^2}$

6 )$m(x)=\frac{1-cos(x)}{3+sin(x)}$

$m^{\prime }(x)=\frac{(3+sin(x)\times (-sin(x))-(-cos(x)+(1-cos(x))}{(3+sin(x){)}^2}$

$m^{\prime }(x)=\frac{-3sin(x)+si{n}^2(x)-(-cos(x)+co{s}^2(x))}{(3+sin(x){)}^2}$

$m^{\prime }(x)=-3sin(x)+si{n}^2(x)+cos(x)-co{s}^2(x)$

7 )$p(x)=\frac{1+2\sqrt{3})}{(1-2\sqrt{3})}$

p'(x) n'est pas dérivable car une constante n'est pas dérivable.

8 )$q(x)=(3x^2+2x-5)\sqrt{x}$

$q^{\prime }(x)=\frac{3x^2+2x-5}{2\sqrt{x}}+(\sqrt{x}\times 6x+2)$

$q^{\prime }(x)=\frac{3x^2+2x-5}{2\sqrt{x}}+6x\sqrt{x}+2\sqrt{x}$

voila alors si vous pouviez s'il vous plait me les corriger et m'aider a faire les domaines de def ce serait cool.
merci d'avance
adher01

*miumiu : mise au LaTeX j'ai aussi espacé et mis des couleurs et corrigé les fautes afin que ton exercice soit plus attractif *

[miumiu]

coucou
tu viens juste de dire à Zorro que tu étais désolé de ne pas avoir mis bonjour dans ton expost et là tu fais la même erreur ... de plus te me fais un doublet de topic...

pour la première

la dérivée de $\sqrt{u}$ ( u strictement positif )
c'est

$\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$

[adher01]

bonjour, ce qui nous donne;
f(x)=2√(3x+1)-5x+3√3
u=3x+1 soit u'=3
f '(x)= 3/(2√3x+1)-5

mais je fais quoi du deux qui est devant la racine carrée ?

[zoombinis]

le deux s'est simplifié avec le deux au dénominateur lorsque tu as dérivé

tu dois trouver f'(x) = 23/2√(3x+1) - 5
f'(x) = 3/√(3x+1) - 5

[miumiu]

oui alors c'est presque ça tu as fait une erreur d'étourderie

$f(x)=2\sqrt{3x+1}-5x+3\sqrt{3}$

$u=3x+1$ soit $u^{\prime }=3$

(n'oublie pas que $u$ doit être strictement positif) pour trouver l'ensemble de définition

$f^{\prime }(x)=2\times \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}-5$

tu avais oublié le 2 devant la racine carrée

[miumiu]

merci de me dire si la mise au LaTeX n'a pas modifié tes réponses

pour la 2)

il faut utiliser la formule qui donne la dérivée de $u\times v$
soit $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

ensuite tu sais que la dérivée de $cos(u)$ c'est $-u^{\prime }sin(u)$
donc ...

[adher01]

donc cela donne:
g(x)=(3x+1)cos(2x/3-π/6)
g'(x)=3cos(2x/3-π/6)+(3x+1)×(-2/3sin(2x/3-π/6)
g'(x)=3cos(2x/3-π/6)-2xsin(2x/3-π/6)-2/3sin(2x/3-π/6)

aufaite LaTex c'est quoi ?
merci d'avance

[miumiu]

LaTeX est une sorte de logiciel permettant d'écrire des documents scientifiques je ne vais pas entrer dans les détails mais je veux juste savoir si les codes que j'ai placé n'ont pas modifié tes réponses

alors pour la g tu dois connaitre tes formules de trigo ...
cos (a -b) = ...

[adher01]

le LaTex na pas endommager les réponses
cos(a-b)=-asin(a-b)
c'est ça non?

[Bbygirl]

tu parles de la dérivée ?

[adher01]

oui

[Bbygirl]

alors dans ce cas là c'est faux. ce n'est pas toujours comme cela que ca se passe.
La formule générale de la dérivée de cos(f) est cos'(f)=-f'sin(f)
Donc, si f=a-b, tu auras cos'(f)=-(a-b)'sin(a-b)
Or, si a et b sont des constantes, (a-b)'=0 donc cos'(f)=0.

