Etudier la forme géométrique, colinéarité dans le plan complexe

salut tout le monde
j'ai de nouveau un DM sur els nombres complexes
j'ai commencé a faire des trucs mais je vais d'abord vous noter l'énoncé avant de vous dire ce que j'ai fait

Le plan P est un repere orthonormal avec 2cm pour unité graphique.

On considère l'équation (1) dans z²-4z+8=0
a. Résoudre (1). z1 et z2 sont els solutions de cette équation et z1 est la solution dont la partie imaginaire est positive.
b. Déterminer la forme trigonométrique de z1 et z2.
c. PLacer dans le plan les points A et B d'affixes respectives z1 et z2.
On appelle f la transormation géométrique qui à tout point M(z) distinct de O et associe le poitn M'(z') tel que z'= 1/z barre.

*Zorro = doit-on comprendre * $\frac{1}{,\bar {z},}$ ?

Calculer les affixes des points A'=f(A) et B'=f(B).
PLacer ces poitns sur la figure.

Soit M un point quelconque distinct de O; on pose M'=f(M)..
a. Montrer que OM×OM'=1
b. Montrer que les vecteurs OM $→^\rightarrow$ et OM' $→^\rightarrow$ sotn colinéires et de meme sens, en déduire que O, M et M' sont alignés.
c. Construire M'=f(M) lorsque le point M est sur le cercle de centre O et de rayon 1/2
Soit z un complexe non nul, z' est le nombre complexe tel que z'= 1/z barre $\frac{1}{,\bar {z},}$ ???

Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes:
|z-2|=2
|1-2z' barre le tout sur z' barre| = 2
|1/2-z'|= |z'|

les * ne sont pas de smultipliées, elles servent juste à séparer les 3 expressions, mdr

$∣ z - 2 ∣, =, 2$

$∣1−2zˉz′ˉ∣,=,2\left| \frac{1-2\bar {z}}{\bar {z'}} \right|,= , 2$

$∣12−z′∣,=,∣z′∣\left| \frac{1}{2} - z'\right|,= , |z'|$

Soit C le cercle de centre le point I d'affixe et de rayon 2.
Montrer alors que si le point M est sur le cercle C privé du point O, alors le point M'=f(M) est situé sur une droite D dont on donnera une équation. Placer C er D sur la figure.

voila

merci beaucoup

Intervention de Zorro = traduction des expressions illisibles en LaTeX

sinon j'ai commencé des trucs notemment pour le 1.

a) alors j'ai fais le a ce qui me donne: j'ai résolu l'équation avec delta et j'obtiens un delta égal à 112
il est donc positif
donc z1= 2+ (√122/2i) et z2 = 2-(√112/2i)
est ce que la c'ets juste,??
sinon pour le b) je ne sais plus comment on met osus la forme trigo, j'arrive pas a refaire
pour le petit c) ca va aller tout seul il me faut jutse toruver le b) d'abord
voila

salut mandi ^^
cela faisait longtemps !! tu vas bien ?! lol

je ne trouve pas du tout comme toi pour les racines je trouve un delta négatif :s
tu me décris ton calcul ?!

Salut.

Pour écrire les modules, tape sur Alt Gr+6 (si tu as un clavier français). Ca te donnera | . La touche Alt Gr sert à accéder aux symboles en bas à droite des touches, comme quand tu tapes un @ par exemple.

Plutôt que d'écrire "le tout sur", utilise des parenthèses s'il-te-plaît.

1.a) Quand un discriminant est positif ça ne te choque pas de trouver des solutions réelles ? Grrr... recalcule-le, les solutions sont vraiment simples, mais non-réelles.

1.b) Pour mettre sous forme trigonométrique, commence par calculer le module de ton nombre complexe : |a+ib| = √(a²+b²). C'est ça que tu mettras en facteur dans ton expression. tu vas alors être ramenée à une expression de la forme √(a²+b²)*(c+id). Et là, c et d représentent un cosinus et un sinus de l'argument de ton complexe. Dans le cas présent, pas besoin de formules compliquées, ça se voit normalement.

