Complexes à la Géomètrie ***

Bonjour , pour la rentrée notre prof nous a donné un DM avec dedans un exercice du livre type "3étoiles" et j'ai assez de mal à m'en sortir le voici :

A tout complexe z non nul, on associe les points A,B et C d'affixes respectives
a = z
b = z(barre) soit $\bar {z}$
c = ( z² ) / (z barre) soit $\frac{z^2}{, \bar {z},}$

Trouvez puis représentez l'ensembles des points A tels que le triangle ABC est équilatéral

PS : pour les conjugués je les aurait bien fait en latex mais je ne sais pas quel est le codage :s

Je suis déja partie sur plusieurs pistes comme : ABC equilateral induit
=> |a - c| = |a - b|
=> |a - c| = |b - c|
=> |b - c| = |a - b|

Aussi $\frac{c - b}{a - b}$ = $p i$ /3 ou - $p i$ /3
$\frac{c - a}{b - a}$ = $p i$ /3 ou - $p i$ /3
$\frac{b - c}{a - c}$ = $p i$ /3 ou - $p i$ /3

de là j'ai développé des choses mais ça me donne rien de bien fructueux en tout cas aucun moyen de trouver ne serais-ce qu'une equation de droite ou de cercle.

Intervention de Zorro = transformation des affixes avec conjugués en LaTeX

le conjugué de z s'écrit avec \bar {z}

Bonsoir,

On peut peut être regarder sur le plan comment se placent A et B et en déduire où doit se trouver C pour avoir un triangle isocèle, puis équilatéral.

certes oui mais en équation c'est assez compliqué

Ah non puisque A et B sont conjugué ! , donc C est forcément sur l'axe Re(z) il faut maintenant trouver les complexes z telles que z²/zbarre est réel pur , je suis sur la bonne voie ?

En posant z = x + iy

C est réel pur si et seulement si
y = 0 donc z réel pur ou bien

y² = 3x²

Cependant j'ai démontré ici que C est sur la bonne droite si et seulement si y=0 ou y² = 3x² mais ABC n'est pas equilatéral pour autant .... je bloque ....

Eh bien tu es sur la bonne voie

Si l'affixe de A vérifie y = ±x√3
c'est à dire si A appartient à la droite d'équation y = x√3

B sera sera sur la droite y = -x√3

et vice versa et z ne doit pas être nul pour que c existe.

Donc l'ensemble cherché est la réunion des 2 droites d'équation y = x√3 et y = -x√3 privées de l'origine O.

Tu l'as démontré dans un sens pour le démontrer dans l'autre tu prends un point quelconque des droites tu calcules c et tu vérifies que ABC est équilatéral !

En prenant y = ±x√3 ou y = 0 j'arrive aux égalités

=> |a - c| = |a - b|
=> |a - c| = |b - c|
=> |b - c| = |a - b|
donc j'ai bien ABC equilatéral par contre je trouve que mon raisonnement n'est pas vraiment parfait etant donné que là j'ai trouvé les complexes z tels que C est réel et ça me conduit à un triangle équilatéral, mais pourtant ce n'est pas parcque C est réel que ABC est forcément equilatéral , enfin bref je n'arrive pas à me justifier pour dire que ce sont les solutions et bien les seules. Comment est-ce que je dois m'y prendre selon vous?

merci bcp en tout cas

En gros j'ai mon raisonnement par implication , sa réciproque , tout marche ABC est equilatéral sauf que ce que j'ai démontré les conditions pour que C soit sur Re(z) et non pas pour que que ABC soit equilatéral

Reprenons :

tu as montré que

ABC équilatéral ⇒ C appartient à l'axe des abscisses ⇒ c réel pur ⇒ y² = 3x²

et que

y = ±√3x et x≠0 (pour que c existe) ⇒ ABC équilatéral

Donc tu as bien démontré que l'ensemble des points A tels que ABC est équilatéral = les droites d'équations y = √3x et y = -√3x privées de O

Si C appartient à l'axe des abscisses le triangle ABC est isocèle on ne peut pas en déduire directement qu'il est équilatéral

CAr si C appartient à l'axe des absisses alors BC = AC mais on ne sait pas si BC=AC=AB

