Exercice sur les dérivations



  • Bonjour!! J'ai un exercice à faire mais je bloque sur la question n°5

    Voici mon énoncé:
    f est la fonction définie sur R par f(x)=x³-2

    1. Développer f(2+h) où h est un réel quelconque
    2. En déduire que f est dérivable en 2
    3. Donner une valeur approchée par approximation affine de f(2,003)
    4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A d’abscisse 2.
    5. Démontrer que pour -1≤h≤1, l’erreur commise en remplaçant f(2+h) par f(2)+hf’(2) est majorée par 7h².

    Voici ce que j'ai fait:
    1)f(x)=x³-2
    f(2+h) = (2+h)(2+h)²-2
    =(2+h)(4+2h+h²)-2
    =h³+4h²+8h+6

    1. le nombre dérivé de f en 2 est la limite quand elle existe de (f(2+h)-f(2)) / h lorsque h tend vers 0

    (f(2+h)-f(2)) / h

    =h³+4h²+8h+6-6 / h
    =h³+4h²+8h / h

    =limh0(h2+4h+8)=8\lim _{h \rightarrow 0}(h^2+4h+8) = 8

    f est donc dérivable en 2
    f'(2) = 8

    1. Comme f est dérivable en 2, l'approximation affine de f en 2 est
      x --> f(2) + (x-2) f'(2)
      x --> 6 + 8(x-2)
      x --> 8x - 10

    f(2,003) ≈ 8 × 2,003 - 10
    f(2,003) ≈6,024

    La tangente à Cf en A d'abscisse 2 a pour équation réduite
    y=f'(2) (x-2) + f(2)

    f'(2)=8
    f(2)=6

    y=8x-10

    Ce que j'ai fait jusqu'à présent est-il correct?
    Si ma rédaction est à améliorer dites le moi, je n'attends que ça! !! !! ^^

    Donc voila je n'arrive pas à démarrer ma question 5, j'ignore comment faire, je ne comprends pas la méthode du cours, en bref je suis perdue !!

    Aidez moi s'il vous plait !!
    Merci beaucoup :rolling_eyes:



  • coucou

    Voici ce que j'ai fait:
    1)f(x)=x321)f(x)=x^3-2

    f(2+h)=(2+h)(2+h)22f(2+h) = (2+h)(2+h)^2-2

    f(2+h)=(2+h)(4+4h+h2)2f(2+h) = (2+h) ( 4 + 4h + h^2) -2
    ...



  • ok je vais refaire tous les calculs ^^
    deja pour le 1) c'est :
    f(2+h) = h³+6h²+12h+6

    2)limh0(h2+6h+12)=12\lim _{h \rightarrow 0}(h^2+6h+12) =12

    f'(2)=12

    1. comme approximation affine je trouve: x --> 12x-18
      f(2,003)≈6,036

    2. y=12x-18

    C'est correcte maintenant?? 😕



  • je pense que c'est bon là ^^



  • par contre pour la 3) je ne sais pas trop ça me semble un peu bizarre la méthode



  • ben en cours on a fait comme ça donc je ne sais pas...

    sinon pour la question 5° peux-tu m'expliquer comment on fait?? s'il te plait?? parce que j'en ai aucune idée :frowning2:
    Merci beaucoup ^^



  • Je pense que dans cette question il faut calculer l'erreur = valeur réelle - valeur "approximée" (je ne suis pas certaine que ce verbe existe !)

    Et vérifier que cette différence est inférieure à 7h²



  • mais je ne sais pas du tout comment faire ça... 😕
    Aidez moi s'il vous plait



  • Valeur réelle = f(2+h) = ???

    Valeur approximative = ???

    erreur = |Valeur réelle - Valeur approximative|= ???

    Tu as bien dû faire ce genre de calcul en physique non ?



  • donc j'ai calculé ça, ça me donne h(h²+6h) seulement ce que je ne comprends pas c'est l'énoncé qui me dit de remplacer f(2+h) par f(2) +hf'(2)...
    ça veut dire que je recommence le calcul mais avec f(2) +hf'(2)??

