Exercice sur les dérivations

Bonjour!! J'ai un exercice à faire mais je bloque sur la question n°5

Voici mon énoncé:
f est la fonction définie sur R par f(x)=x³-2

Développer f(2+h) où h est un réel quelconque
En déduire que f est dérivable en 2
Donner une valeur approchée par approximation affine de f(2,003)
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A d’abscisse 2.
Démontrer que pour -1≤h≤1, l’erreur commise en remplaçant f(2+h) par f(2)+hf’(2) est majorée par 7h².

Voici ce que j'ai fait:
1)f(x)=x³-2
f(2+h) = (2+h)(2+h)²-2
=(2+h)(4+2h+h²)-2
=h³+4h²+8h+6

le nombre dérivé de f en 2 est la limite quand elle existe de (f(2+h)-f(2)) / h lorsque h tend vers 0

(f(2+h)-f(2)) / h

=h³+4h²+8h+6-6 / h
=h³+4h²+8h / h

= $lim⁡h→0(h2+4h+8)=8\lim _{h \rightarrow 0}(h^2+4h+8) = 8$

f est donc dérivable en 2
f'(2) = 8

Comme f est dérivable en 2, l'approximation affine de f en 2 est
x --> f(2) + (x-2) f'(2)
x --> 6 + 8(x-2)
x --> 8x - 10

f(2,003) ≈ 8 × 2,003 - 10
f(2,003) ≈6,024

La tangente à Cf en A d'abscisse 2 a pour équation réduite
y=f'(2) (x-2) + f(2)

f'(2)=8
f(2)=6

y=8x-10

Ce que j'ai fait jusqu'à présent est-il correct?
Si ma rédaction est à améliorer dites le moi, je n'attends que ça! !! !! ^^

Donc voila je n'arrive pas à démarrer ma question 5, j'ignore comment faire, je ne comprends pas la méthode du cours, en bref je suis perdue !!

Aidez moi s'il vous plait !!
Merci beaucoup :rolling_eyes:

coucou

Voici ce que j'ai fait:
$1)f(x)=x^3-2$

$f(2+h) = (2+h)(2+h)^2-2$

$f(2+h) = (2+h) ( 4 + 4h + h^2) -2$
...

ok je vais refaire tous les calculs ^^
deja pour le 1) c'est :
f(2+h) = h³+6h²+12h+6

2) $lim⁡h→0(h2+6h+12)=12\lim _{h \rightarrow 0}(h^2+6h+12) =12$

f'(2)=12

comme approximation affine je trouve: x --> 12x-18
f(2,003)≈6,036
y=12x-18

C'est correcte maintenant??

je pense que c'est bon là ^^

par contre pour la 3) je ne sais pas trop ça me semble un peu bizarre la méthode

ben en cours on a fait comme ça donc je ne sais pas...

sinon pour la question 5° peux-tu m'expliquer comment on fait?? s'il te plait?? parce que j'en ai aucune idée :frowning2:
Merci beaucoup ^^

Je pense que dans cette question il faut calculer l'erreur = valeur réelle - valeur "approximée" (je ne suis pas certaine que ce verbe existe !)

Et vérifier que cette différence est inférieure à 7h²

mais je ne sais pas du tout comment faire ça...
Aidez moi s'il vous plait

Valeur réelle = f(2+h) = ???

Valeur approximative = ???

erreur = |Valeur réelle - Valeur approximative|= ???

Tu as bien dû faire ce genre de calcul en physique non ?

donc j'ai calculé ça, ça me donne h(h²+6h) seulement ce que je ne comprends pas c'est l'énoncé qui me dit de remplacer f(2+h) par f(2) +hf'(2)...
ça veut dire que je recommence le calcul mais avec f(2) +hf'(2)??

--> (f(2) +hf'(2)) - (12x-18)
comme ceci??

Tu relis bien ce que j'ai écrit

Valeur réelle = f(2+h) = ???

Valeur approximative de f(2+h) = ???

erreur = |Valeur réelle - Valeur approximative|= ???

Je n'ai pas fait le calcul mais il ma semble que tu mélanges tout ! je ne vois pas ce que vient faire x dans tout ceci !!!

ben... c'est l'approximation affine 12x-18, ensuite je remplace x par 2+h, non??

j'ai fait:
f(2+h) - (12x-18)
= f(2+h) - (12(2+h) - 18)
=h³ + 6h² + 12h + 6 - 12h - 6
=h(h²+6h)

A moins que la valeur approximative est celle que je trouve dans la question 3) c'est à dire 6?

*Intervention de Zorro = j'ai mis des espaces pour éviter un problème d'affichage qui rendait l'expression illisible *

Non tu es sur la bonne voie ne remplace surtout pas par 6

Il ne te reste plus qu'à démontrer que h(h²+6h) < 7h² quelque soit le h

Dans l'énoncé ils me disent que pour démontrer que l'erreur commise est majorée en 7h² il faut remplacer f(2+h) par f(2)+hf'(2) mais je ne comprends pas vraiment ce que ça veut dire???

Relis ce que je t'ai déja dit

l'erreur = |valeur réelle - valeur approximative|

il fait donc calculer l'erreur (donc la valeur réelle - la valeur approximative) et ensuite il faudra montrer que cette erreur est inférieure à 7h²

j'ai essayé de faire quelque chose...
h(h² + 6h) < 7h²
h(h² + 6h - 7h²) < 0
h²(-6h + 6) < 0

-6h + 6=0
-6h = -6
h = -6/-6
h = 1 --> ceci n'est pas ma solution...

Ensuite je fais un tableau de signe avec un intervalle [-1;1] mais mon résultat est bizarre... Je trouve S=∅

[i]Intervention de Zorro = ajout d'espaces avant et après le symbole inférieur qui provoque un problème d'arrichage[ /i]

On va reprendre calmement !

Quelle est la valeur réelle de f(2+h) appelons cette valeur p

Qelle est la valeur aproximative de f(2+H) appellons cete valeur t

L'erreur est la différence entre la valeur réelle et la valeur aprorimative donc p-t

Tu comprends ce que tu dois démontre ?

oui l'erreur c'est h(h²+6h) et je dois démontrer que cette valeur est inférieur à 7h² donc majorée en 7h²...

pour ça je pose h(h²+6h)-7h²<0 Non??

donc en soustrayant l'erreur à 7h²:

h³+6h²-7h²
=h³-h²
=h

Résoudre l'inéquation h²(-6h+6) < 0 est du niveau seconde (pour ne pas dire 3ème)

La solution ne peut pas être

h = 1

car la solution est l'ensemble des h tels que (-6h+6) < 0 puisque h² > 0

La solution d'une inéquation est un intervalle ou la réunion d'intervalles mais rarement un seul nombre

h²(-6h+6)<0 a pour solution ]1;+∞[

ya personne?? :frowning2:

Citation
5) Démontrer que pour -1 ≤ h ≤ 1, l’erreur commise en remplaçant f(2+h) par

f(2) + hf’(2) est majorée par 7h².

valeur réelle de f(2+h) = $h^3$ + $6h^2$ + 12h + 6

valeur approximative f(2) + hf’(2) = 6 + 12h

erreur = ( $h^3$ + $6h^2$ + 12h + 6 ) - ( 6 + 12h ) = $h^3$ + $6h^2$

on a -1 ≤ h ≤ 1 donc $h^3$ < $h^2$ donc

$h^3$ + $6h^2$ < $h^2$ + $6h^2$ non ?

Merci pour l'explication