Barycentres et triangles dans l'espace

Bonjour j'ai l'exercice suivant à résoudre mais ne n'y arrive pas

Soient trois points de l'espace A B C de coordonnées $x_a$ , $y_a$ , $z_a$ ), $x_b$ , $y_b$ , $z_b$ ), $x_c$ , $y_c$ , $z_c$ ), et un point G $x_g$ , $y_g$ , $z_g$ ). Ce point est le barycentre de ((A,α),(B,β),(C,γ))

Trouver α,β,γ en fonction des coordonnées des points A B et C

Je pensais utiliser le fait que αGA + βGB + γGC =0 (en vecteurs) et donc avoir un système de trois équations en prenant chacune des composante de ces trois vecteurs à trois inconnus mais la seule solution est α=β=γ=0 ce qui ne me semble pas correct et illogique

Je vous remercie d'avance de notre aide

Bijour

bonjour ,
oui c'est tout a fait incorrecte, car il faut que α+β+γ≠0
si je crois que tu as raison il faut se servir de α $ga⃗+\vec{ga} +$ β $gb⃗+\vec{gb} +$ γ $gc⃗=0⃗\vec{gc} =\vec{0}$

ok, mais comment faire alors pour obtenir alpha, béta et gamma ?

Salut, je pense qu'on te demande de trouver la formule générale. Donc en te servant de ce qu'a dit Stuntman tu devrais trouver.

Tu obtiens ceci:
$αga⃗+βgb⃗+γgc⃗=0⃗{\alpha} \vec{ga}+{ \beta} \vec{gb}+ {\gamma} \vec{gc}= \vec{0}$

Ce qui équivaut au système à 3 équations suivant:
$α(xa−xg)+β(xb−xg)+γ(xc−xg)=0{\alpha}(x_{a}-x_{g})+{ \beta}(x_{b}-x_{g})+{ \gamma}(x_{c}-x_{g})=0$
$α(ya−yg)+β(yb−yg)+γ(yc−yg)=0{\alpha}(y_{a}-y_{g})+{ \beta}(y_{b}-y_{g})+{ \gamma}(y_{c}-y_{g})=0$
$α(za−zg)+β(zb−zg)+γ(zc−zg)=0{\alpha}(z_{a}-z_{g})+{ \beta}(z_{b}-z_{g})+{ \gamma}(z_{c}-z_{g})=0$

Ce qui équivaut à :
$αxa+βxb+γxc=(α+β+γ)xg{\alpha}x_{a}+{ \beta}x_{b}+{ \gamma}x_{c}=({\alpha}+{\beta}+{\gamma})x_{g}$
$αya+βyb+γyc=(α+β+γ)yg{\alpha}y_{a}+{ \beta}y_{b}+{ \gamma}y_{c}=({\alpha}+{\beta}+{\gamma})y_{g}$
$αza+βzb+γzc=(α+β+γ)zg{\alpha}z_{a}+{ \beta}z_{b}+{ \gamma}z_{c}=({\alpha}+{\beta}+{\gamma})z_{g}$

Ainsi, pour $α+β+γ≠0{\alpha}+{\beta}+{\gamma}\neq0$ , tu as :
$xg=1α+β+γ(αxa+βxb+γxc)x_{g}=\frac{1}{{\alpha}+{\beta}+{\gamma}}({\alpha}x_{a}+{ \beta}x_{b}+{ \gamma}x_{c})$

$yg=1α+β+γ(αya+βyb+γyc)y_{g}=\frac{1}{{\alpha}+{\beta}+{\gamma}}({\alpha}y_{a}+{ \beta}y_{b}+{ \gamma}y_{c})$

$zg=1α+β+γ(αza+βzb+γzc)z_{g}=\frac{1}{{\alpha}+{\beta}+{\gamma}}({\alpha}z_{a}+{ \beta}z_{b}+{ \gamma}z_{c})$

Voilà, j'espère que c'était bien ta question. Et maintenant, si tu connais les coordonnées des points A,B,C et G, en remplaçant dans les équations ci-dessus, tu obtiendras un système de 3 équations à 3 inconnues qui te permettra de déterminer la valeur de $α\alpha$ , $β\beta$ et $γ\gamma$ .