    --> (f(2) +hf'(2)) - (12x-18)
    comme ceci??



  • Tu relis bien ce que j'ai écrit

    Valeur réelle = f(2+h) = ???

    Valeur approximative de f(2+h) = ???

    erreur = |Valeur réelle - Valeur approximative|= ???

    Je n'ai pas fait le calcul mais il ma semble que tu mélanges tout ! je ne vois pas ce que vient faire x dans tout ceci !!!



  • ben... c'est l'approximation affine 12x-18, ensuite je remplace x par 2+h, non??

    j'ai fait:
    f(2+h) - (12x-18)
    = f(2+h) - (12(2+h) - 18)
    =h³ + 6h² + 12h + 6 - 12h - 6
    =h(h²+6h)

    A moins que la valeur approximative est celle que je trouve dans la question 3) c'est à dire 6?

    *Intervention de Zorro = j'ai mis des espaces pour éviter un problème d'affichage qui rendait l'expression illisible *



  • Non tu es sur la bonne voie ne remplace surtout pas par 6

    Il ne te reste plus qu'à démontrer que h(h²+6h) < 7h² quelque soit le h



  • Dans l'énoncé ils me disent que pour démontrer que l'erreur commise est majorée en 7h² il faut remplacer f(2+h) par f(2)+hf'(2) mais je ne comprends pas vraiment ce que ça veut dire???



  • Relis ce que je t'ai déja dit

    l'erreur = |valeur réelle - valeur approximative|

    il fait donc calculer l'erreur (donc la valeur réelle - la valeur approximative) et ensuite il faudra montrer que cette erreur est inférieure à 7h²



  • j'ai essayé de faire quelque chose...
    h(h² + 6h) < 7h²
    h(h² + 6h - 7h²) < 0
    h²(-6h + 6) < 0

    -6h + 6=0
    -6h = -6
    h = -6/-6
    h = 1 --> ceci n'est pas ma solution...

    Ensuite je fais un tableau de signe avec un intervalle [-1;1] mais mon résultat est bizarre... Je trouve S=∅

    [i]Intervention de Zorro = ajout d'espaces avant et après le symbole inférieur qui provoque un problème d'arrichage[ /i]



  • On va reprendre calmement !

    Quelle est la valeur réelle de f(2+h) appelons cette valeur p

    Qelle est la valeur aproximative de f(2+H) appellons cete valeur t

    L'erreur est la différence entre la valeur réelle et la valeur aprorimative donc p-t

    Tu comprends ce que tu dois démontre ?



  • oui l'erreur c'est h(h²+6h) et je dois démontrer que cette valeur est inférieur à 7h² donc majorée en 7h²...

    pour ça je pose h(h²+6h)-7h²<0 Non??



  • donc en soustrayant l'erreur à 7h²:

    h³+6h²-7h²
    =h³-h²
    =h



  • Résoudre l'inéquation h²(-6h+6) < 0 est du niveau seconde (pour ne pas dire 3ème)

    La solution ne peut pas être

    h = 1

    car la solution est l'ensemble des h tels que (-6h+6) < 0 puisque h² > 0

    La solution d'une inéquation est un intervalle ou la réunion d'intervalles mais rarement un seul nombre



  • h²(-6h+6)<0 a pour solution ]1;+∞[



  • ya personne?? :frowning2:



  • Citation

    1. Démontrer que pour -1 ≤ h ≤ 1, l’erreur commise en remplaçant f(2+h) par

    f(2) + hf’(2) est majorée par 7h².

    valeur réelle de f(2+h) = h3h^3 + 6h26h^2 + 12h + 6

    valeur approximative f(2) + hf’(2) = 6 + 12h

    erreur = ( h3h^3 + 6h26h^2 + 12h + 6 ) - ( 6 + 12h ) = h3h^3 + 6h26h^2

    on a -1 ≤ h ≤ 1 donc h3h^3 < h2h^2 donc

    h3h^3 + 6h26h^2 < h2h^2 + 6h26h^2 non ?



  • Merci pour l'explication 😄


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