@+

oula miumiu
bien sur que je me suis goiurré
je csis pas pourquoi mais j'avais toruvé b²=12
c'est pour sa que mon delta était positif
en réalité il est egal à -16
donc à (4i)²
donc z1= 2+2i et z2= 2-2i
c'est déja plus logique cette fois ci non??
lol

Oui (je réponds en l'absence de miumiu) c'est plus juste !

Et avec les bonnes valeurs pour les affixes de A et B tu arrives à avancer ?

euh attend
je crois ke je trouve pmour zA: 1/z1 c'est a dire 1/2+2i et pour zB: 1/2-2i
par contre je suis pas sur de mon coup la
lol
sa en fait c'est pour la question 2
parce que pour la 1,b, j'arrive plsu à mettre sous la forme trigo
lol

Essaye de te relire et de corriger tes fautes de frappe et oublie les abréviation tu n'es ni sur ton portable ni sur MSN !

Doit-on conprendre que $\frac{1}{,\bar {z},}$ c'est le conjugué au dénominateur ?

donc il faut calculer $za′,=,1,z1ˉ,z_{a'},=, \frac{1}{,\bar {z_1},}$

et $zb′,=,1,z2ˉ,z_{b'},=, \frac{1}{,\bar {z_2},}$

et bien c'est pas ce que j'ai fait?

si $z_1,=,2,+,2i$ alors $z1ˉ,≠,2,+,2i\bar {z_1} ,\neq ,2,+,2i$ il me semble non ?

ouais tout à fait

re
tu en es où maintenant tu as fini ?!

non j'ai pas fini
faudrait que je fasse les questions dans l'ordre aprce que la je suis perdue
lol
donc j'ai fait 1)a et 1)c
il me faut de l'aide pour la 1)b)
et apres je pourrais passer au 2) qui sera rapide
merci bcp

Pour trouver la forme trigonométrique en fonctiond de la forme algébrique il n'y a rien dans ton cours ? Il n'y a eu aucun exercice déjà fait en classe ?

Tu m'étonnes ! Regarde ton cours ou ce site : http://www.edun...rigoexpo.htm

si il y a eu un semblant de ocurs mais pas d'exercices ou on passe de la forme algébrique à la trigo.
docn c'est pas facile sans exemples
lol

As-tu regardé le site que je t'ai indiqué ?

La méthode est la même que celle vue en 1ère pour passer des coordonnées cartésienne aux coordonées polaires.

En effet si z = x + iy alors (x;y) sont les coordonnées cartésiennes du point M d'affixe z

et si z = r (cosϑ + i sinϑ ) alors r = OM et ϑ = angle $i^→$ , $OM^→$ ) avec M d'affixe z

J'ai essayé de comprendre les expressions du 4 en les traduisant en LaTeX ! Tu me diras si c'est cela ou autre chose !

P.S. pour séparer des expressions il y a d'autres solutions que des * : sauter une ligne par exemple !

ouais c'est bon ce sont bien les bonnes expressions
merci

j'ai regardé ton exo zorro mais très honnetement
c'est ce que j'avais dans moncours
mais en fait
pour que je capte mieux, il me faudrait un exemple concret jpense
lol

Pour mettre sous forme trigonometrique d'un nombre complexe z il faut calculer son module , le factoriser par son module et reconnaitre des sinus et des cosinus déjà vu... exemple :

Z = 2 + 2i alors |Z| = √8 = 2√2

je factorise Z par son module ce qui me donne :
Z = 2√2( 1/√2 + i√2) je multiplie les deux fractions par √2 ce qui me donne :
Z = 2√2( √2/2 + i√2/2) et là je connais des valeurs de cosinus et de sinus evidentent que l'on trouve avec l'angle pi/4 il s'agit de l'argument de Z , je peux ecrire donc :

Z = 2√2( cos(pi/4) + isin(pi/4))

c'est ça la forme trigonométique , grace à cette ecriture on reconnait directement le module du nombre donc sa distance à l'origine sur le plan complexe ( |Z| ) ainsi que son argument : l'angle formée par la droite joignant l'origine à Z et l'axe des absisse (l'axe réel) sur le plan complexe

merci bcp pour cette explication

de rien maintenant vas-y donne moi les formes trigonomètriques de z1 et de z2

ben pour z1 c'est celle que tu m'as donné

oui et pour z2 .... ^^

(tu peux t'aider du graphique !)

z=2-2i donc |z|=√8=2√2
c'est ca jusqu'à la??

oui oui c'est ça maintenant factorise

au final pour z2, on obtient: 2√2(cos $p i$ /4 - isin $p i$ /4)
c'est cela??

