Barycentres et triangles dans l'espace



  • Bonjour j'ai l'exercice suivant à résoudre mais ne n'y arrive pas 😞

    Soient trois points de l'espace A B C de coordonnées (xa(x_a,yay_a,zaz_a), (xb(x_b,yby_b,zbz_b), (xc(x_c,ycy_c,zcz_c), et un point G (xg(x_g,ygy_g,zgz_g). Ce point est le barycentre de ((A,α),(B,β),(C,γ))

    Trouver α,β,γ en fonction des coordonnées des points A B et C

    Je pensais utiliser le fait que αGA + βGB + γGC =0 (en vecteurs) et donc avoir un système de trois équations en prenant chacune des composante de ces trois vecteurs à trois inconnus mais la seule solution est α=β=γ=0 ce qui ne me semble pas correct et illogique

    Je vous remercie d'avance de notre aide

    Bijour 🙂



  • bonjour ,
    oui c'est tout a fait incorrecte, car il faut que α+β+γ≠0
    si je crois que tu as raison il faut se servir de αga+\vec{ga} +βgb+\vec{gb} +γgc=0\vec{gc} =\vec{0}



  • ok, mais comment faire alors pour obtenir alpha, béta et gamma ?



  • Salut, je pense qu'on te demande de trouver la formule générale. Donc en te servant de ce qu'a dit Stuntman tu devrais trouver.

    Tu obtiens ceci:
    αga+βgb+γgc=0{\alpha} \vec{ga}+{ \beta} \vec{gb}+ {\gamma} \vec{gc}= \vec{0}

    Ce qui équivaut au système à 3 équations suivant:
    α(xaxg)+β(xbxg)+γ(xcxg)=0{\alpha}(x_{a}-x_{g})+{ \beta}(x_{b}-x_{g})+{ \gamma}(x_{c}-x_{g})=0
    α(yayg)+β(ybyg)+γ(ycyg)=0{\alpha}(y_{a}-y_{g})+{ \beta}(y_{b}-y_{g})+{ \gamma}(y_{c}-y_{g})=0
    α(zazg)+β(zbzg)+γ(zczg)=0{\alpha}(z_{a}-z_{g})+{ \beta}(z_{b}-z_{g})+{ \gamma}(z_{c}-z_{g})=0

    Ce qui équivaut à :
    αxa+βxb+γxc=(α+β+γ)xg{\alpha}x_{a}+{ \beta}x_{b}+{ \gamma}x_{c}=({\alpha}+{\beta}+{\gamma})x_{g}
    αya+βyb+γyc=(α+β+γ)yg{\alpha}y_{a}+{ \beta}y_{b}+{ \gamma}y_{c}=({\alpha}+{\beta}+{\gamma})y_{g}
    αza+βzb+γzc=(α+β+γ)zg{\alpha}z_{a}+{ \beta}z_{b}+{ \gamma}z_{c}=({\alpha}+{\beta}+{\gamma})z_{g}

    Ainsi, pour α+β+γ0{\alpha}+{\beta}+{\gamma}\neq0, tu as :
    xg=1α+β+γ(αxa+βxb+γxc)x_{g}=\frac{1}{{\alpha}+{\beta}+{\gamma}}({\alpha}x_{a}+{ \beta}x_{b}+{ \gamma}x_{c})

    yg=1α+β+γ(αya+βyb+γyc)y_{g}=\frac{1}{{\alpha}+{\beta}+{\gamma}}({\alpha}y_{a}+{ \beta}y_{b}+{ \gamma}y_{c})

    zg=1α+β+γ(αza+βzb+γzc)z_{g}=\frac{1}{{\alpha}+{\beta}+{\gamma}}({\alpha}z_{a}+{ \beta}z_{b}+{ \gamma}z_{c})

    Voilà, j'espère que c'était bien ta question. Et maintenant, si tu connais les coordonnées des points A,B,C et G, en remplaçant dans les équations ci-dessus, tu obtiendras un système de 3 équations à 3 inconnues qui te permettra de déterminer la valeur de α\alpha, β\beta et γ\gamma.

    @+



  • C'est bien ce que j'avais trouvé, mais essayez de résoudre le système : vous verrez que l'on aboutit à α=β=γ=0

    Je crois que je ne sais plus résoudre de système (et ma 89 non plus)



  • Pour pouvoir résoudre le système il faut que tu connaisses les coordonnées de A,B,C et G non ?



