Fonctions et Dérivées



  • Bonjour tout le monde.J'ai commencé mon exercice de Dm de mathématique et j'aimerais me faire corriger.Il est en 2 parties mais j'ai fait que la première alors je vous met l'énoncé de la première partie en ensuite je mettrais la seconde partie.

    Voilà l'énoncé:

    On considère la fonciton f définie sur R - {4} par: f(x)= (x²+96x)/(x-4)

    1)Déterminer les réels a,b et c tels que, pour tout x de R - {4}, on ait :
    f(x)=ax+b+cx4f(x)=ax + b + \frac{c}{x-4}

    2)Montrer que la représentation graphique (C)
    de f admet comme centre de symétrie le point I(4;400)

    3)Etudier la dérivabilité de f puis calculer sa dérivée;

    4)Etudier le signe de f'(x) puis constuire le tableau de variation de f(ce tableau sera obligatoirement incomplet puisque les limites ne peuvent pas encore être calculées)

    Voilà ce que j'ai fait:

    1)f(x)= (x²+96x)/(x-4)

    Pour tout x de R - {4}

    f(x)= ax + b + c / (x-4)

    = [ax(x-4)+b(x-4)+c] /(x-4)

    = [(a)x² + (-4a + b)x + (-4b+c) ] /(x-4)

    Par identification des coefficients des numérateurs:

    a=1
    -4a+b= 96 => -4+b =96 => b=96+4=100
    -4b+c=0 => -4*100+c=0 => -400+c=0 =>c =400

    Donc f(x)= [x + 100 +400] / (x-4)

    2)f(x)=x2+96xx4f(x)=\frac{ x^2+96x}{x-4} condition: x-4 différent de 0
    x différent de 4

    Centre de symétrie:
    Ancien repère (O,i,j) (vect)
    Nouveau repère (I,i,j) (vect)

    Soit M(x;y) dans (O,i,j) avec I(4;400)

    On a donc { x= X+4
    {y= Y+400

    M(x;y) appartient à (C) <=> y = (x²+96x)/(x-4)

    <=> Y+400= [(X+4)²+96(X+4)] / ((X+4)-4)

    <=> Y+400= [X²+8X+16+96X+384] / (X)

    <=> Y+400= ([X²+104X+400] - 400X) / (X)

    <=> y=x2296x+400xy= \frac{x^2 - 296x + 400}{x} Equation de (C) dans (I,i,j) (vect)

    Soit g(X)=[X² - 296X + 400] / (X)

    g(-X)= -[X² - 296X + 400] /(X) = [ - X² +296X -400] / (-X) = -g(X)

    Donc G est une fonction impaire donc la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère (I,i,j)

    3)f(x)=x2+96xx4f(x)=\frac{x^2+96x}{x-4}

    x|----> x²+96x fonction polynôme dérivable sur R
    x|----> x-4 fonction polynôme et non nulle dérivable sur R- {4}

    f est une fonction dérivable sur R- {4}

    ==>f'(x)= (x²+96x)'.(x-4) - (x²+96x).(x-4)' / (x-4)²
    = (2x+96).(x-4) - (x²+96x).(1) / (x-4)²
    = (2x²-8x + 96x -384 -x²- 96x) / (x-4)²
    = x2200x384(x4)2\frac{x^2-200x-384}{(x-4)^2}

    1. Soit A(x) = x²-200x-384

    Delta= b²-4ac
    = (-200)²-41(-384)
    = 40000 + 1536
    = √41536
    = √4 * √10384
    = √4 * √4 * √2596
    =√4 * √4 * √4 * √649
    = 8√649

    x'= 200 - √8√649 / 2
    = 200- 2√2√649 / 2
    = 198√2√649 / 2

    x'= 200 + √8√649 / 2
    = 200+ 2√2√649 / 2
    = 202√2√649 / 2

    A(x) est toujours du signe de A c'est a dire positif sauf entre les racines

    tableau:

    x | -∞ 4 (202√2√649)/2 (198√2√649)/2 +∞
    |||_|
    x²-200x-384 + | + | - | + |


