Cercle circonscrit à un triangle



  • Bonsoir,

    J'ai un peu honte : je ne retrouve pas la démonstration pour prouver que le lieu des sommets d'un triangle ABC est un cercle si on fait varier le point B à angle ABC constant...

    Pourriez vous m'indiquer le début de la démo ?

    Merci.

    Olivier



  • Bonsoir,

    As tu vu une propriété qui dit que l'angle qui intercepte (ayant son sommet sur le cercle) un diamètre est (obligatoirement) un angle droit ! (Je ne sais plus en quelle classe on voit ceci)

    Donc si [AC] est un diamètre n'importe quel point B qui sera sur le cercle de diamètre [AB] sera tel que l'angle ABC intercepte un diamètre [AB] donc c'est un angle droit



  • Oui, mais si AC n'est pas un diamètre ? J'ai du mal m'exprimer... Je formule autrement :

    J'ai un triangle ABC quelconque, et son cercle circonscrit.

    Je cherche à montrer que l'angle ABC = angle ADC pour tout D appartenant à ce cercle.



  • bin 2 angles dont les sommets sont sur le cercle et qui interceptent le même arc AC sont égaux !



  • Je sais bien, mais c'est ce que je veux démontrer !



  • Bin pourque l'angle ADC soit égal à l'angle ABC il faut que D soit sur le même cercle que A et qui passe par B et C



  • Oui, mais pourquoi ? Comment on démontre cette propriété ? C'est ce que je voudrais savoir...



  • coucou
    ils demandent cette démonstration en 3ème 😕 j'ai devant moi par hasard un livre de cours de ce niveau et je ne vois pas de démo
    ils l'a donnent "cash"
    as - tu le droit d'utiliser le fait que :
    "l'angle inscrit dans un cercle est égal à la moitié de l'angle au centre correspondant"



  • En utilisant cette propriété, la démonstration est évidente, car l'angle au centre correspondant est le même pour tout point D. Il faut alors peut être démontrer cette dernière propriété.



  • Qui se démontre ainsi :
    Soit un triangle ABC et O le centre du cercle inscrit.
    Les triangles AOC, COA, AOB sont isocèles, dont les angles de base égaux.

    Pour AOC, on a AOC + 2ACO = 180
    Pour BOC, on a BOC + 2OCB = 180

    Par ailleurs AOC +BOC+BOA = 360 → AOC +BOC = 360 - BOA

    En faisant la somme des deux premières égalités :
    AOC +BOC +2(ACO + OCB) = 360
    360 - BOA + 2 ACB = 360 d'où

    BOA = 2ACB, et cela pour tout C sur le cercle. Donc, comme l'angle AOB est constant, on a bien ACB = ADB pour tout D sur le cercle circonscrit au triangle ACB.

    Ouf...

    Merci pour la piste.



  • J'ai déplacé le sujet dans le forum de 1ère car il n'avait rien à faire dans celui de 3ème.

    Et moi je répondais comme à un élève de 3ème ! pas un élève de 1ère S !


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