sujet type bac sur les fonctions asymptotiques


  • B

    bonjour, j'ai besoin de votre aide pur la vérification d'un exo assez compliqué pour moi.

    la fonction fffest définie par f(x)=x3+10xx2+1f(x)=\frac{ x^3+10x}{x^2+1}f(x)=x2+1x3+10x

    on note cfcfcf sa courbe dans un repère orthonormé (o,i⃗,j⃗)(o,\vec{i},\vec{j})(o,i,j)

    I)
    1)factoriser le polynome suivant p(x)=x2−7x+10p(x)=x^2-7x+10p(x)=x27x+10
    je trouve : p(x)=(x−10)2p(x)= (x-\sqrt{10})^2p(x)=(x10)2

    2)En déduire une factorisation de g(x)=p(x2)g(x)=p(x^2)g(x)=p(x2)

    On prend x=x2x=x^2x=x2 alors p(x2)=p(x)=g(x)p(x^2)=p(x)=g(x)p(x2)=p(x)=g(x)

    3)Déterminer le signe de g(x)g(x)g(x) sur R
    je pense que si g(x)=p(x)g(x)=p(x)g(x)=p(x) alors g(x)g(x)g(x) est du même signe que p(x)p(x)p(x) sur R
    Quelque soitx≠0x\ne 0x=0; x2−7x+10≠0x^2-7x+10\ne 0x27x+10=0
    alors x2≥0x^2\ge 0x20
    −7x≤0-7x\le 07x0 et 10≥010\ge 0100 donc g(x)g(x)g(x) est positif.

    II) etude de fff.
    4)Préciser l'ensemble de définition et de dérivabilité de fff.
    df=r−1,1df =r{-1,1}df=r1,1
    fff est dérivable car elle est une fonction rationnelle.

    5)etudier la parité de fff et expliquer pourquoi on peut restreindre son étude à [0;+∞[[0;{+}\infty [[0;+[

    si f(x)=−f(xf(x) = -f(xf(x)=f(x) alors fff est paire et
    si f(x)=f(−x)f(x) =f(-x)f(x)=f(x) alors fff est impaire

    f(x)=x3+10xx2+1f(x)=\frac{ x^3+10x}{x^2+1}f(x)=x2+1x3+10x

    f(−x)=x3−10xx2+1f(-x)= \frac{x^3-10x}{x^2+1}f(x)=x2+1x310x

    f(x)≠f(−x)f(x) \ne f(-x)f(x)=f(x)dons fff est paire

    1. a)Déterminer la limite de fff en +∞{+}\infty+

    f(x)=x3+0x2+10x+0x2+0x+1f(x)= \frac{x^3+0x^2+ 10x+0}{x^2+0x+1}f(x)=x2+0x+1x3+0x2+10x+0

    comme fff est une fonction rationnelle alors
    lim⁡x→+∞f(x)=\lim _{x \rightarrow {+} \infty}f(x) =limx+f(x)= limite des termes de plus haut degre qui sont x3x^3x3 et x2x^2x2

    alors lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x3=+∞\lim _{x \rightarrow {+} \infty}f(x) = \lim _{x \rightarrow {+} \infty}x^3={+}\inftylimx+f(x)=limx+x3=+
    b)montere que la droite δ\deltaδ d'équation y=xy=xy=x est asymptote à cfcfcf en +∞.
    je ne sais pas faire.
    c) préciser la position relative de cfcfcf et de δ\deltaδ.
    idem, position relative???

    1. a) montrer que pour tout réel xxx: f′(x)=g(x)(x2+1)2.f'(x)=\frac{g(x)}{(x^2+1)^2}.f(x)=(x2+1)2g(x).

    f(x)=x3+10xx2+1f(x)=\frac{x^3+10x}{x^2+1}f(x)=x2+1x3+10x alors

    f′(x)=(3x2+10)(x2+1)−(x3+10x)(2x)(x2+1)2f'(x)=\frac{ (3x^2+10)(x^2+1)-(x^3+10x)(2x)}{(x^2+1)^2}f(x)=(x2+1)2(3x2+10)(x2+1)(x3+10x)(2x)

    =>f′(x)=(3x4+3x2+10x2+10)−(2x4+20x2)(x2+1)2f'(x)=\frac{(3x^4+3x^2+10x^2+10)-(2x^4+20x^2)}{(x^2+1)^2}f(x)=(x2+1)2(3x4+3x2+10x2+10)(2x4+20x2)

    => f′(x)=x4−7x2+10(x2+1)2f'(x)=\frac{x^4-7x^2+10}{(x^2+1)^2}f(x)=(x2+1)2x47x2+10 =g(x)(x2+1)2\frac{g(x)}{(x^2+1)^2}(x2+1)2g(x) =p(x)(x2+1)2=\frac{p(x)}{(x^2+1)^2}=(x2+1)2p(x) =p(x2)(x2+1)2.=\frac{p(x^2)}{(x^2+1)^2}.=(x2+1)2p(x2).

    b) en deduire le signe de f′(x)f'(x)f(x) sur [0;+∞[.[0;{+}\infty[.[0;+[.
    g(x)g(x)g(x) est positif sur [0;+∞[[0;{+}\infty[[0;+[ et un carré est toujours positif, alors f′(x)f'(x)f(x) est positif strictement sur [0;+∞[[0;{+}\infty[[0;+[
    c)dresser un tableau de variation complets de fff sur [0;+∞[.[0;{+}\infty[.[0;+[.
    je ne comprend pas...

    8)donner une équation de la tengante au point 0 et construire cfcfcf.
    unité:1cm

    Bon ben voila la fin de cet exercice je vous remercie d'avance pour votre aide...

    *miumiu mise au LaTeX (ouf) lol *


  • M

    coucou
    alors on va commencer par le commencement lol
    benja
    bonjour, j'ai besoin de votre aide pur la vérification d'un exo assez compliqué pour moi.

    la fonction f est définie par f(x)=(x³+10x)/x²+1
    on note Cf sa courbe dans un repère orthonormé (o,i,j)
    I)
    1)factoriser le polynome suivant P(X)=X²-7X+10
    je trouve : P(X)= (X-√10)²

    je ne trouve pas ça
    pour faire la factorisation tu dois résoudre P(X) = 0
    trouver les racines ...
    c'est ce que tu as fait ?!
    je vais mettre ton post au LaTeX pendant ce temps


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