@+

C'est bien ce que j'avais trouvé, mais essayez de résoudre le système : vous verrez que l'on aboutit à α=β=γ=0

Je crois que je ne sais plus résoudre de système (et ma 89 non plus)

Pour pouvoir résoudre le système il faut que tu connaisses les coordonnées de A,B,C et G non ?

ben on les a :
xa,ya,za
xb,yb,zb
xc,yc,zc
xg,yg,zg

et on n'a pas de valeurs numériques : on veut une formule générale

ah ok. c'est tout de suite moins facile. je vais essayer de résoudre le système. Peux-tu écrire les étapes de ta résolution pour que je voie où ça coince ?

Comme c'est trop long à recopier en latex je scanne ici :
[url=* interdit par le règlement*[/url]
on voit alors bien que l'on peut factoriser par gamma et donc on a gamma * constante=0 d'où gamma=0 d'où bêta=0 d'où alpha=0

coucou
tu sais que le scan est interdit je ne peux pas te laisser mettre ce lien

oups désolé je ne savais pas. Bon mais en fait on arrive après substitution gamma*cste =0 donc gamma = 0

Il faut donc résoudre le système suivant :
$α(xa−xg)+β(xb−xg)+γ(xc−xg)=0{\alpha}(x_{a}-x_{g})+{ \beta}(x_{b}-x_{g})+{ \gamma}(x_{c}-x_{g})=0$
$α(ya−yg)+β(yb−yg)+γ(yc−yg)=0{\alpha}(y_{a}-y_{g})+{ \beta}(y_{b}-y_{g})+{ \gamma}(y_{c}-y_{g})=0$
$α(za−zg)+β(zb−zg)+γ(zc−zg)=0{\alpha}(z_{a}-z_{g})+{ \beta}(z_{b}-z_{g})+{ \gamma}(z_{c}-z_{g})=0$

où les inconnues sont α , β et γ il faut donc le présenter comme on a l'habitude

$(xa−xg)α+(xb−xg)β+(xc−xg)γ=0{(x_{a}-x_{g})\alpha} + (x_{b}-x_{g}) {\beta}+ { (x_{c}-x_{g})\gamma}=0$
$(ya−yg)α+yb−yg)β+(yc−yg)γ=0(y_{a}-y_{g}){\alpha}+y_{b}-y_{g}){ \beta}+(y_{c}-y_{g}){ \gamma}=0$
$(za−zg)α+(zb−zg)β+(zc−zg)γ=0(z_{a}-z_{g}) {\alpha}+(z_{b}-z_{g}){ \beta}+(z_{c}-z_{g}){ \gamma}=0$

Pour simplifier l'écriture de tout cela on peut appeler

${(x_{a}-x_{g}),=, x_a \qquad \text{et} \qquad (x_{b}-x_{g}),=, x_b \qquad \text{et} \qquad { (x_{c}-x_{g}),=, x_c$
$(ya−yg),=,yaet(yb−yg),=,ybet(yc−yg),=,yc(y_{a}-y_{g}),=, y_a \qquad \text{et} \qquad (y_{b}-y_{g}),=, y_b\qquad \text{et} \qquad (y_{c}-y_{g}),=, y_c$
$(za−zg),=,zaet(zb−zg),=,zbet(zc−zg),=,zc(z_{a}-z_{g}) ,=, z_a \qquad \text{et} \qquad (z_{b}-z_{g}),=, z_b \qquad \text{et} \qquad (z_{c}-z_{g}),=, z_c$

donc le système devient

$xa,α,+,xb,β,+,xc,γ,=,0x_a , \alpha ,+, x_{b} , \beta ,+, x_{c} , \gamma,=,0 \qquad$ [E1]
$ya,α,+,yb,β,+,yc,γ,=,0y_a , \alpha ,+, y_{b} , \beta ,+, y_{c} , \gamma,=,0 \qquad$ [E2]
$za,α,+,zb,β,+,zc,γ,=,0z_a , \alpha ,+, z_{b} , \beta ,+, z_{c} , \gamma,=,0 \qquad$ [E3]

En n'oubliant pas que ce qu'on cherche ce sont les α , β et γ

Donc pour supprimer α
il faut multiplier [E1] par $Y_A$ et [E2] par $X_A$
et additionner les 2 lignes obtenues
puis il faut multiplier [E2] par $Z_A$ et [E3] par $Y_A$

etc .. Ce n'est pas en multipliant par α , β ou γ que cela marcherait (pour résoudre un système avec les inconnues x , y et z ce n'est pas par x , y ou z que tu multiplies mais par les coefficients qui sont devant)

Bons calculs !

et bien essayez de résoudre ce système : aussi étrange que cela puisse paraitre, les solutions sont bien 0 0 et 0 !!!!