Je ne te demande pas de démontrer que pour tout C de l'axe des abscisses le triangle ABC est équilatéral !!! (c'est d'ailleurs faux) ⇒ signifie "entraine" c'est à dire que la proposition qui suit se déduit de ce qui est devant

Je te demande juste de relire ce que j'ai écrit dans mon post précédant !

si ABC équilatéral on a donc C appartient à l'axe des abscisses on a donc c réel pur on a donc y² = 3x²

et que

si y = ±√3x et x≠0 (pour que c existe) on a donc ABC équilatéral

On a donc bien fait une démonstration par équivalence "P" ⇒ "Q" et "Q" ⇒ "P"

donc "P" ⇔ "Q"

D'accord pardon j'ai compris maintenant , mais ce n'est pas un peu un coup de chance que la réciproque marche ? on aurait pu s'attendre à ce que C € Re(z) ne suffise pas pour que ABC soit équilatéral et qu'il faille éliminer des solutions

Pour démontrer que ABC est équilatéral :

Soit H le point sur l'axe R, intersection de AB et de l'axe. C'est une hauteur.

On a la relation CH²+HA²=AC² puisque ABC est isocèle. Si on démontre que AC² = AB² qui est égal à 4y², on a gagné.

Mais c réel pur ne marche pas !!!

On te demande l'ensemble des points A donc on cherche une condtion sur les points A pour que ABC soit équilatéral pas une condition sur les points C.

Les points C seront tous sur l'axes des abscisses mais ne conviendront que les C obtenus à partir de A appartenant à une des droites citées (privées de O)

J'ai transmis mon dernier post après la réponse de Zorro.

C'est vrai que ce n'est pas évident que la réciproque soit vraie. Il me semble plus naturel de trouver une relation entre x et y pour que ABC soit équilatéral, et de montrer que c'est vrai pour tout (x,y) vérifiant y²=3x²

j'ai du mal là ahah moi j'aurait tendance à dire on a trouvé des conditions sur A pour que C soit sur les abscisses il se trouve que ces conditions nous conduisent à un triangle équilatéral , et il ne peut pas y avoir + de solutions car sur tous les autres A du plan , C n'est pas sur les abscisses donc le triangle ne sera pas equilateral

Je crois que nous sommes bien d'accord !

Je voulais simplement tenir le raisonnement suivant à partir du début :

je cherche une relation entre x et y pour que C soit sur l'axe des abcisses
j'affine cette relation pour que le triangle soit équilatéral et je trouve que c'est vrai pour tout couple (x,y) vérifiant la relation 1)

alors que toi tu dis :

je cherche une relation entre x et y pour que C soit sur l'axe des abcisses
je constate que cette relation détermine aussi que le triangle est équilatéral

ce qui revient au même, non ?

C'est sur , (je suis bien content de ne pas avoir à l'affiner ^^)

Ne cherche pas midi à 14 heures comme dissait ma grand-mère ! Contente toi de recopier ce que nous avons dit !

Haha d'accord d'accord , c'est juste que notre prof est très à cheval sur ce genre de choses donc maintenant je suis très prudent

Mais tu peux être rassuré notre démonstration n'a aucune faille (n'oublie pas d'éliminer O des 2 droites ! tu n'a jamais repris cette info dans aucune de tes réponses et c'est important ! )

Oui mais c'est dans l'ennoncé z non nul donc A différent de O donc c'est bon non ?

Oui il faut en effet préciser que l'ensemble des A = les 2 droites privées de O

ok et est-ce que je dois aussi donner comme réponse la droite y=0 ? car c'etait dans les conditions pour que C appartienne aux réel et ça donne un triangle équilatéral enfin ça donne plutot 3points confondus

Tu me mets le doute !

La droite y = 0 c'est l'axe des abscisses
et si y = 0
alors A est sur l'axe des abscisses et B serait confondu avec A
et A et B seraient confondus avec C !

Donc il faut rajouter l'axe des abscisses privé de O ! Tu as raison !

Donc l'ensemble des A = Les 2 droites + L'axe des abscisses privé de O

Toutes mes excuses pour cet oubli facheux !

Pas de problème tu m'aides tu n'as pas à t'excuser
merci beaucoup en tout cas je vais rédiger.

A la prochaine ! (uniquement si tu en as besoin)