3. Résolution d'un système - PGCD

Résolution d'un système - PGCD

  • N

    Bonjour.
    J'ai un DM à rendre demain mais je bloque sur la dernière question.
    Pourriez-vous m'aider svp?
    Merci par avance.

    Voici l'énoncé:
    On cherche es couples (a,b) d'entiers naturels non nuls vérifiant le système
    a-b=D
    (S){a*b=20D où D est le PGCD des entiers a et b.

    1. Déterminez l'ensemble de tous les divisers entiers naturels de 20.

    J'ai trouvé 1;2;4;5;10;20

    1. Soit (a,b) un couple solution du système (S), on pose a=Da1 et b=Db1
      Justifiez les affirmations suivantes:
      ¤ a1 et b1 divisent 20:

    D'après le système (S):
    {a1-Db1=D {a1-b1=1
    D    a1Db1=20D donc a1b1=20
    Si a1    b1=20, alors a1 et b1 divisent 20
    ¤ a1=b1+1:

    Puisque a1-b1=1, alor a1=b1+1

    1. Déterminez les couples (a1,b1) de divisers de 20 qui vérifient a1=b1+1.

    ¤ a1 et b1 sont premiers entre eux d'après le théorème de Bezout, car
    a1-b1=1 (a1u+b1v=1avec u=1 et v=-1)
    ¤ Les diviseurs de 20 premiers entreeux sont (1;2) et (4;5)
    ¤ Les couples (a1,b1) de diviseurs de 20 tels ue a1=b1+1 sont donc: (2;1) et (5;4)

    1. Résolvez le système (S)

    JE NE SAIS PAS COMMENT FAIRE

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