Résoudre un problème dans le plan complexe à l'aide des suites



  • Salut à tous, j'ai un devoir à rendre la semaine prochaine et comme il est assez compliqué je m'y prend à l'avance pour vous demander de l'aide.
    Voici l'énoncé :

    On note P le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O;u\vec{u},v\vec{v}). On construit la suite des points (An(A_n) de la façon suivante :

    . A0A_0=O ;

    . A1A_1 est le point d'affixe i ;

    . pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, AnA_n est l'image de An2A_{n-2} par la similitude directe de centre An1A_{n-1}, de rapport sqrt22\frac{sqrt2}{2} et d'angle π4\frac{\pi}{4}.

    Pour tout entier naturel n, on note znz_n l'affixe de AnA_n.

    On considère la suite (Zn(Z_n) définie par : pour tout entier naturel n1n\geq1 , <strong>Z<strong>Z_n=z=znz</em>n1-z</em>{n-1}.

    1)1) Démontrer que pour tout entier naturel n2n\geq2, <strong>z<strong>z_n</strong>=(</strong>=(\frac{1+i}{2})<strong>z)<strong>z_{n-2}</strong>+(</strong>+(\frac{1-i}{2})<strong>zn1)<strong>z_{n-1}.

    2)2)a)a) Démontrer que la suite (Zn(Z_n) est une suite géométrique dont on donnera la raison.

    b)b) En déduire que pour tout entier naturel n1n\geq1, <strong>z<strong>znz</em>n1-z</em>{n-1}=i(1i2)n1i(\frac{-1-i}{2})^{n-1}.

    3)3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n1n\geq1,
    <strong>zn<strong>z_n=1+3i5[1(1i2)n]\frac{1+3i}{5}[1-(\frac{-1-i}{2})^n].

    4)4) a)a) Démontrer qu'il existe une unique similitude directe S telle que S(AS(A_0)=A1)=A_1 et S(AS(A_1)=A2)=A_2.
    On déterminera l'expression complexe de S et on donnera ses éléments caractéristiques.
    On appellera ω\omega le centre de la similitude S.

    b)b) Démontrer que pour tout entier naturel n, AA_{n+1}=S(An=S(A_n).

    5)5) On note SS\circSS\circSS\circS=S4S=S^4
    M est un point de P.

    M1M_1=S(M) , MM_2=S(M1=S(M_1) , MM_3=S(M2=S(M_2) et M'=S(M3=S(M_3).

    a)a) Déterminer une relation entre ω\omegamm' et ω\omegamm.

    b)b) On suppose que M est distinct de ω\omega. Déterminer l'angle(ωm;ωm)\vec{{\omega}{m}};\vec{{\omega}{m'}}).

    c)c) Démonter que S4S^4 est une homothétie dont on donnera le centre et le rapport.

    6)6) a)a) Déterminer limnωan\lim_{n \to \infty}{\omega}{a_{n}}. Interpréter géométriquement ce résultat.

    b)b) Déterminer limn(a0a1+...+anan+1)\lim_{n \to \infty}(a_{0}a_{1}+...+a_{n}a_{n+1})

    Voilà je suis en train de réfléchir à la première question. Je poste l'énoncé et dès que je trouve quelque chose je le posterai.

    Merci



  • Salut

    Pour la Premiere question :

    La similitude est une homothétie suivie d'une rotation ou l'inverse peu importe
    On va avoir une homotéthie sur An2A_{n-2} de centre An1A_{n-1} et de rapport √2/2 qui va nous donner un point intermediaire qu'on appelera M ( d'affixe m) auquel on fera subir une rotation et tu vas voir on va retrouver ta formule ::

    L'homothétie nous traduit cette égalite:

    (√2/2)(zn22/2)(z_{n-2} - zn1z_{n-1}) = (m - zn1z_{n-1})

    Après développement on obitent

    m = (√2/2)(zn22/2)(z_{n-2} - zn1z_{n-1} ) + zn1z_{n-1}

    La rotation nous traduit cette égalité :

    znz_n = zn1z_{n-1} + (m - zz_{n-1})<em>ei</em>π/4)<em>e^{i</em>π/4}

    Voilà je te laisse développer en remplaçant m par sa valeur trouvé par l'homothétie , tu devrais retomber sur la formule donnée dans la question



  • merci beaucoup. je suis bien retombée sur la formule demandée.

