Trouver la fonction vérifiant une équation

Boujour tout le monde,
Voila un exercice qui me pose problème donc le voit-ci :

On cherche une fonction f telle que, pour tous x et y de son ensemble de définition on ait
(R) : f(xy) = f(x) +f(y)

I. Un cas trivial
1°) Si f est définie en 0, en appliquant (R) à x = y = 0 déterminer f(0),
2°) En appliquant (R) avec y = 0. déterminer f(x) pour tout x réel.
3°) Quelle fonction f obtient-on ?
4°) Vérifie-t elle bien la relation (R) ?
5°) Semble-t-elle pertinente?

coucou
alors je te dis comment je vois le truc
f(xy) = f(x) +f(y)

on a x=y=0

donc f(0*0) = f(0) + f(0)

f(0)= 2 f(0)

donc f(0 ) = 0

ok ?

ok pour le 1°) mais le 2°) sa ferait
f(x*0) = f(x) + f(0)
f(x)=? =0?

oula
j'ai un scoop pour toi

0*toute la terre = 0

ba oui, je suis tout a fais d'accord, mais c'est que je trouve sa bizar car sa donne le même resultat qu'au 1°) donc on peut pas en déduire la fonction f pour la 3°)

ba je dirais f(x) = 0

c'est bien comme résultat

L'exercice comporte une 2ème partie, je pense qu'elle met en jeu les logarithmes népériens. Voila la 2ème partie :

Une solution plus intéressante
On supposera donc dorénavant que f n’est pas définie
en 0. Plus précisément, on cherche une fonction f
définie et dérivable sur ]o ; +∞[ qui vérifie,(R)
a. En appliquant (R) 1 = x = y. déterminer f(1)
b. Fixons un réel a> O
Quelle est la dérivée :
• de la fonction qui à x associe f(a) ?
• de la fonction qui à x associe f(x) + f(a) ?
• de la fonction qui à x associe f(ax) ?
c. En déduire que si f vérifie (R). pour tout x> o.
f’(ax)=1/a, puis que f’(a)=k/a, k constante.
d. Que peut-on en déduire pour la onction f ?

Donc si on utilise ln() pour le a. car définie derivable sur ]0;+∞[ sa nous donne :
f(1*1)=ln1 + ln1=0
mais ensuite pour la suite je voie pas?

re
a est un réel ; f(a) est un réel donc la dérivée d'un réel c'est 0
en fait pour tout x de ton intervalle tu as toujours f(a) c'est une constante donc dérivée nulle ok ?!
c'est comme ça que je vois le truc

je suis encore tout ta fait d'accord mais dans la suite de l'exercice il demande d'en deduire que f'(a)=k/a ,k constante. Donc il faudrait que k=0, je trouve sa inutile.
Donc pour le 1er point sa serait :
f'(a)=0
pour le 2eme point :
f'(x)+f'(a)=1/x+0=1/x
pour le 3eme point :
f'(ax)=(1/x)a+x0=a/x

Mais ces résultats ne correspondent pas au petit c.