  • ben on les a :
    xa,ya,za
    xb,yb,zb
    xc,yc,zc
    xg,yg,zg

    et on n'a pas de valeurs numériques : on veut une formule générale



  • ah ok. c'est tout de suite moins facile. je vais essayer de résoudre le système. Peux-tu écrire les étapes de ta résolution pour que je voie où ça coince ?



  • Comme c'est trop long à recopier en latex je scanne ici :
    [url=* interdit par le règlement*[/url]
    on voit alors bien que l'on peut factoriser par gamma et donc on a gamma * constante=0 d'où gamma=0 d'où bêta=0 d'où alpha=0



  • coucou
    tu sais que le scan est interdit je ne peux pas te laisser mettre ce lien



  • oups désolé je ne savais pas. Bon mais en fait on arrive après substitution gamma*cste =0 donc gamma = 0 😞



  • Il faut donc résoudre le système suivant :
    α(xaxg)+β(xbxg)+γ(xcxg)=0{\alpha}(x_{a}-x_{g})+{ \beta}(x_{b}-x_{g})+{ \gamma}(x_{c}-x_{g})=0
    α(yayg)+β(ybyg)+γ(ycyg)=0{\alpha}(y_{a}-y_{g})+{ \beta}(y_{b}-y_{g})+{ \gamma}(y_{c}-y_{g})=0
    α(zazg)+β(zbzg)+γ(zczg)=0{\alpha}(z_{a}-z_{g})+{ \beta}(z_{b}-z_{g})+{ \gamma}(z_{c}-z_{g})=0

    où les inconnues sont α , β et γ il faut donc le présenter comme on a l'habitude

    (xaxg)α+(xbxg)β+(xcxg)γ=0{(x_{a}-x_{g})\alpha} + (x_{b}-x_{g}) {\beta}+ { (x_{c}-x_{g})\gamma}=0
    (yayg)α+ybyg)β+(ycyg)γ=0(y_{a}-y_{g}){\alpha}+y_{b}-y_{g}){ \beta}+(y_{c}-y_{g}){ \gamma}=0
    (zazg)α+(zbzg)β+(zczg)γ=0(z_{a}-z_{g}) {\alpha}+(z_{b}-z_{g}){ \beta}+(z_{c}-z_{g}){ \gamma}=0

    Pour simplifier l'écriture de tout cela on peut appeler

    ${(x_{a}-x_{g}),=, x_a \qquad \text{et} \qquad (x_{b}-x_{g}),=, x_b \qquad \text{et} \qquad { (x_{c}-x_{g}),=, x_c$
    (yayg),=,yaet(ybyg),=,ybet(ycyg),=,yc(y_{a}-y_{g}),=, y_a \qquad \text{et} \qquad (y_{b}-y_{g}),=, y_b\qquad \text{et} \qquad (y_{c}-y_{g}),=, y_c
    (zazg),=,zaet(zbzg),=,zbet(zczg),=,zc(z_{a}-z_{g}) ,=, z_a \qquad \text{et} \qquad (z_{b}-z_{g}),=, z_b \qquad \text{et} \qquad (z_{c}-z_{g}),=, z_c

    donc le système devient

    xa,α,+,xb,β,+,xc,γ,=,0x_a , \alpha ,+, x_{b} , \beta ,+, x_{c} , \gamma,=,0 \qquad [E1]
    ya,α,+,yb,β,+,yc,γ,=,0y_a , \alpha ,+, y_{b} , \beta ,+, y_{c} , \gamma,=,0 \qquad [E2]
    za,α,+,zb,β,+,zc,γ,=,0z_a , \alpha ,+, z_{b} , \beta ,+, z_{c} , \gamma,=,0 \qquad [E3]

    En n'oubliant pas que ce qu'on cherche ce sont les α , β et γ

    Donc pour supprimer α
    il faut multiplier [E1] par YA-Y_A et [E2] par XAX_A
    et additionner les 2 lignes obtenues
    puis il faut multiplier [E2] par ZA-Z_A et [E3] par YAY_A

    etc .. Ce n'est pas en multipliant par α , β ou γ que cela marcherait (pour résoudre un système avec les inconnues x , y et z ce n'est pas par x , y ou z que tu multiplies mais par les coefficients qui sont devant)

    Bons calculs !



  • et bien essayez de résoudre ce système : aussi étrange que cela puisse paraitre, les solutions sont bien 0 0 et 0 !!!!


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