    Pour démontrer que (Zn(Z_n) est géométrique, est-ce que je dois faire le calcul zn+1zn\frac{z_{n+1}}{z_{n}} ?



  • Oui ça peut marcher,en se servant de la formule trouvé en 1) on doit pouvoir trouver un réel mais bon j'ai pas essayé je peux pas te dire



  • pardon pas un réel mais un complexe



  • ok. merci je vais essayer. on verra bien ce que ça donne.



  • JE pense que le plus simple est de se servir de ce qu'on vient de montrer et de calculer

    ZnZ_n en fonction de Zn1Z_{n-1}

    donc en fonction de zn1z_{n-1} - zn2z_{n-2}



  • Je ne comprend pas ce que vous voulez dire.



  • Il faut partir de ZnZ_n = znz_n - zn1z_{n-1}

    et remplacer znz_n par ce qu'on a trouvé en 1) et avec 2 lignes de calculs on trouve

    ZnZ_n = q (zn1(z_{n-1} - zn2z_{n-2}) = q Zn1Z_{n-1}

    avec la raison q,=,1i2q ,=, \frac{-1-i}{2}



  • d'accord merci je vais faire les calculs. 😄



  • Je viens de faire les calculs et je trouve bien q=1i2\frac{-1-i}{2}.
    Donc (Zn(Z_n) est bien une suite géométrique dont la raison est q.

    Merci.



  • Pour la question suivante , la 2b), je crois qu'il suffit de dire que ZZ_n=(z=(z_1z-z_0)qn1)q^{n-1}
    Et donc ZnZ_n=i(1i2)n1i(\frac{-1-i}{2})^{n-1}



  • bin oui il faut utiliser la forme d'un terme général d'un suite géométrique de premier terme Z1Z_1 et de raison q

    ZnZ_n = ZZ_1qn1q^{n-1}



  • merci



  • Salut, c'est encore moi. Je voulais savoir si quelqu'un pouvait m'aider pour la récurrence (question 3) parce qu'on vient à peine de commencer et j'avouerai que je ne maîtrise pas vraiment. Dans le cours, notre professeur nous a dit qu'il fallait prouver que la propriété était vraie pour une valeur et ensuite montrer qu'elle était vraie pour n+1.

    J'ai montré que pour n=1 la propriété est vraie mais c'est la deuxième partie du raisonnement qui me pose problème.

    Merci à tous pour votre aide.



  • Oui en effet mintenant il faut considérer que la propirété est vraie c'est à dire que :

    zn,=,(1+3i5),[1,,(1i2)n]z_n,=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^n]

    et en déduire que c'est vrai au rang n+1 ; c'est à dire que

    zn+1,=,(1+3i5),[1,,(1i2)n+1]z_{n+1},=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^{n+1}]

    Donc on part de zn+1z_{n+1} et on remplace znz_{n} par ce qu'on a considéré comme vrai et on calcule jusqu'à ce qu'on arrive à ce qu'on veut pour zn+1z_{n+1}



  • Ok. je vais essayer.



  • Il faut partir de

    zn,=,zn1,+,i(1i2)n1z_n,=,z_{n-1},+,i(\frac{-1-i}{2})^{n-1}

    donc zn+1,=,zn,+,i(1i2)nz_{n+1},=,z_{n},+,i(\frac{-1-i}{2})^{n}

    et remplacer znz_n par zn,=,(1+3i5),[1,,(1i2)n]z_n,=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^n]

    Et on doit arriver à ce qu'il faut pour zn+1z_{n+1}



  • Le but de l'opération est de montrer que

    zn+1,=,(1+3i5),[1,,(1i2)n+1]z_{n+1},=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^{n+1}]

    Tu n'as pas le droit de partir de cette expression ! tu dois partir des formules que tu as déjà !



