le cas générales des fonction homographique...



  • Bonjours à tous, j'ais un DM à faire, alors voici mon énoncé et mes réponse.
    On considère la fonction h définie par:

    h(x)=(ax+b)/(cx+d)

    1)- préciser l'ensemble de définition Dh de la fonction h, puis justifier qu'elle est dérivable sur Dh.

    -> Dh=R{-d}; cette fonction est dérivable sur Dh, car h(x) est une fraction rationnelle..

    2)- justifier que H admet une asymptote horizontale d'équation y=a/c ainsi qu'une asymptote verticale d'équation x=-d/c.

    -> h(x)=(ax+b)/(cx+d); limite quand x->+∞ de h(x)=a/c; limite quand x->-∞ de h(x)=a/c; et limite quand x->-d/c de h(x)=∞. Alors h(x) admet les deux asymptotes.

    3)- montrer que le point d'intersection de ces deux asymptotes est cente de symétrie de la courbe H.

    -> alors là je ne comprned pas du tout comment je pourrais faire.

    4)- calculer h'(x), puis montrer que h'(x) est du signe de ad-bc.

    ->Si x≠-d/c, alors h'(x)=(ad-bc)/(cx+d)². car (cx+d)²>0 car un carré est toujours positif. Donc le signe de h'(x) dépend du signe de: ad-bc.

    5)-En déduire les deux types de tableaux de variations possibles de la fonction h.
    ->Je vois pas la non plus

    6)- En déduire les deux types de rerprésentations graphiques de ce genre de fonction.
    -> Je pense que sa doit être la représentation graphique de la fonction carré, mais je ne suis sur de rien.

    Merci de m'aider car je suis un peu perdu...

    *Intervention de Zorro = j'ai un peu aéré tout cela pour le rendre plus agréable à lire pour mes pauvres yeux fatigués 😄 *



  • Bonjour,

    1. Ok en précisant que le numérateur ne s'annulant pas sur DhD_h alors h est dérivable sur DhD_h

    2. Ok sauf que c'est la courbe repréentant h qui admet une asymptote, pas la fonction (questionde rigueur dans la rédaction)

    3. Il faut trouver les coordonnées du point d'intersection des 2 asymptotes et utiliser ce que tu as vu en couurs pour montrer qu'un point A(a,b) est centre de symétrie de la courbe représentant une fonction

    4. Ok

    5. il y a 2 cas

    si ad - bc > 0 alors on a un premier tableau de variations

    si ad - bc < 0 alors on a un deuxième tableau de variations

    1. sûrement rien à voir avec la fonction carré mais peut-être une autre fonction de référence : fais des essais sur ta calculatrice avec des nombre a , b , c et d que tu choisiras ; cela te guidera même si cela n'est pas une preuve.


  • ok merci mais pour la question 6 y aurait -il un moyen de la démontrer?



  • bin regarde le tableaux de variations obtenus puisque c'est la question !

    En première S je ne sais pas comment tu peux le démontrer ! Tu peux peut-être dire que les tableaux de variations te font penser à celui de la fonction ???


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