    (x-4)² + | + | + | + |


    f'(x) + | + | - | + |


    f'(x) | + | + | - | + |


    f(x) |flèche montante|flèche montante | flèche descendante| flèche montante


    Alors est-ce quee c'est bon ce que j'ai fait ou pas??

    miumiu : bon alors c'est bien d'utiliser la LaTeX mais c'est encore mieux de regarder le "visualisateur LaTeX" dans la colonne de gauche pour savoir comment l'utiliser ... essaie aussi de mettre les parenthèses où il faut surtout quand il y a une fraction ...



  • coucou
    erreur de frappe ici je pense
    Y+400= [X²+104X+400] - 400 / (X)

    je ne comprends pas cette ligne ...
    g(-X)= -[X² - 296X + 400] /(X) = [ - X² +296X -400] / (-X) = -g(X)



  • oué jviens de le voir c'est :
    Y+400= [X²+104X+400]-400X / (X)

    ben la ligne que tu comprend pas c'est pour savoir si elle est impaire



  • ça g(-X)= -[X² - 296X + 400] /(X)

    c'est faux ce que tu viens d'écrire c'est -g(X) et non pas g(-X)



  • ok et le début et le reste c'est bon ou pas?



  • oui avant l'histoire de la parité c'est bon ensuite pour le 3) je n'aime pas trop ta justification

    f est composée de fonctions dérivables sur R{4} donc f est dérivable sur R{4}

    f'(x)= (x²+96x)'.(x-4) - (x²+96x).(x-4)' / (x-4)²
    = (2x+96).(x-4) - (x²+96x).(1) / (x-4)²
    = (2x²-8x + 96x -384 -x²- 96x) / (x-4)²
    donc en simplifiant

    f(x)=x28x384(x4)2f'(x) = \frac{x^2 - 8x - 384}{(x-4)^2}

    tu n'as pas fait attention aux signes je pense

    ps: regarde mes remarques sur le LaTeX dans ton premier post



  • oui je viens de voir merci de me corriger sinon pour la question es que c'est bon ou pas?



  • Quelle question
    le début c'est bon je viens de le dire dans le post précédent mais ta dérivée est fausse :rolling_eyes:



  • je viens de voir un truc a la fin du 1) tu as écrit
    Donc f(x)= [x + 100 +400] / (x-4)

    non c'est
    Donc
    f(x)= x + 100 + 400 / (x-4)

    f(x)=x+100+400x4f(x) = x + 100 + \frac{400}{x-4}



  • ok et la question 4 elle est bonne?



  • ba si tu as faux dans ta dérivée je ne vois pas comment la 4) pourrait être bonne



  • ok je vais faire la question 4 avec la dérivée que tu ma cirrigé et je verrais.Je posterais ma réponse après.merci encore



  • Je viens de faire la question 4)
    Voilà ce que j'ai trouvé:

    f'(x)=x²-8x-384 / (x-4)²

    Soit A(x)= x²-8x-384
    Delta= b²-4ac
    = (-8)²-41(-384)
    =64+1536= √1600 = 40

    x'=8-40 / 2 = -16
    x"=8+40 / 2 = 24

    donc tableau:

    x -∞ -16 4 24 +∞


    x²-8x-384 + 0 - - 0 +


    (x-4)² + + 0 + +


    f'(x) + 0 + 0 + 0 +


    x -∞ -16 4 24 +∞


    f'(x) + 0 - 0 - 0 +


    f(x) | flèche montante | flèche descandante | flèche montante

    Dites-moi si c'est bon



  • oui ok
    mais n'oublie pas que 4 est une valeur interdite !!!
    tu n'as pas le droit de mettre 0 dans ton tableau pour x=4

    pour le sens de variation à la fin en fait tu auras 4 flèches



  • Ok merci beaucoup pour ton aide



  • de rien ^^ il reste cette histoire de parité tu as trouvé ?


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