  • En remplaçant j'obtiens :

    zn+1=(1+3i5)[1(1i2)n]+i(1i2)nz_{n+1}=(\frac{1+3i}{5})[1-(\frac{-1-i}{2})^n]+i(\frac{-1-i}{2})^n

    Et ensuite que dois-je faire ? j'ai essayé en développant mais je ne tombe sur rien d'intéressant.



  • Si tu n'y arrive pas en développant, tu dois bien quand même à arriver à une expression plus simple que cette dernière.

    Essaye aussi de développer l'expression de zn+1z_{n+1} à démontrer en remarquant que
    xn+1x^{n+1} = x * xnx^n

    Et esssaye de montrer que les 2 expressions sont égales



  • Zorro
    Le but de l'opération est de montrer que

    zn+1,=,(1+3i5),[1,,(1i2)n+1]z_{n+1},=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^{n+1}]

    Si je pars de cette expression et que je la simplifie un peu , j'obtiens :
    zn+1,=,(1+3i5),[1,,(1i2)n(1i2)]z_{n+1},=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^n(\frac{-1-i}{2})]

    Partant de là je ne vois pas trop où ca me mène.



  • Tu calcules d'un côté

    (1+3i5),[1,,(1i2)n(1i2)]\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^n(\frac{-1-i}{2})]

    et de l'autre

    (1+3i5)[1(1i2)n]+i(1i2)n(\frac{1+3i}{5})[1-(\frac{-1-i}{2})^n]+i(\frac{-1-i}{2})^n

    et tu dois arriver à montrer que ces 2 expresions sont égales



  • MErci beaucoup j'ai trouvé que chacun des expressions était égale à :

    1+3i5(1i2)n(2i15)\frac{1+3i}{5}-(\frac{-1-i}{2})^n(\frac{2i-1}{5})

    Ainsi, la propriété est démontrée car ZZ_{n+1}=Zn=Z_n pourn1n\geq1



  • non zn+1z_{n+1} n'est pas égal à znz_n

    D'un côté tu as calculé zn+1z_{n+1} tu as touvé "X" (je ne sais plus ce que c'est)

    DE l'autre tu as calculé (1+3i5),[1,,(1i2)n+1]\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^{n+1}] et tu as aussi trouvé aussi "X"

    donc zn+1,=,(1+3i5),[1,,(1i2)n+1]z_{n+1},=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^{n+1}]

    ce qu'on cherchait à démontrer !



  • oui désolée je m'emmêle les pinceaux toute seule.



  • Aurais-tu abandonné la suite de cer exo ? ou as-tu réusssi à trouver les solutions de la fin ?

    Ce sujet est fort inteéressant et j'espère que tu as toi aussi apprécié !



  • Non je n'ai ni abandonné ni terminé j'avais juste des devoirs plus urgents à faire.

    Pour la question 4), pour prouver que la similitude directe S est unique, il faut dire que a0a1eta1a2a_{0}\neq{a_{1}} et a_{1}\neq{a_{2}} et que la transformation est de la forme az+b (où a et b sont des compexes et a\neq0) ?



  • Oui avec A1A_1 image de A0A_0 et A2A_2 image de A1A_1 tu as 2 équations à 2 inconnues a et b (faciles à trouver)

    Pour trouver les caractéristiques de S il faut trouver
    le centre = le point invariant
    et pour le rapport et l'angle utiliser le cours



  • Est ce qu'il faut que je dise que par exemple A1A_1 est l'image de A0A_0 par une homothétie (dont je donne le centre et le rapport) et que A2A_2 est l'image de A1A_1 par une rotation (dont je donne l'angle et le centre ) ?


 

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