Résoudre un problème dans le plan complexe à l'aide des suites

Salut à tous, j'ai un devoir à rendre la semaine prochaine et comme il est assez compliqué je m'y prend à l'avance pour vous demander de l'aide.
Voici l'énoncé :

On note P le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O; $u⃗\vec{u}$ , $v⃗\vec{v}$ ). On construit la suite des points $A_n$ ) de la façon suivante :

. $A_0$ =O ;

. $A_1$ est le point d'affixe i ;

. pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, $A_n$ est l'image de $A_{n-2}$ par la similitude directe de centre $A_{n-1}$ , de rapport $sqrt22\frac{sqrt2}{2}$ et d'angle $π4\frac{\pi}{4}$ .

Pour tout entier naturel n, on note $z_n$ l'affixe de $A_n$ .

On considère la suite $Z_n$ ) définie par : pour tout entier naturel $n≥1n\geq1$ , $< s t r o n g > Z$ _n $= z$ n $z</em>{n-1}$ .

$1)$ Démontrer que pour tout entier naturel $n≥2n\geq2$ , $< s t r o n g > z$ _n $< / s t r o n g > = ($ \frac{1+i}{2} $) < s t r o n g > z$ _{n-2} $< / s t r o n g > + ($ \frac{1-i}{2} $strong>z_{n-1}$ .

$2)$ $a)$ Démontrer que la suite $Z_n$ ) est une suite géométrique dont on donnera la raison.

$b)$ En déduire que pour tout entier naturel $n≥1n\geq1$ , $< s t r o n g > z$ n $z</em>{n-1}$ = $i(−1−i2)n−1i(\frac{-1-i}{2})^{n-1}$ .

$3)$ Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n≥1n\geq1$ ,
$strong>z_n$ = $1+3i5[1−(−1−i2)n]\frac{1+3i}{5}[1-(\frac{-1-i}{2})^n]$ .

$4)$ $a)$ Démontrer qu'il existe une unique similitude directe S telle que $S (A$ _0 $A_1$ et $S (A$ _1 $A_2$ .
On déterminera l'expression complexe de S et on donnera ses éléments caractéristiques.
On appellera $ω\omega$ le centre de la similitude S.

$b)$ Démontrer que pour tout entier naturel n, $A$ _{n+1} $S(A_n$ ).

$5)$ On note $S$ \circ $S$ \circ $S$ \circ $S=S^4$
M est un point de P.

$M_1$ =S(M) , $M$ _2 $S(M_1$ ) , $M$ _3 $S(M_2$ ) et M' $S(M_3$ ).

$a)$ Déterminer une relation entre $ω\omega$ $m^{'}$ et $ω\omega$ $m$ .

$b)$ On suppose que M est distinct de $ω\omega$ . Déterminer l'angle( $ωm⃗;ωm′⃗)\vec{{\omega}{m}};\vec{{\omega}{m'}})$ .

$c)$ Démonter que $S^4$ est une homothétie dont on donnera le centre et le rapport.

$6)$ $a)$ Déterminer $lim⁡n→∞ωan\lim_{n \to \infty}{\omega}{a_{n}}$ . Interpréter géométriquement ce résultat.

$b)$ Déterminer $lim⁡n→∞(a0a1+...+anan+1)\lim_{n \to \infty}(a_{0}a_{1}+...+a_{n}a_{n+1})$

Voilà je suis en train de réfléchir à la première question. Je poste l'énoncé et dès que je trouve quelque chose je le posterai.

Merci

Salut

Pour la Premiere question :

La similitude est une homothétie suivie d'une rotation ou l'inverse peu importe
On va avoir une homotéthie sur $A_{n-2}$ de centre $A_{n-1}$ et de rapport √2/2 qui va nous donner un point intermediaire qu'on appelera M ( d'affixe m) auquel on fera subir une rotation et tu vas voir on va retrouver ta formule ::

L'homothétie nous traduit cette égalite:

(√ $2/2)(z_{n-2}$ - $z_{n-1}$ ) = (m - $z_{n-1}$ )

Après développement on obitent

m = (√ $2/2)(z_{n-2}$ - $z_{n-1}$ ) + $z_{n-1}$

La rotation nous traduit cette égalité :

$z_n$ = $z_{n-1}$ + (m - $z$ _{n-1} $em>e^{i</em>π/4}$

Voilà je te laisse développer en remplaçant m par sa valeur trouvé par l'homothétie , tu devrais retomber sur la formule donnée dans la question

merci beaucoup. je suis bien retombée sur la formule demandée.

Pour démontrer que $Z_n$ ) est géométrique, est-ce que je dois faire le calcul $zn+1zn\frac{z_{n+1}}{z_{n}}$ ?

Oui ça peut marcher,en se servant de la formule trouvé en 1) on doit pouvoir trouver un réel mais bon j'ai pas essayé je peux pas te dire

pardon pas un réel mais un complexe

ok. merci je vais essayer. on verra bien ce que ça donne.

