les dérivées




  • J'ai eu une feuille de problemes sur les dérivées et il y a 2 exercices que je n'arrive pas à faire:est-ce qualqu'un pourrait m'aider ?

    Voici les problèmes

    • déterminer m pour que le graphique de la fonction admette au point d'abscisse 0 une tangente // à d=y=5x

    fm: R > R : x > x2 + mx - 3

    ( m - 1 ) x + 1
    ( m E R )

    • on considère la courbe d'équation y= x2 ( x-3)
      1° quels sont les points de cette courbe où la tangente à la courbe est // à ox
      2° quels sont les points de contact des tangentes à la courbe // à la droite y+3x=0?***

  • Modérateurs

    Salut.

    Exercice 1:

    Pour que f admette en 0 une tangente parallèle à y=5x, il suffit que f'(0)=5. Je rappelle que la dérivée d'une fonction en un point est le coefficient de la tangente en ce point.

    Calculons f'(0):

    f(x)=(x²+mx-3)/ [(m-1)x+1]

    Petites précisions évidentes mais je les dis au cas où.
    m n'est pas une variable! On le fixe. Donc on ne dérive pas f selon m et x, mais uniquement selon x.
    Pour calculer la dérivée on dérive d'abord f(x), puis on exprime f'(x) pour x=0. Par contre on ne calcule pas f(0), puis on le dérive, parce que sinon ça fait toujours 0.

    Soit u(x)=x²+mx-3, donc u'(x)=2x+m.
    Soit v(x)=(m-1)x+1, donc v'(x)=m-1.

    f=u/v et f'=[u'v-uv']/v²

    En remplaçant:
    f'(x)=[(2x+m)((m-1)x+1)-(x²+mx-3)(m-1)]/[(m-1)x+1]²

    On ne s'embête pas à tout simplifier. On remplace tout de suite x par 0.
    f'(0)=[(m)(+1)-(-3)(m-1)]/1²
    f'(0)=m+3(m-1)
    f'(0)=4m-3

    Comme f(0)=5=4m-3.
    Alors on trouve m=2.

    Sauf erreur, au moins le raisonnement est là.

    Exercice 2:

    1°) On raisonne de la même manière. (Ox) est représenté par la courbe d'équation y=0. Donc de coefficient directeur nul.

    y=x²(x-3)=x³-3x²
    y'=3x²-6x
    (ou on peut utiliser la formule de dérivée du produit dès le début)

    y'=0 <=> 3x²-6x=0
    y'=0 <=> x²-2x=0

    On ne simplifie surtout pas par x sans précaution! Car cette équation est vérifiée pour x=0, alors que x-2=0 non.

    Il faut écrire:
    x²-2x=0 <=> x=0 ou x-2=0

    On en déduit que x=0 ou x=2.

    (On pouvait aussi écrire x²-2x=x(x-2)=0.)

    2°) De même, le coefficient directeur des tangentes est égal à -3.

    y'=-3=3x²-6x

    Donc 3x²-6x+3=0.
    Ou x²-2x+1=0.

    Comme (a+b)²=a²+2ab+b², si a=x et b=-1 (et oui il suffit d'apprendre une seule des deux formules):

    x²-2x+1=(x-1)²=0

    Donc x=1, c'est une racine double.
    Il n'existe donc qu'une seule tangente de coefficient directeur -3.

    Il reste à chercher en quel point M la tangente est tangente à la courbe.

    On a déjà sont abscisse: M(1;?)

    On exprime y en 1:
    y(x)=x²(x-3)
    y(1)=-2

    D'où, le point de tangence est le point M(1;-2).

    Il ne reste plus qu'à rédiger ça proprement, en enlevant ce qui est superflu et en rajoutant les conclusions(en conditions réelles d'examen). Mais comme il fallait que je me dépêche, je ne les ai pas faites. Désolé pour l'attente.

    @+


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