T'y est presque , ton resultat est juste mais c'est mieu quand tu l'ecris
2√2(cos- $p i$ /4 + isin- $p i$ /4) ce qui revient au meme par parité du cosinus et impartité du sinus mais comme je doute que c'est ce à quoi tu penser je vais reprendre :

il faut toujours que la forme trigonometrique s'ecrive de la sorte :

z = |z|(cos(x) + isin(x)) avec x l'argument de l'angle . le + est indispensable donc on va reprendre la construction de z2

| $z_2$ |= 2√2 ça c'est juste donc quand on factorise on obtient :

$z_2$ = 2√2 ( √2/2 - i√2/2)

ensuite tu regarde le cercle trigonometrique et tu te pose la question : Quel angle a pour cosinus √2/2 et pour sinus -√2/2 , il y en a qu'un seul c'est - $p i$ /4 donc de là tu transformes l'ecriture et tu obtient :

$z_2$ = 2√2(cos- $p i$ /4 + isin- $p i$ /4)

merci bcp

ensuite pour le petit 2
comment je m'y prend??
donc je voulais faire pour affixe de A'=f(A):
z'A=1/z1
c'est bon ou pas?

Relis ma réponse du 15.02.2007 à 11h35

ouais c'est ce que j'ai fait

Et qu'est ce que tu trouves ? pour les affixes de A' et B' ?

ben c'est 1/2+2i barre et l'autre c'est 1/2-2i barre
mais apres je sais pas trop ce que sa donne
voila

Bon bin il va falloir s'y mettre

Ce n'est pas 1/2+2i barre et 1/2-2i barre c'est 1/((2+2i)barre) et 1/((2-2i)barre) soit

$1,2+2iˉ,,,,et,,,1,2−2iˉ,\frac{1}{,\bar {2+2i},} , , , et , , , \frac{1}{,\bar {2-2i},}$

Si on sait que le conjugué de z = x + iy est $\bar {z} ,= , x ,- ,iy$

quels sont donc les conjugués de 2 + 2i et 2 - 2i ???

Donc il faut donc calculer des inverses de ces conjugués ! Donc il faut calculer des fractions avec des i au dénominateur ! Pour les faire disparaître on va utiliser la bonne méthode qui marche à tous les coups = multiplier le numérateur et le dénominateur de ces fractions par le conjugué du dénominateur !!! Il faut absolument savoir cela !

ah ouais
multiplier par le conjugué
j'avais oublié sa
et oui j'ai pas encore révisé
lol
dis moi zorro, est ce que tu sera la sur les coup de 5h, toi ou miumiu??
pare que la faut que j'y aille en fait??

Et tu oses faire des exercices en avouant que tu n'as pas appris ton cours !!! Tu crois que c'est la bonne méthode ? Tu crois peut-être qu'on va faire ton travail à ta place !

Pour travailler de façon efficace il n'y a qu'une méthode = apprendre son cours et refaire les exercices faits en classe et après chercher les exos donnés !!!

Tu as intérêt à revenir avec un peu plus de travail effectué .... On na va pas faire demi-question après demi-question ! En terminale S il faut s'y mettre de façon moins dilettante ! On ne sera pas à côté de toi le jour du Bac ! Et si tu as pris de si mauvaises habitudes, il va être difficile de les combattre en 3 mois = le temps qui te reste avant l'épreuve !

jle connais mon cours
simplement je l'ai pas révisé c'est tout

pour zb' je trouve 1(2+2i)/(2-2i)(2+2i)
et pour za'= 1(2-2i)/(2+2i)(2-2i)
bon apres il faut juste que je réduise et je te dis ce que je toruve

pour zb' je trouve 1(2+2i)/(2-2i)(2+2i)
et pour za'= 1(2-2i)/(2+2i)(2-2i)
bon apres il faut juste que je réduise et je te dis ce que je toruve