JE pense que le plus simple est de se servir de ce qu'on vient de montrer et de calculer

$Z_n$ en fonction de $Z_{n-1}$

donc en fonction de $z_{n-1}$ - $z_{n-2}$

Je ne comprend pas ce que vous voulez dire.

Il faut partir de $Z_n$ = $z_n$ - $z_{n-1}$

et remplacer $z_n$ par ce qu'on a trouvé en 1) et avec 2 lignes de calculs on trouve

$Z_n$ = q $z_{n-1}$ - $z_{n-2}$ ) = q $Z_{n-1}$

avec la raison $\frac{-1-i}{2}$

d'accord merci je vais faire les calculs.

Je viens de faire les calculs et je trouve bien q= $−1−i2\frac{-1-i}{2}$ .
Donc $Z_n$ ) est bien une suite géométrique dont la raison est q.

Merci.

Pour la question suivante , la 2b), je crois qu'il suffit de dire que $Z$ _n $= (z$ _1 $- z$ _0 $q^{n-1}$
Et donc $Z_n$ = $i(−1−i2)n−1i(\frac{-1-i}{2})^{n-1}$

bin oui il faut utiliser la forme d'un terme général d'un suite géométrique de premier terme $Z_1$ et de raison q

$Z_n$ = $Z$ _1 $q^{n-1}$

merci

Salut, c'est encore moi. Je voulais savoir si quelqu'un pouvait m'aider pour la récurrence (question 3) parce qu'on vient à peine de commencer et j'avouerai que je ne maîtrise pas vraiment. Dans le cours, notre professeur nous a dit qu'il fallait prouver que la propriété était vraie pour une valeur et ensuite montrer qu'elle était vraie pour n+1.

J'ai montré que pour n=1 la propriété est vraie mais c'est la deuxième partie du raisonnement qui me pose problème.

Merci à tous pour votre aide.

Oui en effet mintenant il faut considérer que la propirété est vraie c'est à dire que :

$zn,=,(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n]z_n,=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^n]$

et en déduire que c'est vrai au rang n+1 ; c'est à dire que

$zn+1,=,(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n+1]z_{n+1},=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^{n+1}]$

Donc on part de $z_{n+1}$ et on remplace $z_{n}$ par ce qu'on a considéré comme vrai et on calcule jusqu'à ce qu'on arrive à ce qu'on veut pour $z_{n+1}$

Ok. je vais essayer.

Il faut partir de

$zn,=,zn−1,+,i(−1−i2)n−1z_n,=,z_{n-1},+,i(\frac{-1-i}{2})^{n-1}$

donc $zn+1,=,zn,+,i(−1−i2)nz_{n+1},=,z_{n},+,i(\frac{-1-i}{2})^{n}$

et remplacer $z_n$ par $zn,=,(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n]z_n,=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^n]$

Et on doit arriver à ce qu'il faut pour $z_{n+1}$

Le but de l'opération est de montrer que

$zn+1,=,(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n+1]z_{n+1},=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^{n+1}]$

Tu n'as pas le droit de partir de cette expression ! tu dois partir des formules que tu as déjà !

En remplaçant j'obtiens :

$zn+1=(1+3i5)[1−(−1−i2)n]+i(−1−i2)nz_{n+1}=(\frac{1+3i}{5})[1-(\frac{-1-i}{2})^n]+i(\frac{-1-i}{2})^n$

Et ensuite que dois-je faire ? j'ai essayé en développant mais je ne tombe sur rien d'intéressant.

Si tu n'y arrive pas en développant, tu dois bien quand même à arriver à une expression plus simple que cette dernière.

Essaye aussi de développer l'expression de $z_{n+1}$ à démontrer en remarquant que
$x^{n+1}$ = x * $x^n$

Et esssaye de montrer que les 2 expressions sont égales

Zorro
Le but de l'opération est de montrer que

$zn+1,=,(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n+1]z_{n+1},=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^{n+1}]$

Si je pars de cette expression et que je la simplifie un peu , j'obtiens :
$zn+1,=,(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n(−1−i2)]z_{n+1},=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^n(\frac{-1-i}{2})]$

Partant de là je ne vois pas trop où ca me mène.