Je sais pas si je suis très claire, désolée

Pour être plus claire je vais te donner 2 exemples:

cos'(3x+4)=-3sin(3x+4)
cos'(4+2$pi$)=0 car la dérivée de 4+2$pi$=0

[adher01]

donc pour le petit g la dérivée est :
g'(x)=3cos(2x/3-π/6)-2xsin(2x/3-π/6)-2/3sin(2x/3-π/6)??

[Bbygirl]

tu as une partie en trop dans ta dérivée. quand tu as g=uv, la dérivée est g'=u'v+uv'

donc g'(x)=3cos(2x/3-$pi$/6)-2/3sin(2x/3-$pi$/6)

[miumiu]

ah mais non mais ta dérivée était bonne je voulais simplement que tu me simplifies ta dernière ligne !!!

g(x)=(3x+1)cos(2x/3-π/6)
g'(x)=3cos(2x/3-π/6)+(3x+1)×(-2/3sin(2x/3-π/6)
g'(x)=3cos(2x/3-π/6)-2xsin(2x/3-π/6)-2/3sin(2x/3-π/6)

utiliser les formules de trigonométrie pour simplifier!

$cos(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})=cos(\frac{2x}{3})cos(\frac{\pi }{6})+sin(\frac{2x}{3})sin(\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\frac{2x}{3})+\frac{1}{2}sin(\frac{2x}{3})$

[miumiu]

Bon alors comme il y a eu des problèmes d'incompréhension je vais faire le 2) en entier avec une belle rédaction

$g(x)=(3x+1)cos(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})$

$g$ est définie sur R ; $g$ est la somme de fonctions dérivables sur R donc $g$ est dérivable sur R.
∀$x \in \r$
on pose
$u(x)=3x+1$donc $u^{\prime }(x)=3$

$v(x)=cos(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})$ donc $v^{\prime }(x)=\frac{-2}{3}sin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})$

$g=u\times v$

$g^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
alors

$g^{\prime }(x)=3\times cos(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})+(3x+1)\times \frac{-2}{3}sin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})$

$g^{\prime }(x)=3\times cos(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})-2xsin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})-\frac{-2}{3}sin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})$

on va utiliser les formules de trigonométrie pour simplifier.

$cos(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})=cos(\frac{2x}{3})cos(\frac{\pi }{6})+sin(\frac{2x}{3})sin(\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\frac{2x}{3})+\frac{1}{2}sin(\frac{2x}{3})$

$sin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})=sin(\frac{2x}{3})cos(\frac{\pi }{6})-cos(\frac{2x}{3})sin(\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}sin(\frac{2x}{3})-\frac{1}{2}cos(\frac{2x}{3})$

donc

$g^{\prime }(x)=3\times cos(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})-2xsin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})-\frac{-2}{3}sin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})$

$g^{\prime }(x)=3\times (\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\frac{2x}{3})+\frac{1}{2}sin(\frac{2x}{3}))-2x\times (\frac{\sqrt{3}}{2}sin(\frac{2x}{3})-\frac{1}{2}cos(\frac{2x}{3}))+\frac{2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}sin(\frac{2x}{3})-\frac{1}{2}cos(\frac{2x}{3}))$

$g^{\prime }(x)=\frac{3\sqrt{3}}{2}cos(\frac{2x}{3})+\frac{3}{2}sin(\frac{2x}{3})-\sqrt{3}xsin(\frac{2x}{3})-xcos(\frac{2x}{3})+\frac{\sqrt{3}}{3}sin(\frac{2x}{3})-\frac{1}{3}cos(\frac{2x}{3})$

je te laisse finir c'est vrai que ça fait un truc assez compliqué mais bon je pense que c'est nécéssaire
enfin tu fais comme tu veux

[adher01]

et est ce que les autres sont bonnes ?

[Bbygirl]

Salut, je suis désolée mais je ne suis pas d'accord avec ce que vous avez trouvé pour la dérivée de g. Je ne comprends pas d'où viens le terme "-2xsin(2x/3-$pi$/6).
Enfin bref, on verra avec miumiu quand elle sera là.

sinon tu veux que je vérifies quelles dérivées? toutes les autres ?