Tu calcules d'un côté

$(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n(−1−i2)]\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^n(\frac{-1-i}{2})]$

et de l'autre

$(1+3i5)[1−(−1−i2)n]+i(−1−i2)n(\frac{1+3i}{5})[1-(\frac{-1-i}{2})^n]+i(\frac{-1-i}{2})^n$

et tu dois arriver à montrer que ces 2 expresions sont égales

MErci beaucoup j'ai trouvé que chacun des expressions était égale à :

$1+3i5−(−1−i2)n(2i−15)\frac{1+3i}{5}-(\frac{-1-i}{2})^n(\frac{2i-1}{5})$

Ainsi, la propriété est démontrée car $Z$ _{n+1} $Z_n$ pour $n≥1n\geq1$

non $z_{n+1}$ n'est pas égal à $z_n$

D'un côté tu as calculé $z_{n+1}$ tu as touvé "X" (je ne sais plus ce que c'est)

DE l'autre tu as calculé $(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n+1]\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^{n+1}]$ et tu as aussi trouvé aussi "X"

donc $zn+1,=,(1+3i5),[1,−,(−1−i2)n+1]z_{n+1},=,\left(\frac{1+3i}{5}\right),[1,-,(\frac{-1-i}{2})^{n+1}]$

ce qu'on cherchait à démontrer !

oui désolée je m'emmêle les pinceaux toute seule.

Aurais-tu abandonné la suite de cer exo ? ou as-tu réusssi à trouver les solutions de la fin ?

Ce sujet est fort inteéressant et j'espère que tu as toi aussi apprécié !

Non je n'ai ni abandonné ni terminé j'avais juste des devoirs plus urgents à faire.

Pour la question 4), pour prouver que la similitude directe S est unique, il faut dire que $a0≠a1eta1≠a2a_{0}\neq{a_{1}} et a_{1}\neq{a_{2}}$ et que la transformation est de la forme az+b (où a et b sont des compexes et a $≠\neq$ 0) ?

Oui avec $A_1$ image de $A_0$ et $A_2$ image de $A_1$ tu as 2 équations à 2 inconnues a et b (faciles à trouver)

Pour trouver les caractéristiques de S il faut trouver
le centre = le point invariant
et pour le rapport et l'angle utiliser le cours

Est ce qu'il faut que je dise que par exemple $A_1$ est l'image de $A_0$ par une homothétie (dont je donne le centre et le rapport) et que $A_2$ est l'image de $A_1$ par une rotation (dont je donne l'angle et le centre ) ?

Non tpour la rédaction il faut écrire : montrons que l'on peut trouver une similitude S telle que $A_1$ soit l'image de $A_0$ par S et que $A_2$ soit l'image de $A_1$ par S.

Si une telle similitude existe il doit exister 2 complexes a et b tels que z' = az + b (avec z' affixe de M' image par S de M d'affixe z)

Soit
$z_1$ = $az_0$ + b et
$z_2$ = $az_1$ + b

Pour trouver a et b je dois remplacer par les valeurs que je connais c'est ca ?

Est ce que ca donne i=a*0+b donc b=i
et $z_2$ =ai+i=i(1+a)

Et donc d'après l'expression trouvée à la question 1), on trouve : $z2=(1−i2)iz_{2}=(\frac{1-i}{2})i$
Ainsi, $(1−i2)i=i(1+a)(\frac{1-i}{2})i=i(1+a)$

A la fin des calculs je trouve a= $−1+i2-\frac{1+i}{2}$

Oui c'est cela tu as bien trouvé a non nul et b ; donc S existe.

super merci je vais noter ca au propre et chercher la suite .

On nous demande de déterminer l'expression complexe de S , donc de manière générale. Est ce qu'elle s'écrit comme ca : f(z)= $−(1+i2)z+i-(\frac{1+i}{2})z+i$ ?

Je pense que tu es capable de faire la réponse toi même et que tu n'as pas attendu que je te réponde pour continuer à chercher, comme je te l'indiquais plus tôt, les éléments caractéristiques de cette similitude c'est à dire le centre, le rapport et l'angle !

En effet, j'ai trouvé que le centre est le point $ω\omega$ d'affixe $3i+15\frac{3i+1}{5}$ .
Le rapport est le module de a donc le rapport est tel que k=( $s q r t$ 2)/2 et l'angle est l'argument de a donc $α=−3π4\alpha=-3\frac{\pi}{4}$

Comment dois-je m'y prendre pour démontrer que pour tout entier naturel n, $A$ _{n+1} $S(A_n$ ) ?

Est ce que cela veut dire (d'après la question précédente) que $z_{n+1}$ = $−(1+i2)zn+i-(\frac{1+i}{2})z_{n}+i$ ?

Moi j'ai trouvé
Ω d'afixe ω = 1 + i

k = √2 / 2

Θ = -π/4

Mais je me suis peut-être trompée

Quel calcul avez-vous fait pour trouver $ω\omega$ =1+i ? Parce que j'ai refait mon calcul et je retombe sur ce que j'ai trouvé en premier . Et pour trouver l'angle égal à $p i$ /4 ?

Oui je crois que j'ai fait des erreurs de calcul et ta solution semble plausible !

Pour montrer que $A_{n+1}$ est image de $A_n$ par S il faut en effet montrer que

$zn+1,=,−(1+i2)zn,+,iz_{n+1},=,-(\frac{1+i}{2})z_{n},+,i$