[miumiu]

oui je suis là ^^
alors qu'est ce que tu ne vois pas quelle ligne
fait copier coller dans mon post pour me montrer

[miumiu]

adher il y a un problème de signe pour la troisième ligne de calculs du h

[Bbygirl]

miumiu

$g^{\prime }(x)=3\times cos(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})+(3x+1)\times \frac{-2}{3}sin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})$

$g^{\prime }(x)=3\times cos(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})-2xsin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})-\frac{-2}{3}sin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})$

En fait c'est la deuxième ligne de calcul que je ne comprenais pas car je n'avais pas été plsu loin que la première ligne quand j'ai calculé la dérivée. En fait tu as juste développé la parenthèse donc il n'y a pas de problème c'était un manque d'attention de ma part.
Désolée

[Bbygirl]

Pour la fonction l, il y a un problème aussi pour la dérivée de la dernière fraction car la dérivée de $5x^3$ est $15x^2$ et non pas 15x.

5 )$l(x)=\frac{3}{2x}-\frac{5}{4x^2}+\frac{7}{5x^3}$

$l^{\prime }(x)=\frac{2x\times 0-2\times 3}{(2x{)}^2}-\frac{4x^2\times 0-8x\times 5}{(4x^2{)}^2}+\frac{5x^3\times 0-15x^2\times 7}{(5x^3{)}^2}$

$l^{\prime }(x)=\frac{-6}{(2x{)}^2}+\frac{40x}{(4x^2{)}^2}-\frac{105x^2}{(5x^3{)}^2}$

Voilà ce que ca donné corrigé.

En ce qui concerne la fonction m, il y a un problème de signe au début. cos'(x)=-sin(x) donc (-cos(x))'=-(-sinx)=sinx.

6 )$m(x)=\frac{1-cos(x)}{3+sin(x)}$

$m^{\prime }(x)=\frac{(3+sin(x))\times (-(-sin(x)))-cos(x)(1-cos(x))}{(3+sin(x){)}^2}$

$m^{\prime }(x)=\frac{3sin(x)+si{n}^2(x)-cos(x)+co{s}^2(x)}{(3+sin(x){)}^2}$

$m^{\prime }(x)=\frac{3sin(x)-cos(x)+1}{(3+sin(x){)}^2}$
car $sin$^2$(x)+co{s}^2$(x)=1

8 )$q(x)=(3x^2+2x-5)\sqrt{x}$

$q^{\prime }(x)=\frac{3x^2+2x-5}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\times (6x+2)$

$q^{\prime }(x)=\frac{3x^2+2x-5}{2\sqrt{x}}+6x\sqrt{x}+2\sqrt{x}$

Voilà. maintenant je pense que c'est juste.

[miumiu]

oui pour la $l$ ce serait pas mal de simplifier ...

[adher01]

Merci beaucoup
Mais pour ce qui est des domaines de définition
je n'y arrive pas du tout j'ai juste réussie a justifié quele était dérivable pour certaine et même pas sur tous alors si vous pouviez m'aider s'il vous plait. :frowning2:
j'ai justifié pour f quelle té dérivable car c'était un polynome, pour h car c'était un quotient de deux polynome pour p qu'il n'était pas dérivable car c'était une constante.

[miumiu]

oula tu as fait des fautes de frappe c'est difficil de te lire :s

pour f' tu as un quotient donc le dénominateur est différent de 0
de plus ce dénominateur est une racine carrée donc ce qu'il y a dans la racine carrée est forcément positif ou nul

conclusion le dénominateur est strictement négatif donc l'ensemble de définition de f' c'est...

[Bbygirl]

Salut,
je tenais juste à dire qu'une constante EST dérivable, c'est juste que sa dérivée est nulle mais les constantes sont dérivables. Donc pour la fonction p, p est dérivable sur R puisque peut importe le nombre x que tu choisiras, ta fonction sera définie et dérivable. et p'(x)=0 .

@ +